2018年数学艺术展在加利福尼亚州圣地亚哥举行的联合数学会议上举行。这里的数学图像是各种媒体的作品精选，包括2018年数学美术展览奖的获奖者：弗兰克·法里斯（Frank a Farris）的《鹅莓/斐波那契螺旋》（a Gooseberry/Fibonachi Spiral），获得最佳照片、绘画或印刷品奖；大卫·本田（David Honda）的《十二面体11洞圆环》（Dodecahedral 11-Hole Torus）荣获最佳纺织品、雕塑或其他媒介奖；以及叶卡捷琳娜·卢卡舍娃（Ekaterina Lukasheva）的《Excentrica》，荣誉奖。2008年，一位匿名捐赠者向美国数学协会捐赠了一笔款项，设立了“数学与艺术相结合的美观作品奖”，该捐赠者希望表彰那些作品以视觉艺术形式展现数学之美和优雅的人。
40 x 40 x 10 cm，塑料，2017年。我受到了莱昂纳多·达·芬奇法典的启发，我意识到了莱昂那多·达芬奇所描绘的多面体。多面体既代表了文艺复兴时期的惊喜元素，也代表了现代雕塑，突出了莱昂纳多及其当代艺术知识背景的相关性。菲利波·布鲁内莱斯基（Filippo Brunelleschi）在文艺复兴时期发明了透视法，当时多面体和其他几何形式的使用更加频繁，而当时流行的佛罗伦萨头饰Mazzocchio也成为透视法的象征内德利科和米尔卡·阿季奇
40 x 45厘米，帆布喷墨打印，2017年。二十个彩色球体被十个绿色、细长的环形螺旋体包围。螺旋线还沿着法线向量和副法线向量的线性组合追踪到连接球体中心的曲线的路径。这使得固体物体与周围安全网之间形成了一种共生几何关系。你看到球体颜色的图案了吗丹·巴赫
50 x 70厘米，数字打印，定制软件，2017年。这篇文章来源于我所做的工作，即将所谓的混沌游戏推广到任何正多边形，从而产生Sierpinski垫圈。它是分形和近似分形图像的蒙太奇，是这种概括的自然产物，尤其是当它被转换成代码时。染色的玻璃状背景是随机生产的Sierpinski垫片的“非共振”六边形模拟物，位于“反向”五边形模拟体的后面，以及反向和非共振七边形模拟体所选点之间的路径上的耀斑汤姆·贝茨
24 x 12 x 12厘米，铜网，纸马赫，2016年。此Seifert曲面是一个可定向曲面，其边界为三叶结。这座雕塑是基于一个铜制网格框架，框架上涂有纸张和丙烯酸涂料。对比的黑色和蓝色被用来突出这个可定向表面的不同侧面。在创建物理模型的过程中，我对三叶结的特殊特性有了更深入的了解埃利奥特·A·贝斯特
61 x 51厘米，纸上墨水，2017年。我喜欢在数学、计算机科学和艺术之间寻找有趣的交叉点。这幅图像是花卉和蝴蝶的自然图像视频的嵌入，使用了Saul&Roweis于2000年引入的局部线性嵌入（LLE）这一非线性降维技术。LLE是一种无监督的机器学习算法，利用开源软件将其应用于五帧创意共享视频中，视频中一只蝴蝶在花丛中扇动翅膀琳达·贝弗利
50 x 50厘米，帆布压克力，2017年。这幅艺术品混合了三个数学问题：它是一个21阶的简单不完全方形，使用四色映射定理着色，设计并绘制对称；这21个正方形大小不同，这使得它不完美，而且很简单，因为没有一个子集形成矩形或正方形；四色映射定理指出，平面上的任何映射都可以使用四种颜色绘制，因此共享公共边界的区域不会共享相同的颜色。主正方形具有4级旋转对称性，因为当旋转90度时平铺是不变的里贾娜·比腾古
