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海尔布隆三角问题

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海尔布隆三角问题是n> =3圆盘中的点（正方形、等边三角形等）单位面积的最大化增量（n）最小的（n；3）=n（n-1）（n-2）/6三角形由n个点。对于n=3点，只有一个三角形，所以海尔布隆问题退化为寻找可以从中构造的最大三角形正方形中的点。对于n=4，每个配置有四个可能的三角形，所以问题是找到这些点中最小的点的配置四个三角形是最大的可能。

海尔布朗斯夸尔斯

对于单位正方形，最小值的前几个最大值三角形区域是

氢气=1/2
(1)
=0.5
(2)
H_4=1/2
(3)
=0.5
(4)
H_5型=1/9平方米（3）
(5)
=0.1924...
(6)
氢气=1/8
(7)
=0.125.
(8)

对于更大的值n个，最优性的证明是开放的，但最著名的结果是

H_7>=（1-14x+12x^2+152x^3）_2
(9)
=0.083859...
(10)
氢-8>=（平方米（13）-1）/（36）
(11)
=0.072376...
(12)
H_9>=（（9平方英尺（65）-55））/（320）
(13)
=0.054876...
(14)
H_（10）>=（-9+268x-1764x^2+3456x^3）_1
(15)
=0.046537...
(16)
H_（11）>=1/(27)
(17)
=0.037037...
(18)
H_（12）>=（-1+28x+80x^2+64x^3）_1
(19)
=0.032599...
(20)
H_（13）>=0.026697431807596567
(21)
H_（14）>=（1-60x+768x^2+320x^3）_2
(22)
=0.024304...
(23)
H_（15）>=(29)/(1395)
(24)
=0.020789...
(25)
H_（16）>=7/(341)
(26)
=0.020528...,
(27)

配置导致上述最大最小三角形（Friedman 2006；Comellas和Yebra 2002；D.Cantrell和M.Beyleveld，pers.comm。，2006年8月16日）。这里是符号（P（x））_n表示多项式的根可以看出，这些解具有很大的对称性共享同一区域的最大最小三角形数。

HeilbronDisks公司

对于单位面积的圆盘，海尔布隆配置（最多7个）是围绕圆周的点的对称排列。圆的最著名的海尔布朗常数是

氢气=（3sqrt（3））/（4pi）
(28)
=0.413497...
(29)
H_4（氢气）=1/pi
(30)
=0.318310...
(31)
H_5型=（平方英尺（5/3（5平方英尺（5）））/（4平方英尺）
(32)
=0.209182...
(33)
氢气=（平方米（3））/（4pi）
(34)
=0.137832...
(35)
H_7>=（（-343+294x^2-35x^4+x^6）4）/（4pi）
(36)
=0.093700...
(37)
氢-8>=（（-7+14x^2-7x^4+x^6）4）/（4pi）
(38)
=0.069055...
(39)
H_9>=0.05531071895608711
(40)
H_（10）>=（（-27+81x^2-18x^4+x^6）4）/（4pi）
(41)
=0.047869...
(42)
H_（11）>=0.03494193340280051
(43)
H_（12）>=0.03339560352492413
(44)
H_（13）>=0.02726586326658908
(45)
H_（14）>=0.02414611295141071
(46)
H_（15）>=0.02229427231706078
(47)
H_（16）>=（（-9+103x+452x^2+476x^3+3776x^4+976x^5）_3）/pi
(48)
=0.021051...
(49)

（Friedman 2007；D.Cantrell pers.comm.，2007年6月18日）。

海尔布朗·三角形

使用等边三角形单位的地区而是给出常量

氢气=1
(50)
H_4（氢气）=1/3
(51)
=0.3333...
(52)
H_5=3-2平方米（2）
(53)
=0.1715...
(54)
氢气=1/8
(55)
=0.137832...
(56)
H_7>=7/(72)
(57)
=0.097222...
(58)
氢-8>=0.06778914101959856
(59)
=0.067789...
(60)
H_9>=(43)/(784)
(61)
=0.054847...
(62)
H_（10）>=0.04337673349889024
(63)
H_（11）>=0.03609267801015405
(64)
H_（12）>=0.03100478174352528
(65)
H_（13）>=0.02456425934867466
(66)
H_（14）>=0.02377577301721215
(67)
H_（15）>=0.02109025290939601
(68)
H_（16）>=0.01797627598723551
(69)

