收敛常数

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如果您使用所有收敛的单连分式正实常数的${\显示样式\脚本样式x\，\输入\，（n，n+1）\，}$作为广义连分式，然后同样在另一个广义连分式中使用新的收敛性，以此类推……对于单位区间中的所有数，无穷大${\显示样式\脚本样式（n，n+1）\，}$，你会得到收敛常数对于该间隔的所有数字。（参见。谈话：Table_of_convergents_constants#Open_Problem)

收敛的迭代连分式

囊性纤维变性。收敛的迭代连分式.

为了从iterate中获取${\显示样式\脚本样式x_{n}\，}$迭代${\显示样式\脚本样式x_{n+1}\，}$

1. 快递${\显示样式\脚本样式x_{n}\，}$具有收敛点${\显示样式\脚本样式c{i}（n-1）\，}$属于${\显示样式\脚本样式x{n-1}\，}$作为连分数${\显示样式\脚本样式[c{0}（n）；\，c{1}（n），\，c}2}（m），\，/\，p_{2}（n），\，…]；\，}$
2. 计算收敛 ${\显示样式\脚本样式c_{0}（n+1）\，\equiv\，{\frac{p_{0{（n＋1）}{q_{0neneneei（n+1（n+1）}，=，{压裂{1}{q{0}}\，=\，{\压裂{1}{q{0}（n）}\左（\，p{0}（n）+{分形{q{0}{q{0}（n）}\左（\，p{0}（n）+{分形{q{0}$
   （使用上所示的高效递归方法广义连分式收敛;)
3. 下一次迭代是${\显示样式\脚本样式x_{n+1}\，=\，[c_{0}（n+1）；\，c_{1}（n+1），\，c_2}（n+1），，\，\ldots].\，}$

例如，从开始${\显示样式\脚本样式x_{0}\，\equiv\，x\，}$，其中${\显示样式\脚本样式x\，}$是正实常量，首先获取单连分式

${\显示样式x{0}=[a{0}（0）；a{1}（1），a{2}（2），\dots]=a{0{{5}（0）+{\cfrac{1}{a{6}$

给出收敛点

${\显示样式{\Bigg\{}{\frac{p_{0}（1）}{q_{0{（1 1）}{q_{4}（1）}}，{压裂{p_{5}（一）}{压裂}（5）}，（1）{压裂，。。。{\Bigg\}}\，}{\Bigg\}}\，}$

然后

$x{1}={\tfrac{p{0}（1）}{q{0}（1）{}+{\cfrac{1}{\tfrac{p{1}（1）}{q{3}（1）{}+{\cfrac{1}{{\tfrac{p{4}cfrac{1}{{\tfrac{p{7}（1）}{q{7}（1）}}+{\cfrac{1}{\ddots}}}}{}}}neneneep}}}}}}\，}}+{\cfrac{1}{\ddots}}}}{}}}neneneep}}}}}}\，}$

$｛\displaystyle＝｛\frac｛1｝｛q_｛0｝（1）｝\left\｛p_｛0｝（1）+｛\cfrac｛q_｛0｝（1）q_｛1｝（1）+｛\cfrac｛q_｛1｝（1）q_｛2｝（1）｝｛p_｛2｝（1）+｛\cfrac｛q_｛3｝（1）｝｛p_ 3｝（1）+｛\cfrac｛q_｛3｝（1）q_｛4｝（1）｝｛p_ 4｝（1）+｛\cfrac｛q_｛4｝（1）q_｛5｝（1）｝｛p_ 5｝（1）+｛\cfrac｛q_｛5｝（1）q_｛6｝（1）+｛\cfrac｛q_｛6｝（1）q_｛7｝（1）｝｛p_ 7｝（1）+｛\cfrac｛q_｛7｝（1）q_｛8｝（1）｝}}}}}}}}}}}}}}}\右\}\，}}}}}}}}}}}}}}}}\右\}\，}$

${\displaystyle={\frac{1}{q{0}（1）}}\left\{a}0}（1）+{\cfrac{b{5}（1）}{a{5}（1）+{\cfac{b{6}$

给出收敛点

${\显示样式{\Bigg\{}{\frac{p{0}（2）}{q{0}（2）{}，{\frac{p{1}（3）}{q{3}2）}{q{4}（2）}}，{压裂{p{5}（1）}（3）}，。。。{\Bigg\}}\，}{\Bigg\}}\，}$

${\显示样式\cdots\，}$

$显示样式x{n}={\tfrac{p{0}（n）}{q{3}（n）{}+{\cfrac{1}{{\tfrac{p{4}cfrac{1}{{\tfrac{p{7}（n）}{q{7}（n）}}+{\cfrac{1}{\ddots}}}}{}}}neneneep}}}}}}\，}}}+{\cfrac{1}{\ddots}}}}{}}}neneneep}}}}}}\，}$

${\displaystyle={\frac{1}{q{0}（n）}}\left\{p{0}（n）+{\cfrac{q{2}（n）+{cfrac{q{3}（n）q{4}n）+{\cfrac{q{7}（n）q{8}（n）}{\ddots}}}}}}}}}}}}}}}}\右\}\，}}}}}}}}}}}}}}}}\右\}\，}$

${\displaystyle={\frac{1}{q{0}（n）}}\left\{a{0}（n）+{\cfrac{b{1}（n）+{\cfrac{b{5}（n）}{a{5}（n）+{\cfras{b{6}$

给出收敛点

$显示样式{\Bigg\{}{\frac{p{0}（n+1）}{q{0}（n+1}，{压裂{p{4}（n+1）}{q{4}（n+1，。。。{\Bigg\}}\，}{\Bigg\}}\，}$

迭代连分式的收敛性

我们定义了来自收敛点的迭代连分式对于常量${\显示样式\脚本样式x\，}$作为

$显示样式x{infty}\equiv\lim_{n\to\infty{x{n}\，}$

收敛常数

收敛常数表

囊性纤维变性。收敛常数表.

另请参阅

• 收敛的迭代连分式

外部链接

• 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,钦钦常数，摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。
• 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,连续分数常数，摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。