话题
搜索

欧拉角

下载Mathematica笔记本下载沃尔夫拉姆笔记本
欧拉角

根据欧拉旋转定理，任何旋转可以用三个词来描述角.如果旋转是根据旋转矩阵 D类,C类、和B类然后是将军旋转 A类可以写为

A=BCD。
(1)

给出三个旋转矩阵的三个角称为欧拉角。根据旋转所围绕的轴，欧拉角有几种约定执行。编写矩阵 A类作为

A=【A（11）A（12）A（13）】；A（21）A（22）A（23）；A（31）A（32）A（33）】。
(2)

所谓的“x个-惯例，”如上图所示，是最常见的定义。在这个约定中，旋转由欧拉角给出（φ、θ、psi）,哪里

1.第一次旋转角度φ关于z（z）-轴使用D类,

2.第二次旋转角度θ在[0，pi]中关于前者x个-轴（现在x ^’)使用C类,和

3.第三个旋转角度为磅/平方英寸关于前者z（z）-轴（现在z ^’)使用B类.

然而，请注意，角的几个符号约定是常用的。Goldstein（1980，第145-148页）和Landau和Lifschitz（1976）使用（φ、θ、psi），图马（1974）说（psi、θ、φ）用于航空工程中的分析太空飞行器（但声称（φ、θ、psi）用于陀螺仪运动分析），而贝特等。（1971）使用（欧米茄，我，欧米茄）戈尔茨坦评论说，大陆作家通常使用（psi、θ、φ）,并警告说，左手坐标系也偶尔使用（奥斯古德1937年，Margenau和Murphy，1956-1964年）。Varshalovich（1988，第21-23页）使用符号（α、β、γ）或（α^'，β^'，γ^'）表示欧拉角，并给出了三种不同的角度约定，但都不对应到x个-惯例。

这里是符号（φ、θ、psi）是使用的，可以在沃尔夫拉姆语言6之前作为旋转矩阵x3D[φ,θ,磅/平方英寸]（可以在加载后运行几何图形`Rotations`)和旋转形状[克,φ,θ,磅/平方英寸]（可以在加载后运行几何图形`Shapes`).在x个-惯例，然后通过以下公式给出组件旋转

D类=[cosphi sinphi 0；-sinphi cosphi 0；0 0 1]
(3)
C类=[1 0 0；0 costheta sintheta；0-sintheta costheta]
(4)
B类=[cospsi sinpsi 0；-sinpsi cospsi 0；0 0 1]，
(5)

所以

a_（11）=cospisicosphi-costatsinphisinpsi
(6)
a_（12）=cospisinphi+costhetacopsisinpsi
(7)
a_（13）=正弦θ
(8)
a_（21）=-心绞痛-胸绞痛
(9)
a_（22）=-sinpsisinphi+costhetacopicospsi
(10)
a_（23）=cospsisintheta（上消化道）
(11)
a_（31）=sinthetasinphi公司
(12)
a_（32）=-sinthetacosphi（中音）
(13)
a _（33）=服装
(14)

要获取角速度 欧米茄在身体轴中，请注意一矩阵

A=[A_1 A_2 A_3]，
(15)

确实如此

[α（11）a（12）a（13）；a（21）a（22）a（23）；a=[a（11）ω_x+a（12）ωy+a（13）ωz；a（21）ωx+a
(16)
=A_1omega_x+A_2omega_y+A_3omega_z。
(17)

现在，欧米伽对应于围绕φ轴，所以看看欧米伽的组件奥美嘉,

omega_嗨=A_3欧米茄_z
(18)
=[sinpsisintheta；cospsisintheta；costheta]φ。。
(19)

节点线对应于旋转θ关于xi（西）-轴，所以请看欧米伽_xi的组件博梅加,

欧米茄色=B_1欧米茄_xi
(20)
=B_1泰塔^。
(21)
=[cospsi；-sinpsi；0]θ。。
(22)

类似地，通过磅/平方英寸关于剩余的轴，请看欧米伽普西的组件博梅加,

欧米伽普西=B_3欧米茄_psi
(23)
=B_3磅/平方英寸。
(24)
=[0；0；1]磅/平方英寸。。
(25)

将这些碎片组合在一起

ω=[sinpsisinthetaph^.+cospsitheta^.；cospsisinthetaph^.-sinspitheta^；costhetapha^.+psi^..]
(26)

更多详细信息，请参见戈尔茨坦（1980年，第176页）和兰道和利夫希茨（1976年，第111页）。

这个x个-惯例欧拉角是根据凯莱·克莱因参数通过

φ=-2iln[+/-（α^（1/2）γ^（1/4））/（β^
(27)
磅/平方英寸=-2iln[+/-（α^（1/2）β^（1/4））/（γ^
(28)
θ=+/-2cos^（-1）（+/-平方（1+贝塔加玛））。
(29)

在“年-惯例，”

菲克斯=phi_y+1/2pi
(30)
磅/平方英寸x=psi_y-1/2磅。
(31)

因此，

辛菲_x=哥斯菲
(32)
余弦x=-辛菲（_y）
(33)
正弦_x=-cospsi_y公司
(34)
cospsi_x（cospsix）=辛普森，
(35)

