拉马努扬的非凡公式

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拉马努詹发现了以下相关的显著公式

π

和

e（电子）

等于广义连分式和a幂级数，但其中连分数和幂级数都与

π

和

e（电子）

.

${\displaystyle{\scrt{{\frac{\pi}{2}}\cdot{\frac{e^{x}}{x}{}}={\cfrac{1}{x+{\cfac{1}{1+{\ cfrac{2}{x+{\ cfac{3}{1+}{x+}\cfrac{8}{\ddots}}}}{}}}neneneep}}}}}}9}}}~+~{\Bigg\{}1+{\frac{x}{1\cdot3}}+{\frac{x^{2}{1\\cdot3\cdot5}}+}{\frac{x^}3}}{1\cdot3 \cdot5 \cdot7}}++{\frac{x^4}}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\cdots{\Bigg\}}，\quad x>0，\，}}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\cdots{\Bigg\}}，\quad x>0，\，}$

或

${\displaystyle{\sqrt{{\frac{\pi}{2}}\cdot{\frac{e^{x}}{x}{}}}={\cfrac{1}{a{0}+{\cfac{b{1}}{a}1}+{\ cfrac{b{2}{\ddots+{\frac{ddots}{a{n-1}+}{\cfras{b{n}}{a{n}+{\cfrac{b_{n+1}}{\ddots}}}}{}}}}}}~+~{\Bigg\{}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{（2n+1）！！}}~x^{n}{\Big\}}，\quad x>0，\，}$

其中

一n个   − 1=x个 (n个模块2）,b条n个=n个,n个  ≥   1

、和

n个!!

是双阶乘.

平方（pi*e/2）

对于

x个= 1

我们得到

${\displaystyle{\scrt{\frac{\pie}{2}}}={\cfrac{1}{1+{\cfras{1}}{1＋{\cfrac{2}{1＋{\cfrat{3}{1~+{\cfram{4}{1+6{\cfac{5}{1++}}}}~+~{\Bigg\{}}1+{\frac{1}{1\cdot3}}+{\frac{1{1\CDot3\cdot5}}+}\frac}1}{2\cdot3 \cdot5 \cdot7}}+\\frac{1}{1\\cdot3 \ cdot5 \ cdot9}}+\cdots{\Bigg\}}、\、}}+\cdots{\Bigg\}}、\、}$

或

${\displaystyle{\scrt{\frac{\pie}{2}}}={\cfrac{1}{a{0}+{\cfac{b{1}}{a}1}+{\ cfrac{b{2}{\ddots+{\frac{ddots}{a_n-1}+}}}}}{}}}}}}~+~{\Bigg\{}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{（2n+1）！！}}{\Big\}}，\，}$

其中

一n个   − 1= 1,b条n个=n个,n个  ≥   1

、和

n个!!

是双阶乘.由于不知道是否

πe

是不合理的因此，不知道是否

<div class=“@radic@”style=“display:inline-block；vertical-align:baseline；margin:-1.5ex 0 0-0.15em；white-space:nowrap；”>2√  πe / 2</div>

是超越的或者不是（尽管很明显不合理的).

Sqrt的小数展开式（pi*e/2）

的十进制展开式

2√  πe / 2

是

${\显示样式{\sqrt{\frac{\pie}{2}}=2.0663656770612469234669594215\ldots\，}$

A059444号的十进制展开式

2√  πe / 2

.

 

{2, 0, 6, 6, 3, 6, 5, 6, 7, 7, 0, 6, 1, 2, 4, 6, 4, 6, 9, 2, 3, 4, 6, 9, 5, 9, 4, 2, 1, 4, 9, 9, 2, 6, 3, 2, 4, 7, 2, 2, 7, 6, 0, 9, 5, 8, 4, 9, 5, 6, 5, 4, 2, 2, 5, 7, 7, 8, 3, 2, 5, 6, 2, 6, 8, 9, 8, ...}

Sqrt的连续分数扩展（pi*e/2）

的简单连分式展开

2√  πe / 2

是

${\displaystyle{\scrt{\frac{\pie}{2}}}=2+{\cfrac{1}{15+{\frac{1{14+{\crac{1}}{1+{\ cfrac{1}{2+{\frac{1{3+{\cfras{1}{17+{\cfrac}1}{1++}}}}{}}.\，}$

A059445号平方根的连分数

2√  πe / 2

.