44 x 44 x 44厘米，木材和黄铜，2017年。计数表明，即使完全二部图K（5,5）没有三角形，它也可能是刚性的。本·罗斯（Ben Roth）和我在《二部图何时是刚性框架》（Pacific Journal of Mathematics，901981）中证明了这一点。该图比自由度多出一条边，因此可以构建为张拉整体结构。在这个实现中，每组五个顶点中的四个形成一个四面体，第五个顶点靠近其中心。四面体重叠，因此每个四面体的中心顶点位于另一个四面体的内部。八个支柱将每个中心顶点连接到另一个四面体的四个顶点。剩下的17条边是电缆伊桑·博克
17 x 17 x 17厘米，泡沫塑料，纱线，线，2017年。当我第一次绘制顶点是四个元素上的排列，其边连接交换相邻元素的排列的图时，我惊讶又高兴地发现了一个截断的八面体（由（12）、（23）和（34）生成的$S_4$的Cayley图）。多年来，我一直想找到这个图形的视觉表现。当我开始学习淡马利（temari）——一种在纱线/线团上刺绣的中国/日本工艺时，我意识到这种方法很管用。这个球是我的第二次努力，我目前正在做第三次——尝试不同的颜色组合黛布拉·博尔科维茨
9 x 28厘米，纸上数字印刷，2017年。威廉·罗文·汉密尔顿、林·曼纽尔·米兰达和琳达·汉密顿的哈密尔顿自行车肖像三联画。每个都有4096个顶点。每一项都是通过求解4096个城市的TSP得出的。使用协和式TSP求解器可以找到最佳路线罗伯特·博世
41 x 55厘米，数字印刷，2017年，这是奇异吸引子中的多项式函数。我在Chaoscope中创作了这幅作品。我在使用这个程序时渲染了4294967295的最大迭代次数，这个设计是在等离子体中渲染的。我已经使用这个程序10年了，我总是受到启发，用美丽的颜色和效果创造新的变化。当我研究已经存在的图像并努力使我的图像与众不同时，我的混沌仪图像总是独一无二的卡罗尔分行
20 x 20 x 20 cm，尼龙，玻璃，2017年。M.C.Escher Circle Limit木刻基于由3个圆的反转生成的对称群。这样一个群的极限集是单圆。由球面上的反演生成的群的极限集可能要复杂得多。4发电机组可能具有相当复杂的极限集，但它始终位于球体上。只有具有5个或更多生成器的组才可能具有极限集的真正三维结构。为了找到极限集，我们将每个点映射到基本域中的相应点。该变换的拉伸因子的倒数测量点到极限集的距离。距离数据的等值面被转换成三角形网格，并用尼龙进行3D打印弗拉基米尔·布拉托夫
50 x 50厘米，数字艺术，2017年。星状Penrose是一种由小型星状十二面体组成的假百合花瓷砖，包含95844个半角和59220个红色或黑色的半角飞镖。瓷砖从60个半风筝开始，每个半风筝覆盖表面上的一个等腰三角形。然后，在八次迭代中，将瓷砖细分为半风筝和半飞镖。最后一步是根据每个瓦片A、B、C、D或E在较大瓦片细分中的位置为其添加标签，然后使用逐数字绘制方法在十二个金字塔点中的每个点上绘制瓦片。十个金字塔点有五种瓷砖类型中的两种涂成红色，而两个金字塔点只有一种涂成了红色。例如，每个顶部金字塔点标有B或E的瓷砖都涂成红色。---道格拉斯·G·伯克霍尔德
60 x 60厘米，档案数字印刷，2017年。N阶Steiner四元组系统，缩写为SQS（N），是将N个符号排列成四个块，使得每三个符号恰好出现在一个块中。N-1阶Steiner三重系统STS（N-1）可以从SQS（N）中导出，方法是考虑所有具有共同特定符号的块，然后从这些块中删除该符号。这张图片展示了独特的SQS（8）的可视化，其布局强调了衍生STS（7）的构造。四胞胎的内环都有一个共同的符号（以灰色显示）。这七个方块中剩下的三个符号构成了独特的STS（7）柯南·查德伯恩
