古代和中世纪迷宫的隐藏对称
本专栏的目的是指出，绝大多数迷宫设计都具有拓扑对称性，这种对称性虽然不明显，但不可能是偶然的。。。
托尼·菲利普斯
石溪大学
电子邮件Tony Phillips
文本中提到的站点，以及相关日期。地中海地图Wikimedia公共资源.
介绍
绘制迷宫的传统（一条复杂的路径从一个指定位置通向另一个指定地点的图案）在地中海地区盛极一时，然后在更远的地方发展起来，当然开始于史前，结束于文艺复兴时期，当迷宫被给出两个位置的拼图图案所取代时，但必须发现路径；有时只有第二种类型的图案被称为“迷宫”，但这两个词通常可以互换使用。本专栏的目的是指出，绝大多数迷宫设计都具有拓扑对称性，这种对称性虽然不明显，但不可能是偶然的。
本专栏中提到的所有迷宫，除了第一个和最后一个，都记录在赫尔曼·克恩的百科全书中穿越迷宫：5000年的设计与意义，Prestel，纽约，2000年。
美索不达米亚的迷宫石碑。
美索不达米亚迷宫碑MS 3194。图片由约兰·弗里伯格提供。
瑞典数学化学家Jöran Frieberg最近发布了Schoyen系列中的MS 3194平板电脑。确切的时间和地点尚不清楚，但根据弗里伯格的说法，它很可能可以追溯到公元前1800年左右的古巴比伦时期。该平板电脑的一端受损，尺寸约为10美元乘以11美元。与另一块类似对称的平板电脑（MS 4515）相比，可以重建缺失的部分图案。迷宫两侧各有一个开口；从一个到另一个的路径遍历整个模式。
MS 3194上的迷宫和同样的迷宫，旋转了180美元。
MS 3194迷宫的重建墙形成了两个相连的部分，此处以黑色和灰色显示，这两个部分在拓扑上是相同的（虚线显示了一个小的，可能是无意的，与身份的偏差），但一个相对于另一个旋转了半圈。因此，图案具有$180^{\circ}$旋转对称性：旋转互换黑色和灰色，但迷宫保持不变。
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皮洛斯平板电脑上的“克里坦迷宫”
皮洛斯内斯特国王宫殿的石碑上的迷宫。
希腊西海岸皮洛斯（Pylos）内斯特国王宫殿废墟中发现的一块记帐板背面，是最古老、年代久远的迷宫式设计。这块石碑（7美元乘以5.7美元）是在公元前1200年宫殿烧毁时烧制的。这款平板电脑上的设计通常被称为克里坦迷宫。它出现在公元前5世纪及以后克里特岛克诺索斯（Knossos）铸造的硬币上，代表着米诺斯王保存弥诺陶尔（Minotaur）的传奇迷宫。
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克里坦迷宫似乎并不特别对称，但有几个线索。第一个是细胞核，如左图所示，可以从中绘制图案（根据科恩的说法，就在这个平板电脑上，甚至在今天的世界部分地区也是一款游戏）。核本身是非常对称的，但绘制迷宫时，如下图所示，通过围绕一端系统地连接设计的自由端，似乎完全打破了这种对称性。第二个是迷宫的几个层次的穿越顺序。如果它们的编号是从$0$（外部）到$8$（中心），那么到中心的路径将按照$032147658$的顺序与它们相交，可以进行检查。现在这个级别序列有自己的对称性：如果每个数字$n$被它的八个补码$8-n$替换，那么序列就变成$856741320$，这是反向读取的原始序列。
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水平序列的对称性表明迷宫的外部和中心之间存在对称关系。通过放大中心区域，可以更容易地看到这一点。
克里坦迷宫重新绘制，中心区域扩大，然后围绕三维立方体折叠。
扩大中心区域显示了中心墙和外墙之间的对称性，此处均以红色显示。只有将图案变形为三维，才能使对称性达到几何完美，这样迷宫才能覆盖立方体的四面墙。然后，就像在巴比伦的例子中一样，$180^{circ}$旋转（在这里，围绕垂直于屏幕的轴）将图案精确地转换为自身。
Francavilla Maritima织机重量上的迷宫图案
隐藏在织机重量来自Francavilla。这个重量高14厘米，底部宽14厘米。
意大利南部Francavilla Marittima希腊卫城遗址的发掘工作产生了大量的织机砝码，其中许多带有迷宫图案，可追溯到公元前9世纪或8世纪上半叶。砝码上实际画的是穿过迷宫的路径，这导致了误解，因为这些线没有迷宫墙的意义。有几种不同层数的图案，但它们都具有四重旋转对称性。这意味着严格来说，它们不可能是迷宫；此外，它们没有入口或出口：四条路径中的每一条都在设计中无休止地循环。然而，除了阿里亚德涅的线与编织实践的象征性一致外，它们与克里特设计有着明显的亲缘关系，当它们被绘制在立方体的侧面时，它们具有额外的“三维”旋转对称性，如图所示。（图中用蓝色和黑色显示的具有奇数层的迷宫上的墙壁有两个组件，通过对称互换）。
科英布拉的罗马马赛克迷宫
马赛克迷宫，150$\乘以140万美元，公元三世纪上半叶，葡萄牙科英布拉。Jeff Saward摄，承蒙拉比林托斯.
