基谢列夫几何： 第一册平面测量 改编自俄语 亚历山大·吉文塔尔

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正在审查的这本书是对俄罗斯数学文献中一个独特现象的扩展翻译。如果没有别的，它的持久力可能会吸引任何对高中几何感兴趣或参与其中的人。A.P.Kiselev于1892年首次出版初等几何到1940年，它经历了40多次修订，最终成为俄罗斯几何教育的衡量标准，所有其他教科书都必须以此为依据进行评判。它的介绍给讲英语的学生和老师是非常受欢迎的。A.Givental教授从俄语翻译了这本书，并将多个版本的原件结合在一起，他的努力值得衷心的认可和真诚的赞扬。

这本书的早期历史是模糊的。在沙皇俄国基塞列夫几何成功地与其他教科书竞争。它是23^第个版本（1914）是在线可用1917年的剧变带来了对教育体系的彻底改革，其基础更多是基于革命热情，而非进化的社会需求。但到了20世纪30年代初，形势已经成熟，可以采取更加理性的态度。1933年2月12日，中共中央发布指示，要求各责任单位用专门指定的“稳定”教材取代此前在学校使用的“工作（课堂）用书”(数学教育1934年第1期，第71页）。1936年11月16日，人民教育委员会数学委员会将最初选定的几何书命名为文盲混合物质量最低，建议立即清除。1937年4月9日举行的莫斯科数学学会会议接受了分辨率对这本书再版一年并被推荐使用表示愤慨基塞列夫几何作为临时替代品。对于41人^标准版本，基塞列夫几何已由N.A.Glagolev编辑。

这个临时替代者一直保持着官方头衔，直到20世纪50年代中期。1955年，该奖项似乎授予了由N.N.Nikitin和A.I.Fetisov撰写的文本。然而，早在1956年人们感到遗憾，20年来第一次注意到，教育部和UchPedGiz（官方教科书出版机构）一直对中央委员会的指示做出错误的解释，好像它真的规定了每门学科都有独特稳定的教科书。基谢列夫几何被允许与新文本一起保留，直到后者经过认真的修改。

及时，基塞列夫几何与N.A.伊兹沃尔斯基、V.G.Boltyansky和I.M.Yaglom、A.N.Kolmogorov的教科书、J.Hadamard的译本、Nikitin和Fetisov共同撰写的一本书、以及他们分别撰写的书籍以及其他许多书籍形成鲜明对比。我调查过的那些在20世纪60年代初学习几何的朋友都使用了基塞列夫的书，但在特殊数学学校的实验课上使用了费蒂索夫的书。在后来的几年里，尼基丁的书引起了激烈的竞争，但基塞列夫的《几何》仍然在继续，即使是作为备份。我不知道当时是否有任何一本书被授予官方地位，但在一本小册子中几何证明该书于1977年首次出版，A.I.Fetisov沮丧地解释了一个错误的校对注释，指出该图与官方“批准书”中使用的图相似。毫无疑问，他指的是哪本书。

从1955-1956年的讨论来看基塞列夫几何被认为过于接近欧几里得元素作为一个例子，有人指出，通过在早期引入平行假设，尼基丁和费蒂索夫的书成功地简化了对外角定理与治疗相比基塞列夫几何。毫无疑问几何变化之风19世纪末开始在欧洲盛行的教育^第个世纪，影响并影响了俄罗斯决策者。在外角定理的这个特殊例子中，它通常被引用为欧几里德的一个伟大见解，欧几里得将第五假设推迟到I.29。因此，他把定理分成两部分，第一部分不需要平行线。真正欣赏欧几里德序列的是19^第个各种几何的世纪发展，尤其是绝对几何。对于老师来说，这样一个重要的定理为历史和哲学讨论提供了丰富的背景，大多数学生都能理解。

在这种情况下，基塞列夫追随欧几里德的脚步，将平行假设的引入推迟到本书的第二节。(不幸的是在证明定理的绝对部分的同时，他还重复了欧几里德的论点，即到基西列夫时代，人们发现19世纪的数学缺乏严谨性。）不过，他并没有盲目追随欧几里德。几何对象是在每个时间段介绍的，而不是在书的开头。它们的属性是在需要或即将被证明时定义的。基塞列夫还详细阐述了一般概念，如定理和公理，解释了定理与其逆命题、逆命题和反命题之间的关系，并通过矛盾证明。许多章节之前都有简短的介绍。

