Stern-Brocot树

精细的功能

我对Stern-Brocot树来自书中具体数学作者：格雷厄姆、克努特和帕塔什尼克。在参考文献他们列出了布罗科特的两部作品和斯特恩的一部作品。除了他的原创文章外，阿奇尔·布罗科特（1862年）还出版了一本97页的专著，专门研究现在被称为Stern-Brocot树作者是一位钟表匠，这两份出版物都以相同的标题“Calcul des rouages par approximation，nouvelle méthode”（“Cogwheel calculations by approximition，a new method”）出现。m.Stern的原文“Ueber eine zahlentheoretische Funktion”在《法国数学杂志》 55(1858). （由于我从未学过德语，我相信在一本在线德语-英语词典的帮助下，我得到了一个相当正确的标题翻译。）

根据文章的标题来判断文章的内容是不可能的。很可能斯特恩和布罗科特在124页的合集中讨论了树的各种特征。然而，下面的简单讨论并没有出现在具体数学但这是花了几个小时思考图表和与W.McWorter教授进行富有成效的电子邮件交流的结果。

我们首先观察到，在Stern-Brocot树的每一层（行）中，分数是按顺序排列的，因此分子的顺序与分母的顺序相同，只是顺序相反。然后我们只讨论分子。以下是分子的前几行：

行编号		树成员
-1		0, 1
0		1
1		1, 2
2		1, 2, 3, 3
三		1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 4
4		1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 4, 5, 7, 8, 7, 7, 8, 7, 5

我对行进行编号，这样就有2行^n个第n行中以n=0开头的成员。一个显而易见的显著特征是，任何一行都是其直接后继行的前半部分。一个不太明显的特征为下半场的性质提供了线索。后半部分也由前一行唯一确定。为了获得它，先按原样写入前一行，然后按相反的顺序将两者相加。例如，第2行是1、2、3、3。这是第3行的前半部分。要获得下半部分，请填写第2行的两份副本（正反面）：

1, 2, 3, 3
3, 3, 2, 1

然后将它们逐项相加，得到4，5，5，4。因此，第三行是1、2、3、3、4、5、5、4。这也是第四排的前半部分。要获得另一半，请将此序列写两次：

1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 4
4, 5, 5, 4, 3, 3, 2, 1

总结得出5、7、8、7、7、9、7、5。这是一个很好的特性，我将在本页的其余部分尝试解释它的起源。

首先让我们概括一下我们的框架。Stern-Brocot树（分子）从数字0和1开始。但同样的过程也适用于任何一对数字x和y。让我们将结果树表示为[x，y]：

行编号		树成员
-1		x、年
0		x+y
1		2x+y，x+2y
2		3x+y、3x+2y、2x+3y、x+3y

回忆一下向量和向量空间，我们注意到每棵树[x，y]表示为两个基本树的组合：[x，y]=x[1，0]+y[0，1].后者[0, 1]是Stern-Brocot树；[1,0]是它的镜面反射。每棵树[x，y]由两部分组成：左边子树[x，x+y]和正确的子树[x+y，y]哪一个成长（倒置）彼此完全独立。我们最后需要观察的是，对于任何x，树[x，x]相对于穿过每行中点的垂直线对称。正如我们刚刚观察到的那样[x，x]=x[1，0]+x[0，1]，还有那两棵树[0, 1]和[1, 0]都是彼此的反射。

返回到Stern-Brocot树[0，1]，其左子树为[0, 0 + 1] = [0, 1]这是完全相同的。它的右子树[0 + 1, 1] = [1, 1] = [0, 1] + [1, 0]是以下各项的总和[0, 1]及其镜像[1, 0].

推论

对于n≥0，第n行中所有项之和为3^n个.

证据是通过归纳得出的。这种说法显然是正确的n=0。前半排#（n+1）仅为行#n；后半部分包含行n的两个版本：直行和反转行。下面是声明。
Stern-Brocot树中直至（包括）第n行的所有项之和为1 + 1 + 3 + 9 + ... + 三^n个= 1 + (3ⁿ⁺¹-1)/2.

原来Stern-Brocot树是通过在前一阶段形成的分数之间插入新的（中间值）分数分阶段构建的。我们刚才讨论的属性导致了另一种结构，在这种结构中，行是通过附加新术语而不是通过插入来增长的。附加程序也适用于所有术语，不仅适用于树的行。分数及其祖先之间的曲折排列让我们列出在过程的第n阶段构造的分数的分子（不包括原始的0和1）：

施工阶段		树成员
0		1
1		1, 1, 2
2		1, 1, 2, 1, 3, 2, 3
三		1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4

请注意每行中间始终存在的1。忽略此1，每一行都是以与之前相同的方式从上一行中获得的。例如，要从阶段#1移动到阶段#2，首先写入三个已经构建的项：1、1、2。下一步追加中间的1.最后应用“反射然后添加”步骤：

1, 1, 2
2, 1, 1

获得第三阶段的剩余部分：3、2、3。全部加在一起：1、1、2、1、3、2、3。

实际上，这种方法效率极低，因为在每个阶段都有越来越多的树再生。

备注

由桌子现在被记录为序列#在中整数序列在线百科全书.

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