Take-Away游戏
喜欢一堆，的Take-Away公司游戏是在一堆物体上进行的。在第一次移动时，玩家可以移除任意数量的物体，但不能移除整堆物体。在随后的任何移动中，玩家都可以移除任何数量的物体，这些物体的数量取决于之前的移动。
下面的小程序实现了三个这样的游戏。在其中一个中，玩家可以删除不超过他或她的对手在上一步中移除的内容。在第二场比赛中，情况变为少于两倍上一步的结果。三分之一是不超过两次上一步。
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竞走游戏理论
让我们用数学术语来表达游戏规则。
让x是移动的大小——移动对象的数量。让f（x）指定在随后的移动中可以合法移除的最大对象数。
然后在第一次(不超过)游戏，f（x）=x。在第二次(少于两倍)游戏，f（x）=2x-1。最后，在第三个(不超过两次)游戏，f（x）=2x。
在每个游戏中，都有一系列失去起始位置H（H）1，H2等等。例如，在每一场只有一个物体的游戏中，第一个玩家都会自动输掉。因此，H（H）1总是=1。如果游戏以H开头我第二名球员遵循一定的获胜策略，第一名球员没有获胜的机会。另一方面，如果初始堆包含许多不同于H中任何一个的对象我是的，第一个玩家可以移动到最近的H我发现自己处于前一个例子中第二个玩家的制胜位置。
那么让H1=1并定义序列Hk+1（千分之一）=Hk个+H（H）米，其中m=最小值{j:f（Hj)≥Hk个}.因为，至少，f（高k个)≥Hk个,这个定义确实有道理。
序列{H我}失去起始位置源于两个断言。
| (1) | 任何自然数N都可以唯一地表示为和Hj1+H（H）j2+H（H）j三+ ... + H（H）jk个，其中，对于i=1。。。，k-1，f（高j我)<Hji+1（输入+1） | |
（1） 导致游戏中堆位置大小的特定于游戏的二进制表示。
| (2) | 除非桩的尺寸N是H中的一个j我，有k=/N/>1N的表示形式为1。获胜策略是删除与最右边的1对应的对象数。 | |
这样的移动减少了单位数/N/，也确保了下一步不能完成相同的专长。因此，如果游戏玩得好，单位减少只可能在每一次移动。单位缩减是最终成功的关键，因为只有整数N/N/=0是0，这是最终的获胜动作的预期结果。
现在我们确定序列{Hj}参加三场比赛。根据定义，{Hj}一直在增加。
f（x）=x
H（H）1=1，高2=H1+H（H）1=2，高三=H2+H（H）2=4，并且，自f（高j-1型)=Hj-1型<Hj,H（H）j+1（j+1）=Hj+H（H）j一般来说。H（H）我= 2我.
f（x）=2x-1
H（H）1=1，高2=H1+H（H）1=2，高三=H2+H（H）2.通过感应，如果H（H）j=Hj-1型+H（H）j-1型,然后f（高j-1型)=Hj-1<Hj,以便H（H）j+1（j+1）=Hj+H（H）j.
一个惊喜！这里也是，H我= 2我.
f（x）=2x
H（H）1=1，高2=H1+H（H）1=2，并且，自2x≥x+1，对于x≥1，H三=H2+H（H）1，H4=H三+H（H）2现在，通过归纳，如果H（H）j=Hj-1型+H（H）j-2型,然后，一方面，f（高j-2型)=2小时j-2型<Hj-1型+H（H）j-2型=Hj.另一方面，f（高j-1型)=2小时j-1型>H（H）j-1型+H（H）j-2型=Hj.因此，f（高j+1（j+1）)=Hj+H（H）j-1型,根据定义。
H（H）我=F我，i=1，2。。。，其中F我，i=0，1，2。。。是斐波那契数列1、1、2、3、5。。。这解释了为什么后一个游戏被称为斐波纳契-尼姆.
（1）的证明
表示及其单序列的存在性由归纳.
存在
对于N=1，N=H1.假设任意N<Hk个可以表示为不同H的总和j我的与f（高j我)<Hji+1（输入+1）; 然后让H（H）k个≤N<Hk+1（千分之一）.
根据定义，Hk+1（千分之一）=Hk个+H（H）米具有m≤k。因此N-Hk个<H米≤Hk个然后通过归纳得出
| (3)N=高k个+（小时j1+ ... + H（H）jn个), | |
式中f（Hj我)<Hji+1（输入+1）i=1，2。。。，n-1。为了建立存在，我们只需要表明f（高jn个)<Hk个.相反，假设f（高jn个)≥Hk个.但后来
| H（H）k+1（千分之一）=Hk个+H（H）米≤Hk个+H（H）jn个≤N， | |
与N的选择相矛盾。
独特性
显然，N=1具有唯一的表示。假设这也适用于N<小时k个;然后让H（H）k个≤N<Hk+1（千分之一）.
给定总和Hj1+ ... + H（H）jn个，f（Hj1)<Hj2暗示
此外，f（Hj2)<Hj三暗示
| H（H）j1+H（H）j2+H（H）j三<Hj三+1. | |
...
f（高jn-1个)<Hjn个暗示
| H（H）j1+H（H）j2+ ... + H（H）jn个<Hjn个+1. | |
因此，对于H（H）k个≤N<Hk+1（千分之一）,N的任何表示都必须包括Hk个如果这样的N有两个表示，那么也有N-H型k个,这违反了归纳假设。
失去的位置
设N（k）表示第k个位置，即k移动后桩的尺寸。如果/N（k）/=1并且玩家不能移除所有N（k）个物体，那么他所做的任何动作都允许他的对手减少/N（k+1）/。
假设N（k）=Hn个1对于一些n1现在，除非/N（k+1）/=1，否则对手可以删除与N（k+1”）展开式中的二进制单位之一对应的任意数量的对象，从而减少/N（k+1）/。另一方面，如果，/N（k+1）/=1，即如果N（k+1）=高n个2对一些人来说n个2<n1,下一个获胜的选手必须能够将N（k+1）=高n个2.的确，H（H）n个2≤Hn个1-1,以便
H（H）n个1-H（H）n个2≥Hn个1-H（H）n个1-1=H米，其中
m是{j:f（H）中最小的j)≥Hn个1-1}. 因此，
f（高米)≥Hn个1-1≥Hn个2.
成功的开始
假设游戏以N（0）个对象开始，/N（0）/>1，这样N=Hj1+H（H）j2+ ... + H（H）jn个具有n≥2。假设玩家移除Hj1然后，因为f（高j1)<Hj2,下一个玩家甚至不能移除Hj2因此，他删除的任何金额都不会影响H以外金额的条款j2另一方面，无论数量H是多少j2被替换为，前者将在其扩展中包含至少一个1，这样在该扩展中的单位数量就不会减少。
如果游戏开始时有N（0）个对象，/N（0）/=1，第一个玩家肯定会输，因为第二个玩家总是能够应用上一段中描述的策略。
工具书类
- A.J.Schwenk，Take-Away游戏,斐波纳契季刊第8卷第3期（1970年），225-234
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