收敛常数表

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如果您使用收敛的单连分式正实常数的${\显示样式\脚本样式x\，}$作为广义连分式，然后同样在另一个广义连分式中使用新的收敛性，然后无限次重复该过程，得到收敛常数属于$｛\displaystyle\scriptstylex\，｝$.

收敛常数的十进制展开式表

这是一张十进制展开的收敛常数单位间隔中的数字（精确到小数点后几位）。

收敛常数的十进制展开式

间隔 ${\显示样式\脚本样式n\，<，x，<，n+1，}$	十进制展开
${\显示样式\脚本样式0\，<\，x\，<\\，1\，}$	0.555753104278045912445404118914340954558701121527873520909466749141805525
${\显示样式\脚本样式1\、<\、x\、<\，2\、}$	3/2
${\显示样式\脚本样式2\、<\、x\、<\，3\，}$	2.34840747027923017753942106197568446599459134194436379240686093933819431
$｛\displaystyle\scriptstyle3\，<\，x\，<\，4\，｝$	3.27650338501442446313869723500191021836425538416806540917422208480175505
${\显示样式\脚本样式4\，<\，x\，<\\，5\，}$	4.22347020820989381899229465579606520590540168426834718889825404922428100
${\显示样式\脚本样式5\，<\，x\，<\\，6\，}$	5.18565646992802409017974449702978508707523321914128178742372087927236700
${\显示样式\脚本样式6\，<\，x\，<\\，7\，}$	6.15810303145254827410063597755065162511167287820224098634493149065143559
${\显示样式\脚本样式7\，<\，x\，<\\，8\，}$	7.13735628625292704311007524679169877304322715574918267136020828074914214
${\显示样式\脚本样式8\，<\，x\，<\\，9\，}$	8.12126618497817841315615757896912822918546207374829639453021008588079632
${\显示样式\脚本样式9\，<\，x\，<\\，10\，}$	9.10846444629835855991014157961308368936311583840647537012962893409038950
${\显示样式\脚本样式10\，<\，x\，<\\，11\，}$	10.0980577066244279660274026688371803570441462414026209663468193828590617
${\显示样式\脚本样式11\，<\，x\，<\\，12\，}$	11.0894425212553401078876965434845548031348191003781045829218889648259711
${\显示样式\脚本样式12\，<\，x\，<，13\，}$	12.0821993897558878542198280177025526317026280405662984566729881856315719
${\显示样式\脚本样式13\，<\，x\，<，14\，}$	13.0760285296874645132629224136174909740168070390661300623065877509924028
${\显示样式\脚本样式14\，<\，x\，<\\，15\，}$	14.0707106421306583794307985590019607518185910897586656901770854255534492
${\显示样式\脚本样式15\，<\，x\，<，16\，}$	15.0660818368963185795758515870216283423710967675570285878485746555729410
${\显示样式\脚本样式16\，<\，x\，<，17\，}$	16.0620173529872245808707445573926099244176869445335986119694645662767158
${\显示样式\脚本样式17\，<，x，<，18，}$	17.0584206140878372258151041771708503107019010736610995430331403081780732
${\显示样式\脚本样式18\，<\，x\，<\\，19\，}$	18.0552157567107736203683948969249555639263462699212290812321530303026009
${\显示样式\脚本样式19\，<\，x\，<\\，20\，}$	19.0523423877911115732097644781511097132248947281357809368283750631322836
$｛\displaystyle\scriptstyle 20\，<\，x\，<\，21\，｝$	20.0497518564660224543274614039363517238124817233619002142629711440569487
${\显示样式\脚本样式21\，<，x，<，22，}$	21.0474045440909825260028174458150879195859547035079107915457441450023133
${\显示样式\脚本样式22\，<\，x\，<，23\，}$	22.0452678714518992721450037899058489734476536614104800501601558782252837
${\显示样式\脚本样式23\，<\，x\，<，24\，}$	23.0433148070044688113813661667828989390215175430801967752526064653220158
${\显示样式\脚本样式24\，<\，x\，<，25\，}$	24.0415227390704340349445242968831853205024363492002894981264231200960497
$｛\displaystyle\scriptstyle 25\，<\，x\，<\，26\，｝$	25.0398726104835531505454800119187743870010480391023212748288096665713029
${\显示样式\脚本样式26\，<，x，<，27，}$	26.0383482489519995759396825385239952339632533596060289949098856476522737
${\显示样式\脚本样式27\，<，x，<，28，}$	27.0369358423734693183441925373183671665720756853453752356678870073522203
${\显示样式\脚本样式28\，<\，x\，<，29\，}$	28.0356235247014360291341001488753207326643401862148362051108062748636572
${\显示样式\脚本样式29\，<\，x\，<\\，30\，}$	29.0344010455745866474204942206947531129812752761653152146317756652818656
${\显示样式\脚本样式30\，<\，x\，<，31\，}$	30.0332595050811042418532747973329799470071726245407823526215258495081172
${\显示样式\脚本样式31\，<\，x\，<\\，32\，}$	31.0321911388527757111622591442900622936149620560651599893433295038856995
${\显示样式\脚本样式32\，<\，x\，<，33\，}$	32.0311891429623599978929347293525123501331510248600142086752535560797423
${\显示样式\脚本样式33\，<\，x\，<，34\，}$	33.0302475301065362835343522296099366839415836523882970866444110641167673
${\显示样式\脚本样式34\，<，x，<，35，}$	34.0293610109002658556654484410723038745374048555565585493442508693343757
${\显示样式\脚本样式35\，<\，x\，<，36\，}$	35.0285248952067097223198351872514511326533377515569370270226176388988650
