可分割性标准

可分割性标准是判断一个数字是否除以另一个数字而不进行除法运算的方法。这个概念隐含着这样一个假设，即所讨论的标准提供了一种比直接除法更简单的方法来回答可分割性问题。根据构成给定数字的数字构造的可除性标准。

为了修正符号，\（A\）将是我们将在本页上研究的可被另一个数字\（d\）整除的数字。在十进制中，

\(A=10^{n} 一个_{n} +10个^{n-1}个_{n-1}+…+10^{1} 一个_{1} +a_{0}\)

\（a_｛n｝\ne 0\）。我们有几个例子。但首先让我们定义

\(s_{+}（A）=A_{n}+A_{n-1}+…+{0}\\s_{\pm}（A）=A_{0}-A{1}+\ldots+（-1）^{n} 一个_{n} ●●●●。\)

利用这两个函数，我们将可除性的标准公式化为\（3，\）\（9，\）和\（11:\）

\（A）可被（3）整除iff（s_{+}（A））可被

\（A）可被（9）整除iff（s_{+}（A））可被

那么，\（A\）可以被\（11\）iff\（s_{\pm}（A）\）is整除。

所有这三个标准都遵循模运算

以及这样一个事实：（10=1\space（\mbox{mod}\space 9））和（10=-1\space-1\space（\mbox{mod}\space 11），\）等。

注意，\（s_{+}（A）\）和\（s_{\pm}（A）\）都是线性组合这是我们将在本页上允许的功能。（一个一般化就是考虑其他底座.)

我们通过以下方式将定义形式化：

函数\（f（A）=f（A_{n}，\ldots，A_{0}）\）被称为整数可除性准则前提是，从某些\（A，\）\（|f（A）|\ lt A\）和\（A\）可被d整除，如果\（f（A

\（O（d）被定义为所有可除性标准的集合

以下是几个示例：

我们还有更多。实际上，因为\（100=1\space（\mbox{mod}\space 11），\）

\（f_{5}（A）=（A）_{1} 一个_{0}）{10}+（a_{3} 一个_{2} ）{10}+（a）_{5} 一个_{4})_{10} + ... \在O（11）\中）

（（f_{5}）是通过将（A）从右向左拆分为（2）位数字而得到的。）同样，

\（f_{6}（A）=（A）_{1} 一个_{0}）{10}-（a_{3} 一个_{2} ）{10}+（a）_{5} 一个_{4})_{10} - ... \在O（101）中

本着同样的精神，

\（f_{7}（A）=（A）_{2} 一个_{1} 一个_{0}）{10}-（a_{5} 一个_{4} 一个_{3} ）{10}+（a）_{8} 一个_{7} 一个_{6})_{10} - ... \单位：O（1001）

有趣的是，由于O（7）中的（1001=7\cdot 11\cdot 13，）这一事实可能看起来并不令人振奋，因为它并不能减轻一个人在被7或11或13除法时的痛苦。然而，在某些情况下，这一规则确实有很大帮助：

你愿意继续进行长除法吗？

斯图亚特·安德森开发了总体框架他特别注意到

\（f_{8}（A）=2_{n} 一个_{n-1}）{10}+（a_{n-2}a_{n-3}）{10}）+（a_｛n-4｝a_{n-5}）{10}）+。。。\在O（7）中，\）

对于奇数\（n.）对于偶数\（n，\）修改是显而易见的。这也是因为\（10^{2}=2\space（\mbox{mod}\space 7）

还有一种方法使用以下内容一般化欧几里德命题VII.30：

设（a）和（d）互素(互质). 那么\（d|ab\）等价于\（d| b\）

设（d）是某些（c）的除数（10c-1），那么显然，（d）和（c）是互质。表示

因此，\（A=10A{1}+A{0}。\）我们有

从中可以看出

这导致了递归标准。例如，让\（d=19，\）\（c=2.\）然后\（10c-1）\可被\（19.\）整除。给定一个数字\（a，\）remove\，原始数字（A）也是如此。因此，我们得到了一个序列（12311，）（1233，）（129，）在别处.一个巧妙的例子由来自巴西的古斯塔沃·托亚发现。）

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