伯克利数学圈十年I Zvezdelina Stankova和Tom Rike

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将作者引言和数学科学研究所所长Robert L.Bryant的前言结合起来，

正在审查的这本书很好地坚持了这一目标。它写得热情洋溢，每一页几乎都体现出一种天赋；这本书表达了对数学的热爱，以及向读者传达和分享数学的愿望。它基于伯克利数学圈（BMC）的几次会议。编辑们创作出了贯穿始终的连贯风格，值得所有人的赞扬。我想说，作者和编辑们对这本书有（正当的）爱慕之情。这本书用边缘图标装饰，突出（除其他外）练习、问题、热身、问题解决技巧、鸽子洞原理的应用；数学归纳、矛盾……两个步骤的单独图标。。。首先让我感到惊讶的是，当我浏览这本书以搜索我第一次阅读时注意到的特定项目时，我及时发现它们非常有用。总的来说，这本书组织严密，写得很好。这篇文章经常附有轻松的插图。

这本书由十二章（自然称为课时）组成，涵盖（粗略地说）平面倒置、组合学、魔方排列的群结构、同余、数学归纳、质点几何、复数、不变量游戏、一系列喜爱的问题、，单变量（与问题状态相关的单调量），以及关于证明的两章。在结语中，作者给出了数学界的一般背景，特别是伯克利数学界的简短历史。

有大量的问题和练习。问题在课文中得到解决，还有一些练习；大多数练习在章节末尾都有提示或解决方案。许多问题都是从各种数学奥林匹克竞赛中得出的，然而它们的难度很少被指定为高级难度。问题常常被用来推动理论的发展，最终会得到解决方案。例如，第一章以以下语句打开托勒密定理接着是一个有趣的注释，即该定理是由一个直线恒等式AB+BC=AC（B在a和C之间）通过一个逆变换得到的。在反演理论得到充分发展后，该定理的证明出现在本章的末尾。

很难推荐这样一本书作为“好书”。这本书的大部分内容是为指导练习而写的。但即使是经验丰富的教师，如果他们不觉得解决问题和练习的顺序很难，也会在讨论中发现许多令人耳目一新的转折点，从而使这本书值得一读。

很难选择最喜欢的；尽管如此，我还是会指出第10章中关于在问题解决中使用不变量的内容和第12章中关于单变量的内容。

这个克隆人的逃亡（第十章）游戏游戏在一个无限格的四分之一上进行，其中一个小区域由几个指定为监狱的格子组成。在角落的方格里，一个囚犯被放置，他唯一允许的动作是变形成两个克隆体，分别位于方格的右侧和上方。每个克隆都遵循相同的规则。不能有两个人位于同一个广场上。从监狱逃跑的可能性是什么？虽然这个问题可以追溯到1981年，但人们并不十分清楚。虽然完整的解决方案需要一些高级数学，但这个问题本身有助于进行引人入胜的实验并得出非平凡的结论。

关于单变量的讨论围绕这个问题展开在官邸周围走动：2000人居住在一栋有123个房间的豪宅中。每一分钟，只要不是每个人都在同一个房间里，就会有人从一个房间走到另一个房间，里面至少有同样多的人。证明最终所有的人都会聚集在一个房间。

解决方案的关键是确定豪宅居民的集中度。如果n_j个是房间j中的人数，则浓度系数定义为∑n_j个²总计123间客房。当一个人从一个有n人的房间漫步到一个有m人的房间时（只有当n≤m时才有可能），浓度的变化等于

（n-1）²+（m+1）²-n²-m²=2（m-n+1）≥2，

因为，按照规定，n≤m。浓度随着每次散步而不断增加。然而，由于有限数量的人在有限数量的房间中可能分布的数量是有限的，因此浓度不可能永远增长，并且一定会达到最大值。从上述不平等来看，只有当所有人都聚集在同一个房间里时，才能达到最大值。

作者不时提供提示（称为问题解决技巧-简称PST）来分享处理各种问题的战术建议。总共有97个。例如在官邸周围走动问题从PST 88开始：虽然数学要求严格，不要害怕直觉首先，你可以被模糊的概念所引导；然后寻找用数学方法表达它们的具体方法。为什么浓度应该使用正方形？PST 89解释道：找到一些衡量标准，让更多人入住的房间具有不成比例的更大重量。一种方法是添加正方形每个房间的人数。在证明了单变异体的力量之后，PST 96总结了经验：为了证明某些重复的过程最终必须终止，使用单变量好吧，为了不破坏我想给这本书留下的良好印象，我会对此不那么直截了当。这里有一个问题如果通过其他方法更容易获得解决方案：

煎饼是根据大小从1到N（N>1）唯一排序的。它们按随机顺序堆叠。允许其中一个翻转任何子堆栈，使尖端位于顶部。要翻转的子堆栈的大小取决于顶部煎饼的数量。证明最后最小的煎饼（即#1）会在顶部弹出，从而终止该过程。

我还没有找到一个单变量来解决这个问题，而用另一种方法则需要几句话。

BMC诞生于1998年，但其组织者和教员继承了前苏联和东欧几十年的传统。这些经验已记录在AMS中数学圈（俄罗斯经验）以及MAA的几个译本(几何变换作者：I.Yaglom，现为4卷，以及许多问题书）。在苏联书籍中数学圆圈图书馆系列电影开始于20世纪50年代末。本书被宣布为即将出版的系列丛书的第一卷。这对所有热爱数学的学生和建构者来说都是一个好兆头。这本书是美国数学教育新兴传统的一个受欢迎的开端。

伯克利数学圈十年（美国经验）,作者：Z.Stankova，T.Rike。MSRI/AMS 2008。软封面，326张，49.00美元。国际标准书号0821846833。

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