${\显示样式\脚本样式36\，<\，x\，<，37\，}$	36.0277350097606288916277724739781161105813921494296070098554776932025361
${\显示样式\脚本样式37\，<\，x\，<\\，38\，}$	37.0269876289651056822609144095977817853723011681638548196504164332390172
${\显示样式\脚本样式38\，<\，x\，<，39\，}$	38.0262794165266744637155697353909617372129300610278021133239820782856376
${\显示样式\脚本样式39\，<\，x\，<，40\，}$	39.0256073759572507636965033170757647816824074805674443381026310239717574
${\显示样式\脚本样式40\，<\，x\，<，41\，}$	40.0249688084476915260996790257012337366038359258054184341836304371630757
$｛\displaystyle\scriptstyle 41\，<\，x\，<\，42\，｝$	41.0243612768360387748560272092573627265904058368454691615018168095940850
${\显示样式\脚本样式42\，<，x，<，43，}$	42.0237825746904769269490776383145522691082581957635278361925790992943925
${\显示样式\脚本样式43\，<\，x\，<，44\，}$	43.0232306996614274856554962343968451184394725443237088202658570830949899
${\显示样式\脚本样式44\，<\，x\，<，45\，}$	44.0227038304468644021082316993531158741502891356873352360321218985462016
${\显示样式\脚本样式45\，<\，x\，<，46\，}$	45.0222003067995898679269732517860875121318662297622698424543079083633103
${\显示样式\脚本样式46\，<\，x\，<，47\，}$	46.0217186121290207012920572164987690595482794100502596494486142804546010
${\显示样式\脚本样式47\，<\，x\，<，48\，}$	47.0212573583044634217851372765589486255486837426359011649361616200947105
${\显示样式\脚本样式48\，<，x，<，49，}$	48.0208152723493080992155772873888601237085126185045255822258948589065609
${\显示样式\脚本样式49\，<\，x\，<\\，50\，}$	49.0203911847512214370852112126080912169085890115746720120719388884542624
${\显示样式\脚本样式50\，<，x，<，51，}$	50.0199840191693372283284223648026071485989281172741672014671750209923297
${\显示样式\脚本样式51\，<，x，<，52，}$	51.0195927833431935961128410190667810389646441105501495457647763617903339
${\显示样式\脚本样式52\，<\，x\，<，53\，}$	52.0192165610467264846727952191413248629001860113327586169807435780044138
${\显示样式\脚本样式53\，<\，x\，<，54\，}$	53.0188545049467010030371106812489064513716149387900157099230325907091442
${\显示样式\脚本样式54\，<\，x\，<，55\，}$	54.0185058302519633905613316789928150712664625089867550993597550319032703
${\显示样式\脚本样式55\，<，x，<，56，}$	55.0181698090509289822945925561213673297969398552911031312215028514016890
${\显示样式\脚本样式56\，<\，x\，<，57\，}$	56.0178457652538979500217427030043169137434640573203488862506542974062819
${\显示样式\脚本样式57\，<\，x\，<\\，58\，}$	57.0175330700644644713389562472396524966345130726179705154995937790676919
$｛\displaystyle\scriptstyle 58\，<\，x\，<\，59\，｝$	58.0172311379180834749302762609310234471323921478605500706933066161279209
${\显示样式\脚本样式59\，<\，x\，<\\，60\，}$	59.0169394228312622851524064536129272388599209711261731951376550771828887
${\显示样式\脚本样式60\，<\，x\，<\\，61\，}$	60.0166574151148944999937393782499861437550594465363278073750638942404134
${\显示样式\脚本样式61\，<\，x\，<\\，62\，}$	61.0163846384091010451838019305685685026390053035487426888784292269388758
${\显示样式\脚本样式62\，<\，x\，<，63\，}$	62.0161206470043462795337138560989980380842851030966535182523422843536872
$｛\displaystyle\scriptstyle 63\，<\，x\，<\，64\，｝$	63.0158650234163658085747332323737806149454324381956602033203091485212667
${\显示样式\脚本样式64\，<\，x\，<\\，65\，}$	64.0156173761879534390703539567572611559989327718459899341097879456344791
${\显示样式\脚本样式65\，<\，x\，<，66\，}$	65.0153773378926666897183344770173211437629562604281687262136027337233822
${\显示样式\脚本样式66\，<\，x\，<，67\，}$	66.0151445633196530806147717923102208305152003068353702012892760476065051
${\显示样式\脚本样式67\，<\，x\，<，68\，}$	67.0149187278202748180991130155244737432479173630206519026868590545271941
${\显示样式\脚本样式68\，<，x，<，69，}$	68.0146995258003527442229053334812513702429592488423029206966337882944678
${\显示样式\脚本样式69\，<\，x\，<\\，70\，}$	69.0144866693429415491575106836010008301920634946690326478418495360084892
${\显示样式\脚本样式70\，<，x，<，71，}$	70.0142798869489538291983317437338963015332271892547871421040190535511643
${\显示样式\脚本样式71\，<\，x\，<，72\，}$	71.0140789223837639406078897520375739540234815447014145045836192858086094
${\显示样式\脚本样式72\，<\，x\，<，73\，}$	72.0138835336197786707289784137324307272398273925714541550178370280324108
${\显示样式\脚本样式73\，<\，x\，<，74\，}$	73.0136934918655725746514755250863726286010647704569040678434471403798632
