罗尔定理和中值定理
这个中值定理（简称MVT）是数学教育文献中最常见的科目之一。它是数学家武库中的重要工具之一，用于证明微分学和积分学中的许多其他定理。令人好奇的是，它最常见的推导是由于它自己的特殊情况——罗尔定理。后者以米歇尔·罗尔（1652-1719），法国数学家，建立了现在通用的符号
对于n第个根并坚持认为-a>-b，对于正a和正b，a<b。这一壮举与之背道而驰笛卡尔'教学并为引入无处不在的数字线.
罗尔定理
让f成为连续的在上封闭区间 [甲，乙]并且在开放式区间 （a、b）。如果f（a）=f（b），则在（a、b）哪里（f） '（c）=0。
（导数为零的f图的切线与x轴平行，连接两个“端点”的线也平行（a，f（a））和（b，f（b））在图表上。连接到曲线上的点的线（在我们的上下文中是函数图）通常被称为割线因此，罗尔定理声称存在一个点，在该点上图形的切线与正割平行，前提是正割是水平的。）
中值定理
让f成为连续的在上封闭区间 [甲，乙]并且在开放式区间 （a、b）。那么在（a、b）哪里
| (1) | （f） ‘（c）=（f（b）-f（a））/（b-a）。 |
（中值定理声称存在一个点，在该点切线与割线连接平行（a，f（a））和（b，f（b））罗尔定理显然是MVT的一个特殊情况，其中f满足一个附加条件，f（a）=f（b）。)
下面的小程序说明了这两个定理。它显示函数的图形、图形上定义正割的两个点以及图形切线所附着的中间第三个点。图表及其上的三个点可以拖动。
截至2018年，任何浏览器都不支持Java插件(了解更多信息). 这个Wolfram演示,罗尔定理，显示相同或相似主题的项目，但与名为“MVT”的原始Java小程序不同。最初给出的指令可能不再精确对应。
中值定理的证明
假设罗尔定理。正割方程--一条直线--通过点（a，f（a））和（b，f（b））由提供
g（x）=f（a）+[（f（b）-f（a））/（b-a）]（x-a）。
这条线是直的，经检查，g（a）=f（a）和g（b）=f（b）。因此，差异f-g满足罗尔定理的条件：
（f-g）（a）=f（a）-g（a）=0=f（b）-g。
因此，我们被保证存在一个点c（a、b）这样的话（f-g）'（c）=0。但是
（f-g）'（x）=f “（x）-g'（x）=f “（x）-（f（b）-f（a））/（b-a）。
（f-g）'（c）=0等于
（f）‘（c）=（f（b）-f（a））/（b-a）。
备注
以上内容是标准公式的标准证明。选择辅助函数g（x）的动机经常受到质疑，甚至被认为是模糊的。（f-g）（x）表示垂直距离--差异--在两个图之间：f的图和g的图的割线。其他函数g也可以起到相同的作用。
设A、B、X表示点（A、f（A）），（b，f（b）），和（x，f（x）），分别是。然后可以很容易地计算出x到AB的距离d（x），然后进行区分。更优雅的方法取决于d（x）与AB长度|AB|的乘积等于ΔABX面积S（x）的两倍。该区域在决定因素中有一个简单的表达式：
首先要注意，S（a）=S（b）（=0）并非出乎意料。因此，我们可以应用罗尔定理。导数S'（x）由下式给出
因此S'（c）=0立即意味着(1).
罗尔定理和中值定理都是纯粹存在除了声称c点位于区间（a、b），两者都没有提供更准确的位置信息。因此，一代又一代的学生发现这些定理令人困惑。以下J.Dieudonné,R.P.博厄斯认为以下形式的MVT更直观，也同样有用：
假设导数（f） '函数f的有界于（a、b）：
m≤（f） '（x） ≤M。
然后
（b-a）m≤f（b）-f（a）≤m（b-a）。
对于一个函数，它是其导数的积分，这与
这反过来又是所谓的积分中值定理:
如果f在闭区间[a，b]上是连续的，那么至少有一个点c是这样的
有关更多信息和应用程序，请参阅蒂莫西·高尔斯.
工具书类
- 微积分世纪II，T.Apostol等人（编辑），MAA，1992年
- J.Dieudonne，现代分析基础，学术出版社，1960年