罗马人在整个帝国留下了马赛克地板。其中有几个具有这种装饰形式：四个克里特式迷宫的链接副本，第一个连接到外部，最后一个连接到中心。与牛头怪传说的联系通常是明确的；在这里，中央空间的公牛头证明了这一点。
Coimbra迷宫分析。
由于只有一个入口和一个出口，迷宫不可能具有完美的四重旋转对称性，但它的内外拓扑对称性与克里坦迷宫相同。围绕立方体包裹迷宫可以通过围绕垂直于页面的轴进行$180^{\circ}$-度的旋转来实现对称。这里的墙，减去绿色显示的中央分隔物，形成了两个连接的组件，它们通过对称性互换。
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哥特式大教堂迷宫
儿童和游客在沙特尔大教堂体验迷宫。图像来自维基媒体共享
尽管他们与牛头怪有异教徒的联系（我们知道在沙特尔有一块中央黄铜牌匾明确提到了这一联系），但一些哥特式大教堂还是安装了地面迷宫。这些迷宫足够大，通常有10米宽，所以人们可以沿着从入口到中心的小路走。在这三个国家中，只有沙特尔的一个仍然存在；其他人在18世纪被拆毁，因为我们被告知，他们吸引的儿童和游客是令人不安的崇拜。
沙特尔迷宫的计划及其在平面上的发展。为了简单起见，这里和下面的迷宫是用两个中央分隔线的副本绘制的，而不是围绕着一个立方体显示的。整体$180^{\circ}$旋转对称性仍然清晰；它交换墙壁的蓝色和黑色部分。Boisthibault双教堂的迷宫图像，“沙特尔大教堂迷宫周围的通知”Revue Archéologique评论 2437-447 (1851-52).
兰斯大教堂（Reims Cathedral）的迷宫于1778年被毁，在四个角落进行了改造（没有改变整体布局），以容纳大教堂建筑师的照片。拓扑结构与沙特尔不同：路径段不同，中央分隔线的新切换模式使它们以完全不同的顺序遍历。然而，正如显影图像所示，兰斯迷宫也展现出整体$180^{\circ}$旋转对称性。雅克·塞利埃（Jacques Cellier）在《弗朗索伊斯·梅林》（Françoys Merlin）中绘制的迷宫图像，《奇点探秘》（Recherche de plusieurs singularite es），1587年。法国国家图书馆；手稿可通过加利卡，f77董事。
塞纳斯大教堂的迷宫是三座大教堂中最古老的：大教堂的建造于1180年左右结束。迷宫于1768年被摧毁。这张1828年的画由C.Belloc签名，来自网站塞诺纳公社（Communatédes Communes du Sénonais）的研究表明，桑斯迷宫与沙特尔和兰斯在拓扑结构上都有所不同（分段与沙特勒相同，但切换模式不同）。显影后的图像显示，这座迷宫也具有整体180°的“隐藏”旋转对称性。图片来源：Carte postale，CEREP-Sociétéarchéologique de Sens。
桑斯迷宫是如何组织的，这一普遍接受的观点与此不同。科恩，马修斯大多数迷宫式网站给出了不同的计划，它没有隐藏的对称性有一个地方是雅克·赫伯特（Jacques Hébert）的中世纪迷宫Hébert根据他所称的“韵律结构”使用了一个不同的标准，这似乎是等价的：他所描述的八个“典型迷宫”（其中我们三个是唯一的历史例子）展现了整体180美元的隐藏旋转对称性。
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托尼·菲利普斯
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