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伯努利多项式

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伯努利多项式

伯努利多项式有两种定义。这个n个第个伯努利多项式在这里表示为B_n（x）（Abramowitz和Stegun 1972），以及伯努利多项式B_n ^*（x）（或有时phin（x）). 当评估为零时，这些定义对应到伯努利数,

B_n（B_n）=B_n（0）
(1)
B_n（B_n）^*=B_n^*（0）。
(2)

伯努利多项式是Appell序列具有

g（t）=（e^t-1）/t
(3)

（罗马1984年，第31页），给出了生成功能

（te^（tx））/（e^t-1）=sum_（n=0）^inftyB_n（x）（t^n）/（n！）
(4)

（阿布拉莫维茨（Abramowitz）和斯特根（Stegun），1972年，第804页），最早由欧拉（1738）获得。前几个伯努利多项式是

B_0（x）=1
(5)
B_1（x）=x-1/2
（6）
B_2（x）=x^2-x+1/6
(7)
B_3（x）=x^3-3/2x^2+1/2x
(8)
B_4（x）=x^4-2x^3+x^2-1/（30）
(9)
B_5（x）=x^5-5/2x^4+5/3x^3-1/6x
(10)
B_6（x）=x^6-3x^5+5/2x^4-1/2x^2+1/（42）。
(11)

Whittaker和Watson（1990年，第126页）通过写作定义了一种更古老的“伯努利多项式”

t（e^（zt）-1）/（e^t-1）=sum_（n=1）^infty（phi_n（z）t^n）/（n！）
(12)

而不是(12). 这给出了多项式

phi_n（x）=B_n（x）-B_n，
(13)

哪里B_n（B_n）是一个伯努利数，其中的前几个是

phi_1（x）=x个
(14)
phi_2（x）=x^2倍
(15)
phi3（x）=x^3-3/2x^2+1/2x
(16)
phi4（x）=x^4-2x^3+x^2
(17)
phi_5（x）=x^5-5/2x^4+5/3x^3-1/6x。
(18)

伯努利多项式也满足

B_n（1）=（-1）^nB_n（0）
(19)

和

B_n（1-x）=（-1）^nB_n（x）
(20)

（莱默1988）。对于不=1,

B_n（1）=B_n，
(21)

所以

B_n（1）=B_n=0
(22)

对于奇数n> 1个.

它们也满足了关系

B_n（x+1）-B_n（x）=nx^（n-1）
(23)

（Whittaker和Watson，1990年，第127页）。

对于的有理值x个,B_n（x）可以表示为正整数n个例如，根据伯努利数和欧拉数

B_n（1）=（-1）^nB_n
(24)
B_n（1/2）=（2^（1-n）-1）B_n
(25)
B_n（1/4）=-2^（-n）（1-2^（1-n））B_n-4^（-n）nE_（n-1）
(26)
B_（2n）（1/3）=-1/2（1-3^（1-2n））B_（2n）
(27)
B_（2n）（1/6）=1/2（1-2^（1-2n））（1-3^（1-2））B_（2n）。
(28)

Bernoulli（1713）根据权力连续整数，

sum_（k=0）^（m-1）k^（n-1）=1/n[B-n（m）-B-n（0）]。
(29)

伯努利多项式满足重现关系

（dB_n）/（dx）=nB_（n-1）（x）
(30)

（Appell 1882），并遵守身份

B_n（x）=（B+x）^n，
(31)

哪里B^k公司被解释为伯努利数 B_k=B_k（0）。另一个相关身份是

B_n=（B-x）^n，
(32)

哪里B^k公司被解释为伯努利多项式_k（x）.