${\显示样式\脚本样式74\，<，x，<，75 \，}$	74.0135085806736289266802832650346609755343779339181036035231393699217408
${\显示样式\脚本样式75\，<\，x\，<，76\，}$	75.0133285951191891540469524020312468944131977208162821381408353551779317
${\显示样式\脚本样式76\，<，x，<，77，}$	76.0131533410438437787131485095352602919999478360136113363781711061779171
${\显示样式\脚本样式77\，<\，x\，<\\，78\，}$	77.0129826343578494844092271147092362172357949240559711594806786360030450
${\显示样式\脚本样式78\，<，x，<，79，}$	78.0128163003960480748175902186222641585116833493333494356095658896616408
$｛\displaystyle\scriptstyle 79\，<\，x\，<\，80\，｝$	79.0126541733225323421733485650628379625011304899781880029744658044224723
${\显示样式\脚本样式80\，<\，x\，<，81\，}$	80.0124960955799111121269738637889217436022267168601969869780015858734444
${\显示样式\脚本样式81\，<\，x\，<，82\，}$	81.0123419173792331121758392012538763800427384168408191102171862996337661
${\显示样式\脚本样式82\，<\，x\，<，83\，}$	82.0121914962271940593415929774424133239468846960029179503334293354439164
${\显示样式\脚本样式83\，<\，x\，<，84\，}$	83.0120446964874119499341124542092520390357653331327374115684092632463724
${\显示样式\脚本样式84\，<\，x\，<，85\，}$	84.0119013889730091283550356079183166160637452196762106637426400397593614
${\显示样式\脚本样式85\，<\，x\，<，86\，}$	85.0117614505678646915825930276524547374643012972636073211990740398374752
${\显示样式\脚本样式86\，<，x，<，87，}$	86.0116247638742671247476388760829830756973667215199145048290535917347995
${\显示样式\脚本样式87\，<，x，<，88，}$	87.0114912168847947913328696552970936804891529990008771871083447599505842
${\显示样式\脚本样式88\，<，x，<，89\，}$	88.0113607026765493318071122213830776657576432122905651667796101017122746
${\显示样式\脚本样式89\，<\，x\，<\\，90\，}$	89.0112331191259437822358472195463418349782782747284205505747284268540866
${\显示样式\脚本样式90\，<\，x\，<，91\，}$	90.0111083686424899224423031240518536485406496536639501758085933324906162
${\显示样式\脚本样式91\，<，x \，<\，92 \，}$	91.0109863579200899007682860129730159145331268043813004142685990178451639
${\显示样式\脚本样式92\，<\，x\，<\\，93\，}$	92.0108669977045361698439668170097885118553846556725829901809638858006542
${\显示样式\脚本样式93\，<\，x\，<，94\，}$	93.0107502025759716979075200073193106499789867282803181797087724353927445
${\显示样式\脚本样式94\，<，x，<，95，}$	94.0106358907452263164678839837347951325471865228968205287383862491574476
${\显示样式\脚本样式95\，<\，x\，<，96\，}$	95.0105239838629831508204537512064265082040532946087762147584694952969109
$｛\displaystyle\scriptstyle 96\，<\，x\，<\，97\，｝$	96.0104144068408646641532393224365069927441978848755228825134768041837314
${\显示样式\脚本样式97\，<\，x\，<\\，98\，}$	97.0103070876835582111443789477402482269771953477158977238816425204544377
${\显示样式\脚本样式98\，<\，x\，<\\，99\，}$	98.0102019573312136294970474488006649950020753495440125744008421101479272
${\显示样式\脚本样式99\，<\，x\，<\\，100\，}$	99.0100989495113696831238805448930028090438552837401407240721717463482767
${\显示样式\脚本样式100\，<\，x\，<，101\，}$	100.009998000599760111943429983564997375509180836539380597659977240111413
$｛\displaystyle\scriptstyle1\，<\，x\，<\，2\，｝$	1.50000000000000000000000000000000000
${\显示样式\脚本样式10\，<\，x\，<\\，11\，}$	10.09805770662442796602740266883718036
${\显示样式\脚本样式100\，<\，x\，<，101\，}$	100.00999800059976011194342998356499738
${\显示样式\脚本样式1000\，<\，x\，<\\，1001\，}$	1000.00099999800000599997600011199943400
${\displaystyle\scriptstyle 10000\，<\，x\，<\\，10001\，}$	10000.00009999999800000005999999760000011
${\displaystyle\scriptstyle 100000\，<，x，<，100001\，}$	100000.00000999999999800000000059999999976
${\displaystyle\scriptstyle 1000000\，<\，x\，<\\，1000001\，}$	1.00000000000099999999999800000000000600000*10^6
${\displaystyle\scriptstyle 10000000\，<，x，<，10000001\，}$	1.000000000000009999999999999800000000000006*10^7
${\displaystyle\scriptstyle 100000000\，<，x，<，100000001\，}$	1.0000000000000000999999999999999800000000000*10^8
${\显示样式\脚本样式1000000000\，<\，x\，<\\，1000000001\，}$	1.00000000000000000099999999999999999800000000*10^9
$｛\displaystyle\scriptstyle 10000000000\，<\，x\，<\，10000000001\，｝$	1.000000000000000000009999999999999999999800000*10^10
${\displaystyle\scriptstyle 100000000000\，<，x，<，100000000001\，}$	1.0000000000000000000000999999999999999999999800*10^11

