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雅可比三乘积

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雅各比三重产品是美丽的身份

产品_（n=1）^infty（1-x^（2n））（1+x^。
(1)

就Q函数, (1)已写入

Q_1Q_2Q_3=1，
(2)

哪一个是这两个中的一个雅可比恒等式.英寸q个-系列雅可比三乘积符号身份已写入

（q，-xq，-1/x；q）_infty=sum_（k=-infty）^inftyx^kq^（k（k+1）/2）
(3)

对于0<| q |<1和x=0（Gasper和Rahman，1990年，第12页；Leininger和Milne，1999年）。另一种形式的身份是

sum_（n=-infty）^infty（-1）^na^nq^（n（n-1）/2）=product_（n=1）^inffy（1-aq^
(4)

（Hirschorn 1999）。

划分(4)由1年并让a->1给出了极限情况

（q，q）_十五^3=sum_（n=0）^（infty）（-1）^n（2n+1）q^（n（n+1）/2）
(5)
=1/2sum_（n=-infty）^（infty）（-1）^n（2n+1）q^（n（n+1）/2）
(6)

（雅各比1829；哈代和赖特1979；哈代1999，第87页；赫施霍恩1999；莱宁格和米尔恩1999）。

对于特殊情况z=1，（◇）变为

θ3（x）=G（1）
(7)
=产品_（n=1）^（infty）（1+x^（2n-1））^2（1-x^
(8)
=总和_（m=-infty）^（infty）x^（m^2）
(9)
=1+2sum_（m=1）^（infty）x^（m^2），
(10)

哪里θ_3（x）是一个雅可比椭圆函数.术语两个变量的Ramanujanθ函数 f（a，b），雅可比三乘积是等价的到

f（a，b）=（-a；ab）_infty（-b；ab
(11)

（伯恩特等。2000).

雅可比恒等式的一种证明方法是定义函数

F（z）=产品_（n=1）^（infty）（1+x^（2n-1）z^2）（1+（x^
(12)
=（1+xz^2）（1+x/（z^2。。。。
(13)

然后

F（x z）=（1+x^3z^2）（1+1/（xz^2。。。。
(14)

拍摄(14)÷(13),

（F（xz））/（F（z））=（1+1/（xz^2））（1/（1+xz^ 2））
(15)
=（xz^2+1）/（xz|2）1/（1+xz^2）=1/（xz ^2），
(16)

从而得出基本关系

xz^2F（xz）=F（z）。
(17)

现在定义

G（z）=F（z）乘积_（n=1）^系数（1-x^（2n））
(18)
G（xz）=F（xz”）乘积_（n=1）^系数（1-x^（2n））。
(19)

使用(17), (19)成为

G（x z）=（F（z））/（xz^2）产品_（n=1）^（infty）（1-x^（2n））
(20)
=（G（z））/（xz^2），
(21)

所以

G（z）=xz^2G（xz）。
(22)

展开G公司在一个洛朗级数.自G公司是一个偶函数，的洛朗级数只包含偶数项。

G（z）=sum_（m=-infty）^inftya_mz^（2m）。
(23)

方程式(22)然后要求

总和（m=-infty）^（infty）a_mz^（2m）=xz^2sum_（m=-infty）^（infty）a_m（xz）^
(24)
=sum_（m=-infty）^（infty）a_mx^（2m+1）z^（2m+2）。
(25)

这可以用m^'=m-1在的左侧(25)

sum_（m=-infty）^inftya_mz^（2m）=sum_，
(26)

它提供了递推关系

a_m=a_（m-1）x ^（2m-1），
(27)

所以

a_1=a_0x
(28)
a_2型=a_1x^3=a_0x^（3+1）=a_0x ^4=a_0x2（2^2）
(29)
a_3型=a_2x^5=a_0x^（5+4）=a_0x^9=a_0x ^（3^2）。
(30)

指数增大了（2米-1）每增加一次米第页，共页。它是由

总和（n=1）^m（2m-1）=2（m（m+1））/2-m=m^2。
(31)

因此，

a_m=a_0x^（m^2）。
(32)

这意味着

G（z）=a_0sum_（m=-infty）^inftyx^（m^2）z^（2m）。
(33)

这个系数 a_0（零）必须通过返回（◇）和（◇并让z=1.然后

F（1）=产品_（n=1）^（infty）（1+x^（2n-1））
(34)
=产品_（n=1）^（infty）（1+x^（2n-1））^2
(35)
G（1）=F（1）乘积_（n=1）^（infty）（1-x^（2n））
(36)
=产品_（n=1）^（infty）（1+x^（2n-1））^2产品_（n=1）
(37)
=产品_（n=1）^（infty）（1+x^（2n-1））^2（1-x^，
(38)

因为乘法是相联的。从这个表达式可以清楚地看出a_0（零）术语必须为1，因为所有其他术语将包含更高的权力属于x因此，

a_0=1，
(39)

所以我们有雅可比三乘积，

G（z）=乘积_（n=1）^（infty）（1-x^（2n））（1+x^（2n-1）z^2）（1+（x^（2n-1））/（z^2））
(40)
=sum_（m=-infty）^（infty）x^（m^2）z^（2m）。
(41)

另请参见

欧拉身份,雅可比恒等式,配分函数Q,Q函数,五元组产品标识,拉马努詹Psi总和,Ramanujan Theta函数,薛定谔公式,九月产品标识

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参考Wolfram | Alpha

雅可比三乘积

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“雅各比三乘积。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/JacobiTripleProduct.html

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