赫维茨给了傅里叶级数

B_n（x）=-（n！）/（2pii）^n）和^'_（k=-infty）^inftyk^（-n）e^（2piikx），
(33)

对于0<x<1,其中求和中的素数表示该项k=0省略。执行求和可以得到

B_n（x）=-（n！）/（2pii）^n）[（-1）^nLi_n（e^（-2piix））+Li_n，
(34)

哪里Li_n（x）是多对数功能。发现Raabe（1851）

1/msum_（k=0）^（m-1）B_n（x+k/m）=m^（-n）B_n（mx）。
(35)

涉及伯努利多项式的和恒等式为

sum_（k=0）^m（m；k）B_k（α）B_（m-k）（β）=-（m-1）B_m（α+β）+m（α+β-1）B_（m-1
(36)

对于米一个整数由于S.M。鲁伊斯是

sum_（k=0）^n（-1）^（k+n）（n；k）B_n（k）=n！，
(37)

哪里（n；k）是一个二项式系数.伯努利家族多项式也由公式给出

B_n（x）=B_n（0）+总和_（k=1）^nn/kS（n-1，k-1）（x）_k，
(38)

哪里S（n，m）是一个第二斯特林数友善的和（x） k（_k）是一个下降因子（罗马1984年，第94页）。一般恒等式如下所示

（n） _mx^（n-m）=sum_（k=m）^n（（n）_k）/（（k-m+1）！）B_（n-k）（x），
（39）

它简化为

nx^（n-1）=总和_（k=1）^n（n；k）B_（n-k）（x）
(40)

（罗马1984年，第97页）。Gosper给出了身份

sum_（j=0）^i（[2（i-j）-1]3^（2j）（2^（（2j+1））+1）B_（2（i-j！（2j+1）！）=（2i·3^（2（i-1））（2^（2i-1）+1）B_（2i-l）（1/3）-（i-1/2）B_。
（41）

概括B_n^（α）（x）带有附加自由参数的伯努利多项式可以这样定义那个B_n（x）=B_n^（（1））（x）（罗马1984年，第93页）。这些多项式具有生成函数

e^（zt）（t/（e^t-1））^alpha=sum_（n=0）^inftyB_n^（alpha））（z）（t^n）/（n！），
(42)

和在中实现Wolfram语言作为诺伦分贝[n个,阿尔法,z（z）].

另请参见

伯努利数,第二类伯努利多项式,欧拉-马克拉林积分公式,欧拉多项式,诺伦德多项式

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/Polynomials/BernoulliB2/

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工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。“伯努利多项式和欧拉多项式以及欧拉-马克拉林公式”手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第804-8061972页。阿佩尔，体育。“苏尔多项式类。”Annales d’ecole Normal Superieur，爵士。2 9,119-1441882年。阿夫肯，G。数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第330页，1985J.伯努利。阿尔斯猜想。瑞士巴塞尔，第97、1713页。死后出版。欧拉，L.“Methodus generalizes summandi progressones”注释。阿卡德。科学。Petropol石油公司。 6, 68-97, 1738.莱默，D.H。“新方法伯努利多项式。”阿默尔。数学。每月一次。 95, 905-911, 1988.卢卡斯，E.Ch.14英寸塞奥里德诺布雷斯。巴黎，1891年。Prudnikov，A.P。；马里切夫，O.I。；和于伯里科夫。答：。“广义Zeta函数泽塔（s，x），伯努利多项式B_n（x），欧拉多项式E_n（x）、和多对数锂（x）（_N）第1.2节积分和系列，第3卷：更多特殊功能。新泽西州纽瓦克：戈登和布雷奇，第23-24页，1990年。Raabe，J.L。“苏黎克富伦雅各布-伯努利谢函数的einiger求和和最佳积分。”J.reine愤怒。数学。 42, 348-376, 1851.Roman，S.“The伯努利多项式。“§4.2.2这个脑微积分。纽约：学术出版社，第93-100页，1984年。扳手，J.和奥尔德姆，K.B。“伯努利多项式B_n（x）.“Ch.19英寸安功能地图集。华盛顿特区：《半球》，第167-173页，1987年。惠塔克，E.T.公司。和G.N.Watson。A类现代分析课程，第四版。英国剑桥：剑桥大学出版社，1990年。

参考Wolfram | Alpha

伯努利多项式

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“伯努利多项式。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/BernoulliPolynomial.html

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