（Friedman 2007；D.Cantrell，pers.comm.，2007年6月18日）。

海尔布隆猜想

增量（n）<c/（n^2），
(70)

但是科姆洛斯等。（1981年、1982年）证明了这一点

增量（n）>（lnn）/（n^2）
(71)

（Guy 1994，第243页），特别是有常数c（c）这样的话

（clnn）/（n^2）<=H_n<=C/（n^（8/7-epsilon））
(72)

对于任何ε>0而且都足够大n个Roth（1951）随后表明

增量（n）<<1/（n（lnlnn）^（1/2）），
(73)

施密特（1971/1972）改进为

增量（n）<<1/（n（lnn）^（1/2）），
(74)

罗斯进一步提高到

δ（n）<<1/（nμ-epsilon），
(75)

最初带有亩=2-2/sqrt（5）>1.1055（罗斯1972ab）和后来的亩=（17平方米（65））/8>1.1172（罗斯1976；盖伊1994，第243页）。大卫·坎特雷尔发现了一个由

增量（n）<（3logn-2+3）/（3n^2-14n+18）。
(76)

另请参见

磁盘点选取,圆盘三角拾取,方形点拾取,方形三角形拾取,三角形点拾取,三角三角拣选

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Comellas，F.和Yebra，J.L。答：。“海尔布隆数的新下限。”电气J.组合。 9, 2002.http://www.combinatics.org/Volume_9/PDF/v9i1r6.PDF.芬奇，S.R.公司。数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，2003年。弗里德曼，E.“海尔布隆问题”http://www.stetson.edu/~efriedma/heilbronn/.弗里德曼，E.“圆圈的Heilbronn问题”http://www.stetson.edu/~efriedma/heilcirc公司/.弗里德曼，E.“方块的海尔布隆问题”网址：http://www.stetson.edu/~efriedma/heilbronn/.弗里德曼，E.“三角形的海尔布隆问题”http://www.stetson.edu/~efriedma/heiltri公司/.戈德伯格，M.“最大化最小三角形N个正方形中的点。"数学。美格。 45, 135-144,1972盖伊，R.K。未解决数论问题，第二版。纽约：Springer-Verlag，第243-244页，1994姜涛（Jiang，T.）。；李，M。；和Vitányi，P.“平均案例Heilbronn-型三角形面积。"随机结构和算法 20,206-219, 2002.Komlós，J。；平茨，J。；和斯泽梅雷迪，E。“关于海尔布隆的三角形问题。”J.伦敦数学。Soc公司。 24,385-396, 1981.Komlós，J。；平茨，J。；和斯泽梅雷迪，E。“Heilbronn三角问题的下界。”J.伦敦数学。Soc公司。 25,13-24, 1982.罗斯，K.F。“关于海尔布隆的一个问题。”J.伦敦数学。Soc公司。 26, 198-204, 1951.罗斯，K.F。“关于海尔布朗二世的一个问题。”程序。伦敦数学。Soc公司。 25,193-212年，1972年。罗斯，K.F。“关于Heilbronn.III的一个问题”程序。伦敦数学。Soc公司。 25第543-549页，1972年b。罗斯，K.F。“海尔布隆三角问题的发展。”高级数学。 22,364-385, 1976.施密特，W.“关于海尔布隆问题”J。伦敦数学。Soc公司。 4, 545-550, 1971/1972.

参考Wolfram | Alpha

海尔布隆三角问题

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“海尔布隆三角问题。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/HeilbronTriangleProblem.html

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