为了提高精度，最后一行的术语10^11到10^11+1显示了以下模式。

1

00000000000.000000000009999999999999999999998

00000000000000000000059999999999999999999976

00000000000000000001119999999999999999999434

0000000000000000002999999999999999999998355599999999976

0000009242400000000275999994696799999999620800003089932

0000002755199981725123999997143973344235799022223768553919

—马文·雷·伯恩斯2011年6月8日17:55（UTC）

收敛常数的整数部分和部分分母表

这是一张整数部分 ${\显示样式\脚本样式a{0}（n）\，}$和前几个部分分母 ${\显示样式\脚本样式a{i}（n），\，i\，\geq\，1，\，}$的简单连分式的收敛常数单位间隔中的数字。

收敛常数的简单连分式的整数部分和部分分母

间隔 ${\显示样式\脚本样式n\，<，x，<，n+1，}$	整数部分$｛\displaystyle\scriptstyle（a_｛0｝（n））\，｝$和 部分分母${\显示样式\脚本样式（a{i}（n），\，i\，\geq\，1）\，}$ ${\显示样式\脚本样式\{a{0}（n），\，a{1}（n），\$
${\显示样式\脚本样式0\，<\，x\，<\\，1\，}$	?
${\显示样式\脚本样式1\、<\、x\、<\，2\、}$	[1; 2]
${\显示样式\脚本样式2\、<\、x\、<\，3\，}$	{2,2,1,6,1,2,2,1,1,1,1,1,1,1,2}
${\显示样式\脚本样式3\，<\，x\，<\\，4\，}$	{3,3,1,1,1,1,1,1,4,3,1,1,14,1,16}
${\显示样式\脚本样式4\，<\，x\，<\\，5\，}$	{4,4,2,9,2,4,3,4,1,2,7,1,1,63,13}
${\显示样式\脚本样式5\，<\，x\，<\\，6\，}$	{5,5,2,1,1,2,3,6,1,14,1,49,1,114,2}
${\显示样式\脚本样式6\，<\，x\，<\\，7\，}$	{6,6,3,12,1,58,9,2,2,1,3,3,1,2,18}
${\显示样式\脚本样式7\，<\，x\，<\\，8\，}$	{7,7,3,1,1,3,4,2,8,1,5,53,1,4,1}
${\显示样式\脚本样式8\，<\，x\，<\\，9\，}$	{8,8,4,16,1,2,1,7,1,2,7,1,2,7,6}
${\显示样式\脚本样式9\，<\，x\，<\\，10\，}$	{9,9,4,1,1,4,5,1,4,15,1,2,40,16,2}
${\显示样式\脚本样式10\，<\，x\，<\\，11\，}$	{10,10,5,20,1,1,2,9,1,17,1,1,1,5,10}
${\显示样式\脚本样式11\，<\，x\，<\\，12\，}$	{11,11,5,1,1,5,7,7,1,1,5,1,1,4,2}
${\显示样式\脚本样式12\，<\，x\，<，13\，}$	{12,12,6,24,2,110,9,2,3,1,32,1,2,1,19}
${\显示样式\脚本样式13\，<\，x\，<，14\，}$	{13,13,6,1,1,6,8,2,6,3,10,1,3,1,1}
$｛\displaystyle\scriptstyle 14\，<\，x\，<\，15\，｝$	{14,14,7,28,2,2,1,13,1,1,6,1,3,2,2}
${\显示样式\脚本样式15\，<\，x\，<，16\，}$	{15,15,7,1,1,7,9,1,3,1,6,1,1,1,9}
${\显示样式\脚本样式16\，<\，x\，<，17\，}$	{16,16,8,32,2,1,2,15,1,5,2,1,3,18,5}
${\显示样式\脚本样式17\，<，x，<，18，}$	{17,17,8,1,1,8,11,7,1,11,5,1,1,5,1}
${\显示样式\脚本样式18\，<\，x\，<\\，19\，}$	{18,18,9,36,3,163,2,2,3,3,1,7,4,19,1}
${\显示样式\脚本样式19\，<\，x\，<\\，20\，}$	{19,19,9,1,1,9,12,2,5,2,20,4,3,3,8}
${\显示样式\脚本样式20\，<\，x\，<，21\，}$	{20,20,10,40,3,2,1,19,2,9,3,6,1,1,1}
${\显示样式\脚本样式21\，<，x，<，22，}$	{21,21,10,1,1,10,13,1,3,1,3,2,1,1,1}
${\显示样式\脚本样式22\，<\，x\，<，23\，}$	{22,22,11,44,3,1,2,21,1,3,1,7,2,1,2}
${\显示样式\脚本样式23\，<\，x\，<，24\，}$	{23,23,11,1,1,11,15,8,6,1,10,1,1,3,3}
${\显示样式\脚本样式24\，<\，x\，<，25\，}$	{24,24,12,48,4,217,16,1,1,1,4,1,9,6,10}
${\显示样式\脚本样式25\，<\，x\，<，26\，}$	{25,25,12,1,1,12,16,2,5,11,5,8,4,8,2}
${\显示样式\脚本样式26\，<，x，<，27，}$	{26,26,13,52,4,2,1,25,2,3,1,4,2,10,1}
${\显示样式\脚本样式27\，<，x，<，28，}$	{27,27,13,1,1,13,17,1,3,1,2,2,273,2,25}
${\显示样式\脚本样式28\，<\，x\，<，29\，}$	{28,28,14,56,4,1,2,27,1,3,3,3,1,1,9}