50 x 60厘米，纸上墨水，2017年。计算的混沌是一个手绘的线的集合体，具有一目了然的对称性。明显的算法重复表明了顺序和方向，甚至可能是可以找到方程来生成所有曲线的想法，但与计算机生成的形式不同，在计算机生成的格式中，方程位于图像之前，这个有点混乱的图像充满了与精度的偏差，这使得从图像到方程的移动成为一个令人困惑的挑战桑德拉·德洛齐尔·科尔曼
30 x 30 x 30 cm，塑料（乙烯基），2017年。这件艺术品是基于这样的观察，即任何多面体的边都恰好连接到4条其他边（根据定义，如果两条边共享一个面和一个顶点，则它们是连接的）。具有4个连接点的柔性件被视为多面体边，因此可以建模任何多面体。通过在每件作品的中心添加第五个连接点，可以创建多层雕塑，从而实现层与层之间的连接。每个新层都对前一层所建模的多面体的校正进行建模，并且具有两倍的块数。这项工作有四层，分别对应于四面体、八面体、立方八面体和菱形八面体；它有6+12+24+48=90个十字形块和96个（红色）圆盘米尔恰·德拉吉切斯库
最佳照片、绘画或印刷品——2018年数学艺术展
51 x 51厘米，铝制数字印刷，2017年。约翰·埃德马克（John Edmark）螺旋线的一个转折点是，这种图案将p31m型墙纸图案缠绕在平面上，用复杂的指数图创建斐波那契螺旋线。数学基础包括一个类似斐波纳契数列的艾森斯坦整数，然后确定壁纸波的频率向量格，壁纸波将正确降落在绕组中。通过“调谐”波浪来选择图案：调整频率和振幅以找到美丽的图案。西部（或塞拉利昂）猕猴桃的味道与东部的猕猴桃差不多，半透明且绿色，但成熟后呈深红色，布满荆棘，因此采摘起来很不方便。美味的果冻是一个古老的家庭传统弗兰克·A·法里斯
45 x 45 x 2 cm，鸟眼枫木贴面，桐油染色和饰面，2017年。与对多边形和顶点的刚性、对称、激光切割描绘不同，流动的鸟眼枫木纹理暗示了变形多边形和粘合边以在紧凑曲面中嵌入图形时允许的拓扑自由。根据编号将90-gon的顶点和边粘合在一起，可以得到10个顶点上的完整图形。包括多边形内部，结果是嵌入到具有10个顶点、45条边和1个面的紧凑可定向曲面中。Euler特征和属关系V-E+F=2-2g得出g=18。因此嵌入在18孔圆环中。由于图的补码是单个开盘多边形内部，因此这是最大的2单元嵌入罗伯特·弗兰佐萨
30 x 30 x 15厘米，聚丙烯色带，2016年。我喜欢使用Snapology技术制作多面体。这一系列基于柏拉图实体的模型仅使用菱形构建。菱形的分组表示基础实体的每个面，在中心共享由2n个菱形构成的顶点（星形），其中n是模型柏拉图面的边数。在顶点周围添加了额外的2n个菱形。然后在每条边上添加最后一个菱形。初始多边形的顶点有3或4个菱形。我发现很有趣的是，按照这些简单的规则，顶点会以3、4和5个菱形出现
37 x 30 x 20厘米，玻璃和水晶珠，线，扣，耳塞，2017年。在我们的论文“构建一个更好的手镯：珠钩针壁纸图案”中，Ellie Baker和我证明了17组壁纸中有13组是用珠钩针绳设计的，但其中两组只出现在相当普通的图案中。这条无缝项链在所有13组的设计之间平滑过渡。耳环（内环）、手镯（外环）和搭扣（背面）是珠子织成的平面壁纸设计，形成项链上的图案。“蛇形对称”是手工制作的，包含7700多个珠子苏珊·戈德斯汀
15 x 20厘米，数字印刷，2017年。我用0和1标记30x40网格的边缘。我将每行边和每列边作为混沌一维细胞自动机的输入。在对自动机进行500次迭代后，我使用边缘标签为单元格分配十六进制数字。我为数字指定颜色以创建构图。我通过调用爬山算法重复该过程25000次来生成艺术品，以最大化中央区域十六进制数字5（棕色）和9（黄色）的出现次数。数字的选择产生了控制棕色和黄色相对位置的规则。规则30用于边缘行。规则54用于边柱加里·格林菲尔德
