拓扑与基本电路理论II：对偶性

看看电路中的二重性。。。

托尼·菲利普斯
石溪大学
电子邮件Tony Phillips

注：。在第一部分在本系列文章的发布中，我了解到从拓扑角度来看的电路理论在代数拓扑的应用伟大的地形学家所罗门·莱夫舍茨（Springer-Verlag，纽约-海德堡-柏林，1975）。我非常感谢Graham Norton提供的这一信息。

介绍

就我们的目的而言，电路将是一个有向平面图，其中每一条边都带有一个电气元件：电压源、电流源、电阻器、电容器或电感。

几何对偶性

平面图$G$具有几何对偶图形$g$。这个概念要求将图形的外部视为一个面（当图形绘制在球面上时，这是很自然的）。

 

 

构造（黑色）图的（绿色）几何对偶。每个黑色面的中心都有一个绿色顶点；如果黑色面有一条共同的边，则两个面由绿色边连接。

这里$G$是用黑色绘制的图形；几何对偶将为绿色。在$G$的每个面内放置一个绿色顶点，包括“外部”面。该顶点将是该面的对偶顶点。接下来，如果$G$的两个面形成一条（黑色）边，请在两个绿色顶点之间绘制一条绿色边，该绿色边正好与黑色边相交一点。这两条边是双重的。这给出了几何对偶图的所有边，它们所包含的面（包括“外部”面）是对偶的面。请注意，黑色$k$价顶点（即具有$k$入射边的顶点）的对偶是绿色$k$-gon；双重地，黑色$j$-gon中的绿色顶点将具有$j$的价。
几何对偶是一种相互关系：同样的过程，从绿色图形开始，将产生黑色图形。

定向二元性

电路的一些基本元件有一个方向：电压源有正极和负极；电流源产生沿特定方向流动的电流。因此，电路下面的图形最容易定向。在定义对偶电路之前，我们需要定义定向图的对偶。

假设黑图是面向的，即沿着每个黑色边拾取了一个方向。这是一个算法--我是从恩斯特·吉列明那里学来的电路导论（威利，纽约，1953）——用于确定绿色图形的方向。从几何对偶开始，关联顺时针方向的具有双边边指向的黑色面的边界的边的方向向外的从对偶顶点开始。这给出了一个面向绿色的图形。接下来，对该图形进行镜像反射。这是双向图。当这个算法应用于对偶定向图时，它会返回我们开始使用的黑色定向图。

 

双向图算法及其相互关系的说明。a.从定向图$G$（黑色）开始。如上所述构造其几何对偶，如果对偶边在对偶面中为顺时针方向，则将其边从顶点向外定向，否则将其向内定向。b.定向几何对偶的镜像是（绿色）对偶定向图$g$。为了显示互易性，构造$g$的几何对偶，并如上所示确定其边的方向。c.该图的镜像是原始定向图$G$。

电气二元性1：电压、电流、电阻

由于我们考虑的电路是有向平面图，因此电路具有双向图。更神秘的是，边缘上的每个设备（电压源、电流源、电阻器、电容器或电感）对应一个双设备在双边缘上给出双回路这看起来很不一样，但当电压和电流互换时，它具有同构解决方案。

我们将从只包含电压源、电流源和电阻器的电路开始。电容器和电感器，响应变化电流和电压，稍后将介绍。

设备双重性
$X$伏电压源	$X$安培电流源
$X$安培电流源	$X$伏电压源
$X$欧姆电阻器	$1/X$欧姆（$X$mho）电阻器

 

电路$C$有一个基本的面向图形$G_C$。我们在双向图上构造了双电路$c$：与$G_c$的边$e_j$的边对偶的边获得与$e_j$上的设备对偶的设备，如下表所示，关于方向。
   电路对偶原理：$C$边缘电流的方程求解与其双边缘$C$和vice-versa电压的方程求解相同。
下面是最简单的非平凡示例。

 

一个电压电阻电路$C$（黑色）和它的双电路$C$（绿色），构造如上。（在这一阶段，镜复性并不重要，但为了与上述互惠处理相一致，将镜复性包括在内）。

我们使用Kirchhoff定律和Ohm定律求解电流$I_3$（单位：$C$）和电压$v_3_v-1$（单位：$C$），如中所述第1部分本系列的。

• 求解$I_3$。由于$V=-R_1I_1$和$V=-R_2I_2$，因此$I_1=-V/R_1$、$I_2=-V/R_2$和$I_3=-I_1-I_2=\frac{V}{R_1}+\frac{V}{R_2}=V（\frac{1}{R_1}+\frac{1}}{R_2}）$$
• 求解$v_3-v_1$$$v_3_v_1=（r_1+r_2）I=I（\frac｛1｝｛r_1｝+\frac｛1｝｛r_2｝）$$

由于数字$V$和$I$是相同的，因此根据上表，解决方案是相同的。

电气二元性2：增加电感器和电容器

电感器和电容器是与时间有关的器件；研究我们使用的变量电压和电流源$V（t）$和$I（t）@；电路中的所有电流和电压现在都是时间的函数。电感器和电容器的欧姆定律及其类似物如下所示。

 

电阻器 R欧姆		$V_b（t）-V_a（t）=RI（t$
感应器 $L$亨利		${\显示样式V_b（t）-V_a（t）=L\frac{dI（t）}{dt}}$
电容器 $C$法拉		${\显示样式V_b（t）-V_a（t）=\frac{1}{C}\int_{t_0}^tI（t）~dt}$

 

构建双电路的规则现在包括：

 

设备双重性
$X$henry电感器	$X$法拉电容器
$X$法拉电容器	$X$henry电感器

 

现在对偶原理最简单的例子来自这两个对偶电路。（改编自课堂讲稿发表于韩国大戎KAIST电气工程与计算机科学学院。）

我们求解顶部电路中的$I（t）$和对偶电路中的$（v_2-v_1）（t）$。

• 使用基尔霍夫电压定律：

  ${\显示样式-V（t）+RI（t”）+\frac{1}{C}\int_{t_0}^tI（s）~ds+L\frac{dI（t）}{dt}=0}$
  差异化给予

  ${\显示样式L\frac{d^2I（t）}{dt^2}+R\frac}{C} 我（t） =\压裂{dV（t）}{dt}}$

• 使用柯克霍夫现行法律：

  ${\显示样式-I（t）+\frac{1}{r}（v_2-v_1）（t）+/int_{t_0}^t\frac{1\ell}$
  微分给出

  ${\显示样式c\frac{d^2（v_2-v_1）（t）}{dt^2}+\frac{1}{r}\frac{d（v_2-v_1）$

 

由于（见表）$c=L$，$\ell=c$，${\displaystyle\frac{1}{r}=r}$和$I（t）=V（t）$，表达式是相同的。

高维中的几何对偶

这个想法非常普遍，并扩展到局部类似欧几里德$n$-维空间的几何结构。这样的结构有一个对偶，其中每个$k$维元素都与互补的维度$n-k$（因为$1+1=2$，在我们的图中，边的对偶是边）。例如，在图中所示的$4$维立方体中，标记边的对偶是一个三角形，一个顶点位于蓝色立方体，一个位于绿色立方体和一个位于粉红色立方体。

 

四维立方体本身就是三维多面体。它有八个三维立方体作为其表面。（在这张图中，第八个立方体位于外部）。

托尼·菲利普斯
石溪大学
给Tony Phillips发电子邮件

---