${\显示样式\脚本样式29\，<\，x\，<\\，30\，}$	{29,29,14,1,1,14,19,8,3,2,2,17,1,1,7}
${\显示样式\脚本样式30\，<\，x\，<，31\，}$	{30,30,15,60,5,270,1,5,1,1,1,1,2,1,4}
$｛\displaystyle\scriptstyle 31\，<\，x\，<\，32\，｝$	{31,31,15,1,1,15,20,2,4,1,6,25,1,3,9}
${\显示样式\脚本样式32\，<\，x\，<，33\，}$	{32,32,16,64,5,2,1,31,2,2,1,2,3,1,1}
${\显示样式\脚本样式33\，<\，x\，<，34\，}$	{33,33,16,1,1,16,21,1,3,1,2,10,1,3,4}
${\显示样式\脚本样式34\，<，x，<，35，}$	{34,34,17,68,5,1,2,33,1,2,1,656,7,6,1}
${\显示样式\脚本样式35\，<\，x\，<，36\，}$	{35,35,17,1,1,17,23,8,2,1,1,49,1,30,1}
$｛\displaystyle\scriptstyle 36\，<\，x\，<\，37\，｝$	{36,36,18,72,6,324,1,2,2,2,1,1,1,2,3}
${\显示样式\脚本样式37\，<\，x\，<\\，38\，}$	{37,37,18,1,1,18,24,2,4,1,2,2,2,2,5}
${\显示样式\脚本样式38\，<\，x\，<，39\，}$	{38,38,19,76,6,2,1,37,2,2,4,1,2,2,5}
${\显示样式\脚本样式39\，<\，x\，<，40\，}$	{39,39,19,1,1,19,25,1,3,1,1,1,6,8,1}
${\显示样式\脚本样式40\，<\，x\，<，41\，}$	{40,40,20,80,6,1,2,39,1,2,1,4,4,2,2}
${\显示样式\脚本样式41\，<\，x\，<，42\，}$	{41,41,20,1,1,20,27,8,2,10,1,1,10,2,2}
${\显示样式\脚本样式42\，<，x，<，43，}$	{42,42,21,84,7,378,1,1,1,1,5,2,1,1,1}
${\显示样式\脚本样式43\，<\，x\，<，44\，}$	{43,43,21,1,1,21,28,2,4,1,1,1,1,28,1}
${\显示样式\脚本样式44\，<\，x\，<，45\，}$	{44,44,22,88,7,2,1,43,2,1,1,16,1,1,1}
${\显示样式\脚本样式45\，<\，x\，<，46\，}$	{45,45,22,1,1,22,29,1,3,1,1,1,2,2,2}
${\显示样式\脚本样式46\，<\，x\，<，47\，}$	{46,46,23,92,7,1,2,45,1,2,1,2,8,2,1}
${\显示样式\脚本样式47\，<\，x\，<，48\，}$	{47,47,23,1,1,23,31,8,1,1,6,6,5,2,2}
${\显示样式\脚本样式48\，<，x，<，49，}$	{48,48,24,96,8,432,1,1,7,1,1,2,1,2,16}
${\显示样式\脚本样式49\，<\，x\，<\\，50\，}$	{49,49,24,1,1,24,32,2,4,1,1,10,2,1,2}
${\显示样式\脚本样式50\，<\，x\，<，51\，}$	{50,50,25,100,8,2,1,49,2,1,1,3,2,1,1}
${\显示样式\脚本样式51\，<，x，<，52，}$	{51,51,25,1,1,25,33,1,3,1,1,1,1,1,1}
$｛\displaystyle\scriptstyle 52\，<\，x\，<\，53\，｝$	{52,52,26,104,8,1,2,51,1,2,1,1,2,2,2}
${\显示样式\脚本样式53\，<\，x\，<，54\，}$	{53,53,26,1,1,26,35,8,1,1,2,2,3,19,14}
${\显示样式\脚本样式54\，<\，x\，<，55\，}$	{54,54,27,108,9,486,2,8,2,3,7,1,1,2,6}
${\显示样式\脚本样式55\，<，x，<，56，}$	{55,55,27,1,1,27,36,2,4,2,6,5,10,1,2}
${\显示样式\脚本样式56\，<\，x\，<，57\，}$	{56,56,28,112,9,2,1,55,2,1,1,1,1,7,1}
${\显示样式\脚本样式57\，<\，x\，<\\，58\，}$	{57,57,28,1,1,28,37,1,3,1,1,1,1,10,3}
${\显示样式\脚本样式58\，<\，x\，<，59\，}$	{58,58,29,116,9,1,2,57,1,2,1,1,16,3,1}
${\显示样式\脚本样式59\，<\，x\，<\\，60\，}$	{59,59,29,1,1,29,39,8,1,1,1,1,1,19,28}
${\显示样式\脚本样式60\，<\，x\，<\\，61\，}$	{60,60,30,120,10,540,2,2,1,4,1,3,5,1,1}
${\显示样式\脚本样式61\，<\，x\，<\\，62\，}$	{61,61,30,1,1,30,40,2,4,2,2,2,3,3,1}
${\显示样式\脚本样式62\，<\，x\，<，63\，}$	{62,62,31,124,10,2,1,61,2,1,1,1,3,3,1}
${\显示样式\脚本样式63\，<\，x\，<，64\，}$	{63,63,31,1,1,31,41,1,3,1,1,2,6,4,1}
${\显示样式\脚本样式64\，<\，x\，<\\，65\，}$	{64,64,32,128,10,1,2,63,1,2,2,5,1,1,1}