43 x 23 x 23厘米，金属丝，2017年。作为一名艺术家，对数学思想、自然以及它们之间的关系和过渡的解释是我作品的核心。“Kleine Fröschlein”是对Klein瓶子的研究，这是两只青蛙玩标签游戏的理想场所。他们会互相抓住吗Zdeňka瓜达拉马
12 x 12厘米，棉线，2012年。这个三角架由12个环组成。每个环与相应的斐波那契数列具有相同数量的连续线段，前两个环是实心的，最后一个环具有144个不同的线段。选择段的颜色，以便相邻的两个段没有相同的颜色安德烈亚·希尔德
210 x 150厘米，棉布，2017年。这个设计从一个基本的几何概念开始，它说明了由直角三角形的边组成的正方形区域之间的关系。迭代这个概念会得到一个美丽的分形，当我们越来越深入地观察时，它会带来丰富的美和阴谋。被子的哪个区域被紫色织物覆盖，被蓝色织物覆盖。。。用红色布料？这床被子展现了通过角度可以实现的美丽：彩虹般的色彩和方形的图案娜塔莉·霍布森
最佳纺织品、雕塑或其他媒介——2018年数学艺术展
34 x 37 x 37厘米，卡片纸，2016年。这件作品的灵感是创建一个具有内部结构的模型。我的工作面临的一个挑战是，随着我的作品越来越大，重量与支撑的问题已经成为一个问题。我想看看我是否可以构建一个在数学上和视觉上都令人满意，但在结构上也很合理的东西。整体形状以十二面体为基础。在十二面体每个面的中心，表面像漏斗一样向内下沉。12个漏斗中的每一个在中心与另一个较小的基于十二面体的结构相连。从拓扑上讲，这件作品也可以被认为是一个11孔环面大卫·本田
50 x 50厘米，档案喷墨打印，2017年。骑士在8x8网格上的巡游是访问每个单元格一次的路径，完全由骑士的移动组成。如果巡更上的一个点被选为“1”，则继续沿着路径分配连续的数字会产生一个从1到64的8x8数字数组。在某些情况下，该阵列被证明是“魔法”。一些封闭的骑士之旅可以通过多种方式进行魔法编号；Jaenisch发现的巡演产生了五种不同的魔法骑士巡演。这幅图显示了这五个MKT在一个以8为基数的彩色编码系统中表示。每个魔术方块的编号都以黑色的小圆圈开始，以较大的圆圈结束。几何路径显示在剩下的四个方块中，着色后与中央幻方相对应玛格丽特·凯普纳
20 x 30厘米，数字印刷，2016年。在奇妙、神秘和复杂的混沌和奇怪吸引子领域，探索者可以发现微妙、美丽，有时甚至是非常发自内心的现象。。。我的作品献给我们的两位了不起的朋友，雷蒙德·M·斯穆利扬博士（1919–2017）和雷扎·萨汉吉博士（1952–2016），他们将永远活在我们的心中特贾·克拉塞克
荣誉奖——2018年数学艺术展
52 x 52 x 5厘米，纸张，2017年。折纸镶嵌是一种复杂的三维几何结构。这些表面是使用折纸技术制作的，这意味着只折叠一张纸，而不需要拉伸、切割或粘合。此图表示平面到三维曲面的连续等轴测映射的结果。很难相信，但它可以在任何时候被拉回一张平坦的床单叶卡捷琳娜·卢卡舍娃
22 x 32厘米，计算机艺术，2016年。数学是一种透视自然的方式；这是一种思考自然的方式。我们可以看到大自然并推导出数学，但我们也可以做数学并推导出大自然的形状。这种“参数静物”（意大利语中的静物=“natura morta”），每个图像都由一个参数方程定义，这可能表明通过艺术进行的数学不仅是活的，而且是活的！---玛丽亚·曼诺内
