谈话：整数除法

[最小绝对余数]整数除法

这个[最小绝对余数]整数除法的整数 

米

通过非零整数

n个

定义为

${显示样式\left\lfloor{\frac{m}{n}}+{\rm{sgn}}（n）$

其中

sgn公司(n个)

是符号函数.在映射中

${显示样式（m，n）\mapsto（q，r）：=left（\left\lfloor{\frac{m}{n}}+{\rm{sgn}}（n）\，{\frac{1}{2}}\ right\rfloor\，m-\left\floor{m}}{n{}}+}\rm{sgn}{（n \mathbb{Z}，n\in\mathbb{Z}^{*}，}$

[最小绝对余数]整数除法是整数商 

q个∈ ℤ

带有

−  ⌊   | n个 | /2⌋   ≤  第页< | n个 |  −  ⌊   | n个 | /2⌋

作为最小绝对余数.

例如

•  

  (7, 2)

  映射到

  (4, 7  −  4  ×  2) = (4,  − 1)

  ;
•  

  ( − 7, 2)

  映射到

  ( − 3,  − 7  −  ( − 3)  ×  2) = ( − 3,  − 1)

  ;
•  

  (7,  − 2)

  映射到

  ( − 4, 7  −  ( − 4)  ×  ( − 2)) = ( − 4,  − 1)

  ;
•  

  ( − 7,  − 2)

  映射到

  (3,  − 7  −  3  ×  ( − 2) = (3,  − 1)

  .

我做得对吗-丹尼尔·福格斯2016年9月6日04:46（UTC）

写得更紧凑-丹尼尔·福格斯2016年9月7日03:29（UTC）

我从未听说过最小绝对余数整数除法-查尔斯·格里特豪斯四世2016年9月7日04:10（UTC）

使用最小绝对余数除此之外，用于gcd的欧几里德算法所需的步骤最少：

O（运行） （日志2(n个))

步骤，而不是

O（运行） （日志ϕ(n个))

台阶（与平常一样最小正余数部门）。

托马斯·摩尔（1992）。“关于最小绝对余数欧几里德算法。”数学和计算机科学系出版物。论文13。网址：http://vc.bridgew.edu/math_compsci_fac/13

Sreeram Vuppala，使用最小绝对余数的Aryabhata算法.

—丹尼尔·福格斯2016年9月7日04:54（UTC）

谢谢你的消息来源。我在这两个来源中都找不到特别的引用，但我很想知道它的起源，因为

O（运行） （日志2(n个))

= 

O（运行） （日志ϕ(n个))

因此，这基本上是错误的。（当然，意图很明确。）我们在写结果时会更加小心！

在OEIS wiki中包含此操作和相关结果没有问题，但我很犹豫是否调用q个这个运算的整数商，因为它与通常的含义不同。但写下来，但感觉最好，我会尝试回来检查。

查尔斯·格里特豪斯四世2016年9月7日05:23（UTC）

也，

M.Syafiq Johar（2015），欧氏算法中的最小步长及其在有理纠缠中的应用.

实际上，我看到的是最小绝对余数欧几里德算法，不是最小绝对余数整数除法。但在我看来最小绝对余数欧几里德算法使用最小绝对余数整数除法（q个此运算的“最近整数商”）-丹尼尔·福格斯2016年9月7日05:36（UTC）

古希腊人没有负数。我想知道欧几里德是否会以不同的方式定义他的欧几里得除法，以及他的欧几里得gcd算法-丹尼尔·福格斯2016年9月7日05:46（UTC）

实际上，他用减法来定义它，而除法只是一种方便的捷径-查尔斯·格里特豪斯四世2016年9月7日20:19（UTC）

我知道

O（运行） （日志2(n个)) =O（运行） （日志ϕ(n个)) =O（运行） （日志n个)

自

日志ϕ(n个) = 日志n个 日志ϕ =（2.0780869…）日志n个

和

日志2(n个) = 日志n个 日志2 =（1.442695…）日志n个

.所以最小绝对余数gcd的欧几里德算法只比常数因子更快

日志2 日志ϕ = 1.44042...

与经典相比最小正余数gcd的欧几里德算法。我记得在什么地方见过最小绝对余数欧几里得算法的阶数为

日志2(n个)

; 因为余数的绝对值在每一步都要除以2，所以我可以理解为什么-丹尼尔·福格斯2016年9月9日02:47（UTC）

从某种意义上来说，最小绝对余数除法似乎比最小正余数除法器更自然

71/9=8雷姆（-1）

即8个部分，最后一部分短1……（因此，只有当小于除数的一半时才是“余数”，否则是“短缺”的额外部分）-丹尼尔·福格斯2016年9月9日03:10（UTC）