收敛常数的简单连分式的整数部分和部分分母

${\显示样式\脚本样式a{i}（n），\，i\，\geq\，0\，}$	${\显示样式\脚本样式n\，=\，0\，}$ ${\显示样式\脚本样式\，<，x \，<\，\，}$ ${\显示样式\脚本样式1\，}$	${\显示样式\脚本样式n\，=\，1\，}$ ${\显示样式\脚本样式\，<，x \，<\，\，}$ ${\显示样式\脚本样式2\，}$	${\显示样式\脚本样式n\，=\，2\，}$ ${\显示样式\脚本样式\，<，x \，<\，\，}$ ${\显示样式\脚本样式3\，}$	${\显示样式\脚本样式n\，=\，3\，}$ ${\显示样式\脚本样式\，<，x \，<\，\，}$ ${\显示样式\脚本样式4\，}$	${\显示样式\脚本样式n\，=\，4\，}$ $｛\displaystyle\scriptstyle\，<\，x\，<\，\，｝$ ${\显示样式\脚本样式5\，}$	${\显示样式\脚本样式n\，=\，5\，}$ ${\显示样式\脚本样式\，<，x \，<\，\，}$ ${\显示样式\脚本样式6\，}$	$｛\displaystyle\scriptstyle n\，=\，6\，｝$ ${\显示样式\脚本样式\，<，x \，<\，\，}$ ${\显示样式\脚本样式7\，}$	${\显示样式\脚本样式n\，=\，7\，}$ ${\显示样式\脚本样式\，<，x \，<\，\，}$ ${\显示样式\脚本样式8\，}$	${\显示样式\脚本样式n\，=\，8\，}$ ${\显示样式\脚本样式\，<，x \，<\，\，}$ ${\显示样式\脚本样式9\，}$	${\显示样式\脚本样式n\，=\，9\，}$ ${\显示样式\脚本样式\，<，x \，<\，\，}$ ${\显示样式\脚本样式10\，}$	${\显示样式\脚本样式n\，=\，10\，}$ ${\显示样式\脚本样式\，<，x \，<\，\，}$ $｛\displaystyle\scriptstyle 11\，｝$	${\显示样式\脚本样式n\，=\，11\，}$ ${\显示样式\脚本样式\，<，x \，<\，\，}$ ${\显示样式\脚本样式12\，}$	${\显示样式\脚本样式n\，=\，12\，}$ $｛\displaystyle\scriptstyle\，<\，x\，<\，\，｝$ ${\显示样式\脚本样式13\，}$	${\显示样式\脚本样式n\，=\，13\，}$ ${\显示样式\脚本样式\，<，x \，<\，\，}$ ${\显示样式\脚本样式14\，}$	${\显示样式\脚本样式n\，=\，14\，}$ ${\显示样式\脚本样式\，<，x \，<\，\，}$ ${\显示样式\脚本样式15\，}$	${\显示样式\脚本样式n\，=\，15\，}$ ${\显示样式\脚本样式\，<，x \，<\，\，}$ ${\显示样式\脚本样式16\，}$	${\显示样式\脚本样式n\，=\，16\，}$ ${\显示样式\脚本样式\，<，x \，<\，\，}$ ${\显示样式\脚本样式17\，}$	${\显示样式\脚本样式n\，=\，17\，}$ $｛\displaystyle\scriptstyle\，<\，x\，<\，\，｝$ ${\显示样式\脚本样式18\，}$	${\显示样式\脚本样式n\，=\，18\，}$ ${\显示样式\脚本样式\，<，x \，<\，\，}$ ${\显示样式\脚本样式19\，}$	$｛\displaystyle\scriptstyle n\，=\，19\，｝$ ${\显示样式\脚本样式\，<，x \，<\，\，}$ ${\显示样式\脚本样式20\，}$
${\显示样式\脚本样式a{0}（n）\，}$	0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
${\显示样式\脚本样式a{1}（n）\，}$	1	1	2	三	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
${\显示样式\脚本样式a{2}（n）\，}$	1	2	1	1	2	2	三	三	4	4	5	5	6	6	7	7	8	8	9	9
${\显示样式\脚本样式a{3}（n）\，}$	三	2	6	1	9	1	12	1	16	1	20	1	24	1	28	1	32	1	36	1
${\显示样式\脚本样式a{4}（n）\，}$	1	4	1	1	2	1	1	1	1	1	1	1	2	1	2	1	2	1	三	1
${\显示样式\脚本样式a{5}（n）\，}$	2	11	2	1	4	2	58	三	2	4	1	5	110	6	2	7	1	8	163	9
${\显示样式\脚本样式a{6}（n）\，}$	1	389	2	1	三	三	9	4	1	5	2	7	9	8	1	9	2	11	2	12
${\显示样式\脚本样式a{7}（n）\，}$	2	1	1	1	4	6	2	2	7	1	9	7	2	2	13	1	15	7	2	2
${\显示样式\脚本样式a{8}（n）\，}$	4	5	1	4	1	1	2	8	1	4	1	1	三	6	1	三	1	1	三	5
${\显示样式\脚本样式a{9}（n）\，}$	14	6	1	三	2	14	1	1	2	15	17	1	1	三	1	1	5	11	三	2