有时元素例如，在他对毕达哥拉斯定理的处理中，这一点意义重大。他只是根据比例理论证明了这个定理。证明（第152页）是欧几里德六世31的简化版本，译者在书的结尾处特别关注。除了VI.31的完整版本外，我们还发现了欧几里得的I.47和重排的证明。在众多著名定理的证明中，Kiselev的证明是最好的选择。

这本书最初是以一种清晰、无意义的风格写成的，它的许多版本和修订都经过了润色。这种风格在译文中保存得很好。这本书中没有什么内容会偶尔分散人们对这个主题的注意力。

最闪亮的例子是基塞列夫对圆周和π的处理。周长被定义为（第202页，当边数无限增加一倍时，内接在圆内的正多边形的周长极限。听起来不令人印象深刻吗？但考虑一下，Kiselev在定义之前使用了一个合理发展的极限理论，从而达到了相当长的长度（第195-199页）。这本书非常清楚地介绍了极限理论，虽然它不是100%严格，但也没有明显的捷径。例如，这本书确实证明了极限（即周长）的存在（第202页）。这是在对相似性进行了彻底讨论后得出的结论（第117-182页）。特别是，他证明了（第187页）具有相同边数的正多边形是相似的，并且它们的边与半径或Apothem的比率相同。结合极限理论，他得出（第204页）所有圆的周长与直径之比都相同的事实，从而引入π。

虽然看起来很简单，但即使是现代高中几何课本中最好的课本也会把π的定义搞得一团糟。例如，H.Jacobs(几何图形, 3^第个d，p.592）将π定义为边数与正多边形半径之比的极限，即边数与半径之比随边数的增加而增加。这是在为几个多边形构建一个表并观察比率的行为之后。因此，π的定义和其值的确定结合在一起，而π存在的原因根本没有讨论。

另一个引起我注意的话题是2的平方根的不合理性。顺便说一句，这个证明与汤姆·阿波斯托最近发表的那篇非常相似(美国数学月刊，v 107，n 9，第841-842页）：

与阿波斯托尔的证明不同，基塞列夫的证明不具备无文字证明的资格，需要一些基础工作，但却符合同样的几何思想。然而，这并不是我喜欢基塞列夫治疗的确切原因。基塞列夫在证明之前提出了测量的概念，并对包括阿基米德公理在内的欧几里德算法进行了全面的讨论。证明之后是关于线段长度、近似值、无理数和数字线的文章。

在翻译家的前言中，吉文塔尔教授提到了一本好教科书的三个优点（精确、简单、简洁），这本教科书是由基塞列夫自己编写的，并增加了第四个优点——学科能力。具体考虑基塞列夫几何，必须提到另一个功能：话语的自主性.

每一本教科书都是为特定的读者编写的，其特点通常是在必要的知识和能力方面都有充分的准备来吸收材料。这些要求通常是在导言中设定的，在文本中通常会被违反。这是默认的，或者是参考对书的大小或范围施加的限制。一个突出的优点是基塞列夫几何自始至终，作者始终忠实于他的目标读者，即第一次学习几何的中学生和初中生。假设只有非常基本的数学知识，Kiselev从下往上建造了一座几何大厦，在此过程中提供砖块和砂浆。这本书非常独立。唯一的外部参考来自上层，例如，当他只提到高斯关于正多边形的可构造性定理而没有证明时。

这本书有近600个练习，分布在全书各处。有些提供了提示，但没有提供解决方案。我不认为Kiselev有向学生隐瞒解决方案的意图或教学原因。在第一版导言中，他提到了一个当时可用的问题集，并从中提取了练习。在我的时代，另一个问题集，所有的练习都解决了，与之一起使用基塞列夫几何。虽然我认为第一版英文版中缺少解决方案密钥可能会让一些潜在用户望而却步，但我认为这不应该。一方面，在书的正文中，基塞列夫花了大量时间解决问题，特别注意各种基本结构。课文中穿插着关于解决问题和证明方法的评论，所有这些都有实际的演示。另一方面，在这个时候，一个有兴趣的学生可以很容易地获得一两个问题的解决方案或帮助解决问题的建议。有许多在线论坛就是为了这个目的而存在的。

这本书很轻，相对较小，但由于基谢列夫简洁、没有虚饰的风格，所涵盖的主题得到了全面的处理。这本书将很好地服务于几何学生和教师、家庭学校、学生教师及其导师。所有人都应该期待着立体测量部分的出现基塞列夫几何.

基塞列夫几何学。第一册平面图,亚历山大·吉文塔尔（Alexander Givental），苏米兹达特（Sumizdat），2006年，改编自俄语。精装本，240页，39.95美元。国际标准图书编号0-9779852-0-2。

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