给出旋转矩阵

D类=[-sinphi cosphi 0；-cosphi-sinphi0；0 0 1]
(36)
C类=[1 0 0；0 costheta sintheta；0-sintheta costheta]
(37)
B类=[sinpsi-cospsi 0；cospsi sinpsi 0；0 0 1]
(38)

和A类由提供

a_（11）=-sinpsisinphi+costhetacopicospsi
(39)
a_（12）=sinpsicosphi+costhetasinphicospi
(40)
a_（13）=-cospsisintheta（上消化道）
(41)
a_（21）=-cospsisinphi-coshetacosphisinpsi
(42)
a_（22）=cospisicosphi-costatsinphisinpsi
(43)
a_（23）=正弦θ
(44)
a_（31）=sinthetacosphi（中音）
(45)
a_（32）=sinthetasinphi公司
(46)
a _（33）=服装。
(47)

在“xyz公司（pitch-roll-yaw）惯例，”θ是音高，磅/平方英寸是滚动，并且φ偏航。

D类=[cosphi sinphi 0；-sinphi cosphi 0；0 0 1]
(48)
C类=[costheta 0-sintheta；0 1 0；sintheta 0 costheta]
(49)
B类=[1 0 0；0 cospsi sinpsi；0-sinpsi cospsi]
(50)

和A类由提供

a_（11）=绞刑架
(51)
a_（12）=肋关节炎
(52)
a_（13）=-正弦
(53)
a_（21）=sinpsisinthetacosphi-cospsisinphi中的sinpsis
(54)
a_（22）=sinpsisinthetasinphi+cospiscosphi中的sinpsis
(55)
a_（23）=costhetasinpsi公司
(56)
a_（31）=cospsisinthetacosphi+辛普森
(57)
a_（32）=干骺软骨中的cospsisintheasinphi-sinpsicospi
(58)
a _（33）=costhetacospsi公司。
(59)

有时用一组参数代替角度是Euler参数 e_0（电子_ 0）,电子1,电子2和电子3，由定义

e_0（电子_ 0）=cos（φ/2）
(60)
e（电子）=[e1；e2；e3]=n^^sin（φ/2）。
(61)

使用Euler参数（这些是四元数)，一个武断的旋转矩阵可以描述通过

a_（11）=e_0 ^2+e_1 ^2-e_2 ^2-e_ 3^2
(62)
a_（12）=2（e_1e_2+e_0e_3）
(63)
a_（13）=2（e_1e_3-e_0e_2）
(64)
a_（21）=2（e_1e_2-e_0e_3）
(65)
a_（22）=e_0^2-e_1^2+e_2^2-e_3^2
(66)
a_（23）=2（e_2e_3+e_0e_1）
(67)
a_（31）=2（e_1e_3+e_0e_2）
(68)
a_（32）=2（e_2e_3-e_0e_1）
(69)
a _（33）=e_0^2-e_1^2-e_2^2+e_3^2
(70)

（戈尔茨坦1980年，第153页）。

如果两组n个点x _ i和x_i ^'已知，一个相对于另一个旋转，然后欧拉旋转矩阵可以通过以下方法直接获得最少的方形拟合.将点写为向量数组，因此

[x_1^'…x_n^']=A[x_1…x_n]。
(71)

将向量数组写成矩阵

X ^’=AX
(72)
X^'X^（T）=AXX^，
(73)

并解决A类给予

A=X^'X^（T）（XX^（T））^（-1）。
(74)

然而，我们需要角度θ,φ、和磅/平方英寸，而不是包含在矩阵 A类。因此，请编写3×3 矩阵

A=[f_1（θ，φ，psi）f_2
(75)

作为一个1×9 矢量

f=[1（θ，φ，psi）。
(76)

现在设置矩阵

[（partial_1）/（partialtheta）|（theta_i，phi_i，psi_i）（partialf_1）/（partialphi 9）/（partialsi）|（theta_i，phi_i，psi_i）][dtheta；dphi；dpsi]=df。
(77)

使用非线性最小二乘拟合然后给出收敛于（θ、φ、psi）.

另请参见

Cayley-Klein参数,Euler参数,欧拉的旋转定理,无穷小旋转,四元数,旋转,旋转公式,旋转矩阵

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

阿夫肯，G。物理学家数学方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第198-200页，1985贝特，R.R。；米勒，D.D。；和怀特，J.E。基本原理天体动力学。纽约：多佛，1971年。Goldstein，H.“The欧拉角”和“替代约定中的欧拉角。" §4-4和附录B经典力学，第二版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，第143-148和606-610页，1980Kraus，M.“LiveGraphics3D示例：Euler Angles”http://wwwvis.informatik.uni-suttgart.de/~kraus/LiveGraphics3D/examples/Euler.html.朗道，拉丁美洲。和E.M.Lifschitz。力学，第3版。英国牛津：佩加蒙出版社，1976年。马格诺，H.和G.M.墨菲。这个物理和化学数学，2卷。新泽西州普林斯顿：Van Nostrand，1956-64.W.F.奥斯古德。力学。纽约：麦克米伦出版社，1937年。图马，J.J。动力学。纽约：量子出版社，1974年。Varshalovich，D.A。；莫斯卡列夫，A.N.公司。；和Khersonskii，V.K。“根据欧拉角。“§1.4.1量子角动量理论。新加坡：《世界科学》，第21-23页，1988

参考Wolfram | Alpha

欧拉角

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。《欧拉角》摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/EulerAngles.html

主题分类