推测模式

这个整数部分 ${\显示样式\脚本样式a{0}（n）\，}$和部分分母 ${\显示样式\脚本样式a{i}（n），\，i\，\geq\，1，\，}$的简单连分式的收敛常数似乎遵循了这个模式

${\显示样式a{0}（n）=n，\quad n\geq 0；\，}$

$显示样式a{1}（n）=\left\{{begin{array}{lr}n个+1，\quad 0\leq n\leq 1，\\n，\quat n\geq 2\\\结束{数组}}\右。\，}{lr}n个+1，\quad 0\leq n\leq 1，\\n，\quat n\geq 2\\\结束{数组}}\右。\，}$

$显示样式a{2}（n）={\Bigg\lfloor}{\frac{n}{2}{\Big\rfloor}，\quad n\geq 2；\，}$

$显示样式a{3}（n）=1+{比格（}{frac{1+（-1）^{n}}{2}}{Bigg）}~（2n-1），四n\geq6；，}$

$显示样式a_{4}（n）=1+{\Bigg（}{\frac{1+（-1）^{n}}{2}}{\Bigg）}~{\Big（}{\ Bigg\lfloor}{\ frac{n}{6}{\Bigg\rfloor}-1{\Bigh）}，\quad n\geq 6；\，}$.

${\显示样式a{5}（n）=\left\{{\begin{array}{lr}\left\{{\begin{array}{lr}9n+4，四元1<n\leq 6，9n+2，四元6<n\leq12，9n+1，四元12<n\lequeq 24，9n+0\\\结束{数组}\right\}，四边n~{\bmod{~}}6=0，\\\\{\frac{n-1}{2}}，四边n~}\bmod}6=1，\\~~2，四边n~{\ bmod{6}6=2，\\{\frac{n-1{2}，五边n~}，六边形n~{}6=4，\\{压裂{n-1}{2}}，四元n~{\bmod{}6=5\\\结束{数组}}\右。\，}{lr}9n+4，四元1<n\leq 6，9n+2，四元6<n\leq12，9n+1，四元12<n\lequeq 24，9n+0\\\结束{数组}\right\}，四边n~{\bmod{~}}6=0，\\\\{\frac{n-1}{2}}，四边n~}\bmod}6=1，\\~~2，四边n~{\ bmod{6}6=2，\\{\frac{n-1{2}，五边n~}，六边形n~{}6=4，\\{压裂{n-1}{2}}，四元n~{\bmod{}6=5\\\结束{数组}}\右。\，}$