 

{2, 15, 14, 1, 2, 3, 17, 1, 1, 5, 1, 30, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 4, 2, 9, 2, 1, 9, 1, 7, 1, 6, 1, 5, 1, 5, 3, 1, 1, 3, 1, 36, 4, 18, 2, 1, 2, 4, 1, 3, 366, 3, 1, 1, 16, 2, 1, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 5, ...}

连分数部分

连分数部分由下式给出

${\displaystyle{\cfrac{1}{1+{\cfras{1}{1+}\cfrac}{2}{1++{\cfrat{3}{1+{\cfac{4}{1+/{\cfrac{5}{1+5{\cfram{6}{1+6{\cfrac{7}{1+8{\cfric{8}{\ddots}}}}{}}}}}}={\sqrt{\frac{\pie}}{2}}{\rm{~erfc}}（{\tfrac{1}{\sqrt{2}}）={\sqrt{\frac{\pie}{2}{}，（1-{\rm}~erf}}}}~-~\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{（-1）^{n}}{2^{n{\，n！\，（2n+1）}}{\Bigg\}}，\，}}}~-~\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{（-1）^{n}}{2^{n{\，n！\，（2n+1）}}{\Bigg\}}，\，}$

哪里

${\displaystyle{\rm{erfc}}（z）：={\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{z}^{\infty}e^{-t^{2}}dt=1-{\rm}~erf}}^{z} e（电子）^{-t^{2}}dt=1-{\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{（-1）^{n}\，z^{2n+1}}{n！\，（2n+1）}}\，}{z} e（电子）^{-t^{2}}dt=1-{\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{（-1）^{n}\，z^{2n+1}}{n！\，（2n+1）}}\，}$

是互补误差函数( 

电流变液控制

)和

电流变液(z（z）)=1−erfc(z（z）)

是误差函数( 

电流变液

  ).

连分数部分有小数扩展

${\显示样式0.6556795424187984715438712307308112833992823328704\ldots\，}$

A108088号的十进制展开式

1  + 1  /  (1  + 2  /  (1  + 3  /  (1  + 4  /  (1  + 5  /  (1 +⋯)⋯)

.

 

{6, 5, 5, 6, 7, 9, 5, 4, 2, 4, 1, 8, 7, 9, 8, 4, 7, 1, 5, 4, 3, 8, 7, 1, 2, 3, 0, 7, 3, 0, 8, 1, 1, 2, 8, 3, 3, 9, 9, 2, 8, 2, 3, 3, 2, 8, 7, 0, 4, 6, 2, 0, 2, 8, 0, 5, 3, 6, 8, 6, 1, 5, 8, 7, 3, 4, ...}

连分数部分的倒数

连分数部分的倒数由下式给出

$1+{\cfrac{1}{1+{\\cfrac{2}{1++{\cfac{3}{1+{\cfrat{4}{1+/{\cfras{5}{1+5{\cfrac{6}{1+6{\cfram{7}{1+8{\cfric{8}{\ddots}}}}{}}}}}}={\sqrt{\frac{2}}{\pie}}}6}{\frac{}}{1}{{\rm{~erfc}}（{\tfrac{1}{\sqrt{2}}）}}，\，$

带十进制扩展

${\显示样式1.525135276160981209089090536390578713307116692060333554631394242\ldots\，}$

A111129号连分式的十进制展开式

1  + 1  /  (1  + 2  /  (1  + 3  /  (1  + 4  /  (1  + 5  /  (1 +⋯)⋯)

.

 

{1, 5, 2, 5, 1, 3, 5, 2, 7, 6, 1, 6, 0, 9, 8, 1, 2, 0, 9, 0, 8, 9, 0, 9, 0, 5, 3, 6, 3, 9, 0, 5, 7, 8, 7, 1, 3, 3, 0, 7, 1, 1, 6, 3, 6, 4, 9, 2, 0, 6, 0, 3, 3, 3, 5, 5, 4, 6, 3, 1, 3, 9, 4, 2, 4, 2, ...}

电源系列部分

${\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{（2n+1）！{n}\，n！\，（2n+1）}}={\sqrt{e}}\，\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{（-1）^{n}}{（2n）（2n+1）}}={\sqrt{e}}\，\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{（-1）^{n}}{（2n）$

哪里

${\显示样式{\rm{erf}}（z）\equiv{\frac{2}{\sqrt{\pi}}}\int_{0}^{z} e（电子）^{-t^{2}}dt={frac{2}{sqrt{pi}}\sum_{n=0}^{infty}{frac}（-1）^{n}\，z^{2n+1}}{n！\，（2n+1）}}\，}{z} e（电子）^{-t^{2}}dt={frac{2}{sqrt{pi}}\sum_{n=0}^{infty}{frac}（-1）^{n}\，z^{2n+1}}{n！\，（2n+1）}}\，}$

是误差函数( 

电流变液

  ).幂级数部分有十进制扩展（非常接近

2√  2 = 1.414213562373095…

)（请参见A002193号)

${\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{（2n+1）！！}}=1.41068613464244799796908247114115041323478\ldots.\，}$

A060196号的十进制展开式

1 + 1 / (1 ⋅  3) + 1 / (1 ⋅  3 ⋅  5) + 1 ⧸ (1 ⋅  3 ⋅  5 ⋅  7) + ...

 

{1, 4, 1, 0, 6, 8, 6, 1, 3, 4, 6, 4, 2, 4, 4, 7, 9, 9, 7, 6, 9, 0, 8, 2, 4, 7, 1, 1, 4, 1, 9, 1, 1, 5, 0, 4, 1, 3, 2, 3, 4, 7, 8, 6, 2, 5, 6, 2, 5, 1, 9, 2, 1, 9, 7, 7, 2, 4, 6, 3, 9, 4, 6, 8, 1, 6, ...}

另请参见

•  

  π e（电子）