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互补的贝尔数，也称为Uppuluri-Carpenter数，

B^~_n=sum_（k=0）^n（-1）^kS（n，k）
(1)

哪里S（n，k）是一个第二斯特林数友善的，通过类比定义铃声号码

B_n=sum_（k=0）^nS（n，k）。
(2)

它们是由

B^~_n=B_n（-1），
(3)

哪里B_n（x）是一个贝尔多项式。

对于n=0,1, ..., 前几个是1，-1, 0, 1, 1,-2,-9,-9, 50, 267, 413, ... （OEIS）A000587号).

他们有生成函数

G（x）=ee^（-e^x）
(4)
=e^（1-e^x）
(5)
=1-x-1/6x^3+1/（24）x^4-1/（60）x^5-1/（80）x^6+。。。。
(6)

它们具有序列表示

B^~_n=esum_（k=0）^infty（（-1）^kk^n）/（k！）。
(7)

它们是质数（绝对值）n=5, 36, 723, ... （组织环境信息系统A118018号),对应于素数2，14542525684818731501051。。。（组织环境信息系统A118019号),没有其他人n≤40968（E.W.Weisstein，2009年3月21日）。

另请参见

铃声号码,贝尔多项式,整数序列素数,第二类斯特林数

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R.E.比尔德。“关于e^（e^t）和e^（-e^t）."J.机构精算师 76, 152-163, 1950.J.E.布伊莱特。“广义扩散方程：径向对称性和比较定理。”数学杂志。分析。申请。 96, 37-68, 1983.B.哈里斯和肖恩菲尔德，L.“解析函数系数的渐近展开”伊利诺伊州数学。 12, 264-277, 1968.Klazar，M.“计数偶数和奇数分区。"阿默尔。数学。每月 110，第527-532页。克拉扎尔，贝尔数、它们的相对论和代数微分方程J.联合会计师事务所 102, 63-87, 2003.科洛科尔尼科娃，N.A。《某些特殊数字和之间的关系》渐进式和组合分析中的计数问题（编辑G.P.Egoryčev和M.L。柏拉托诺夫）。克拉斯诺亚尔斯克，苏联：克拉斯诺贾尔斯克。戈斯。大学。，第117-1241976页。新泽西州斯隆。答：。序列A000587号/M1913，A118018号、和A118019号在“整数序列在线百科全书”中苏巴拉奥，M.V.公司。和Verma，A.“关于产品扩展的一些评论分区函数。“输入符号计算，数论，特殊函数，《物理学与组合数学》（佛罗里达州盖恩斯维尔，1999年）。荷兰多德雷赫特：Kluwer，第267-283页，2001年。乌普鲁里，V.R。R。和Carpenter，J.A。“函数生成的数字经验（1-e^x）."小谎。夸脱。 71969年，第437-448页。杨，Y.“关于乘法配分函数。”电子。J.组合。 8,编号：R192001。

参考Wolfram | Alpha

补充铃号

引用如下：

埃里克·W·韦斯坦。“补充铃号。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/ComplementaryBellNumber.html

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