28 x 43 x 2厘米，计算机生成的图像打印在光面纸上，2014年。这幅作品出自我的论文，其中涉及证明与希尔伯特度量有关的定理。希尔伯特度量是定义点之间距离的一种特殊方法。应用于这两个三角形内部的希尔伯特度量产生了双曲非欧几里德几何。对于这种双曲线几何体，从这些顶点出来的线是平行的（不相交）。在我们的眼中，这些线看起来并不平行，除非我们看到它们是平行的线，从透视图中画出，延伸到远处。当我们看到线条和色彩形成的各种图案时，我们的大脑试图理解其复杂性；我们的感知在看六边形（相对于希尔伯特公制来说是圆形）、平行线和偶尔的平行管之间转换克里斯麦卡锡
41 x 51厘米，铝板数字印刷，2017年。这张照片是2017年7月朱诺号宇宙飞船拍摄的木星红斑照片的处理。这张照片是在佩里霍夫拍摄的，这是航天器最接近行星表面的轨道上的一个点，这就是这张照片的标题。该操作是使用复杂非线性偏微分方程的迭代离散形式实现的。方程式的形式是为了美观而选择的，但由此产生的结构表明了行星巨大风暴中复杂的流体动力学凯里·米切尔
9 x 9 x 8 cm，3D打印尼龙塑料，2015年。带边界的三维流形的脊椎是流形变形收缩到的二维复合体。这里，我们展示了三叶结及其在三个球体中的补充脊椎，立体投影到欧氏空间。窗户形成一个扭曲的矩形网格，所有角度都为90度。在一个网格方向上，窗户沿半圆排列，每个半圆的两端都位于垂直轴上。在另一个栅格方向上，窗口会勾勒出三叶结。唯一的例外是窗户与垂直轴的双圆相交。这个设计是迪伦·瑟斯顿向我们建议的索尔·施莱默和亨利·塞格曼
24 x 24 x 24 cm，3D-print，PLA塑料，2017年。在这座雕塑中，24个“4根Dyck漏斗”与菱形十二面体的24条边缘对齐，其树桩与48条隧道相连。这产生了一个亏格50的表面，相当于25个有24个穿孔的克莱因瓶的连通和，表现出定向立方体的24倍对称性。在LULZBOT 3D-printer上制作这个模型花了132个小时。支架拆除又花了几个小时卡洛·塞奎因
18 x 18 x 5厘米，铜线上的木珠，2017年。木珠被制成32个五边形：内环8个，外环24个。四个五边色在每个顶点相交，在这个{5,4}双曲面上形成褶皱。起伏的表面与木质珠子的颜色变化共享有机美。而铜线在这个不规则的空间里握住珠子的能力为作品增添了运动感。内环中8个五边形的视觉简单性与外环的密度形成对比，外环的五边形数量是内环的3倍斯泰西·斯派尔
14 x 14 x 14厘米，3厘米玻璃喇叭珠，2014年。具有面心立方（fcc）晶体对称性的八面体晶格结构是基于四面体和八面体以2:1的比例堆叠而成的桁架状空间框架。八字塔式空间框架坚固轻便，因为其基本建筑主题具有固有的刚性。提出的喇叭珠模型代表了一个有限的骨架结构，根据fcc紧密堆积，由一个中心较小的立方八面体（棕色喇叭珠）和一个外层频率为两个立方八面体内（黄色喇叭珠）组成蔡金秋和比亚金
50 x 50 cm，银色明胶照片，4“x 5”底片，2017年。将LED灯连接到Blackburn摆上，以4比3的比例产生正交的运动周期。从音乐上讲，这将是一个主要的第四个音程。曝光是用一个4 x 5英寸的胶片相机在完全黑暗的环境中抬头拍摄的。总曝光时间为10分48秒，在此期间，相机在一个非常缓慢的转盘上旋转90度。因为钟摆运动周期的公式包含一个角度依赖性，所以当振幅减小时，布莱克本钟摆会进出共振，产生有趣的图案，对我来说，这些图案非常美丽保罗·温赖特
6 x 6 x 6 cm，火焰处理硼硅酸盐玻璃，2016年。艺术是玩耍的好借口。通过抽象探索模式和对称性提供了一个机会，可以从常规的视觉模式之外进行观察。“莫比乌斯短裤”很相似，但不同于莫比乌斯长条。在这里，“Möbius Shorts”是用玻璃棒勾勒出来的，玻璃棒上有一个看不见的表面，在拓扑上相当于一个有洞的克莱恩瓶。这个单面表面似乎有漂浮在玻璃中的环，从而展示了它简洁优雅的形状。---安杜里尔·维德马克