${\displaystyle a{6}（n）=\left\{{\begin{array}{lr}\left\{{\begin{array}{lr}~~~~\lfloor{\frac{2n}{3}\rfloor，\quadn~{\bmod{~}6=5，\\~~~~2，\quad\bmod{6=4，\\，{\lfloor{2n{3}}\rfloor}-1，\quadn~{\bmod{~}}6=3，\\~~~~~1，\quaden~{\bmod{~}{6=2，\\ ~~~\lfloor{\frac{2n}{3}}\rfoor，\quad\n~{\bod{~}6=1，\\\\\左\{{开始{数组}{lr}一个_{6} （0）=1\\a_{6}（6）=9\\a_}6}lfloor{\frac{2n}{3}}\floor，\quad n~{\bmod{}}6=5，\\~~~~~2，\quad-n~{\ bmod{{}6=4，\\，{\floor{\frac{2n{3}\floor}-1，\quadn~{\bmod{}6=3，\\~~~~~1，\quad n~{\bmod{~}}6=2，\~~~\lfloor{\frac{2n}{3}}\rfloor，\quat n~{\fmod{}}6=1，\\\\~~\lploor{\frac{n-1}{24}}\floor，\quad n~}\bmod}6=0，\\end{数组}，\right\}，\ quad 24<n\leq~\\\结束｛array｝｝\right。\，｝\\\\\左\{{开始{数组}{lr}一个_{6} （0）=1\\a_{6}（6）=9\\a_}6}lfloor{\frac{2n}{3}}\floor，\quad n~{\bmod{}}6=5，\\~~~~~2，\quad-n~{\ bmod{{}6=4，\\，{\floor{\frac{2n{3}\floor}-1，\quadn~{\bmod{}6=3，\\~~~~~1，\quad n~{\bmod{~}}6=2，\~~~\lfloor{\frac{2n}{3}}\rfloor，\quat n~{\fmod{}}6=1，\\\\~~\lploor{\frac{n-1}{24}}\floor，\quad n~}\bmod}6=0，\\end{数组}，\right\}，\ quad 24<n\leq~\\\结束｛array｝｝\right。\，｝$

作为${\显示样式\脚本样式n\，\到\，\输入，~？\，}$（这是针对双方未知行为的吗${\显示样式\脚本样式a{5}\，}$和${\显示样式\脚本样式a{6}\，}$?)

—马文·雷·伯恩斯2011年5月30日01:00（UTC）

[LaTeX转换丹尼尔·福格斯2011年6月9日01:32（UTC）]

图案的部分证明

Yuval Filmus位于http://math.stackexchange.com/questions/39981/extract-a-pattern-of-iterated-continued-fractions-from-convergents写了以下内容，据我所知，大体上证实了这一模式${\显示样式\脚本样式a{0}，\，a{1}\，}$、和$｛\displaystyle\scriptstylea_｛3｝\，｝$对于${\显示样式\脚本样式n>2\，}$. —马文·雷·伯恩斯2011年6月8日18:00（UTC）

启动[下面是对实际定义的一些分析。

假设原始连分数为

${\显示样式[a；b，c，d，\ldots].\，}$

前几个收敛点是

${\显示样式\{a，a+1/b，a+1/（b+1/c），\ldots\}.\，}$

因此，收敛为系数的连分式等于

${\显示样式a+1/（a+1/b+1/（a+1/（b+1/c）+\cdot））。\，}$

一般来说，我们希望

${\显示样式1/b+1/（a+\cdot）<1，\，}$

这最终会发生。在这种情况下，我们可以将连续分数的第二个系数恢复为${\显示样式\脚本样式a\，}$.

现在我们在处理这个案子

${\显示样式[a；a，c，d，\ldots].\，}$

替换${\显示样式\脚本样式b\，=\，a\，}$，上面的下一个迭代等于

${\显示样式a+1/（a+1/a+1/（a+1/（a+1/c）+\cdot））。\，}$

让我们把它表示为一个积分连分数。去掉前两个系数后，剩下的是

${\显示样式{\frac{1}{1/a+1/（a+1/（a+1/c））}}\近似{\frac{1}{1/a+1/a}}=a/2.\，}$

因此，一般来说，下一个系数应该是${\displaystyle\scriptstyle\lfloor a/2\rfloor.\，}$

现在分析分为两个案例${\显示样式\脚本样式a\，}$，是偶数还是奇数。你可以得到${\显示样式\脚本样式a{3}，\，a{4}\，}$，这边。自$｛\displaystyle\scriptstylea_｛4｝\，｝$，涉及6除；我们知道有6个病例。等等。

为了证明这个过程几乎总是收敛于常数，我们需要更加小心，并证明上面的估计大多是正确的。也许人们可以得到关于原始连分式的一些条件，并从中推断出收敛是“对于大多数值”发生的，具有某种精确的含义。

这一分析也将有助于解释为什么小${\显示样式\脚本样式n\，}$然而，我使用的启发式估计应该为您提供“大型”所有系数的值${\显示样式\脚本样式n\，}$“–大小取决于实际系数。结束]

[我对上述内容进行了一些演示编辑-丹尼尔·福格斯2011年6月9日00:07]