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反链

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让P（P）是有限的部分有序集合然后是反链P（P）是一组两两不可比较的元素。反链是在旧文献中也称为Sperner系统（Comtet 1974）。

例如，考虑P（P）与子集关系（即。，s_1≤s_2如果s_1是的子集第2秒). 下表给出了一组反链子集（即动力装置)的n个-套{1,2,3，…，n}对于小型n个.

n个反链
1空集，{{1}}
2空集，{{1}}，{{2}}
三emptyset，｛｛1｝｝，｛｛2｝｝，｛｛3｝｝，｛｛1，2｝｝，
{{1,3}},{{2,3}},{{1},{2}},{{1},{3}},
{{2},{3}},{{1,2,3}},{{1},{2,3}},{{1,2},{2,3}},
{{1,2},{1,3}},{{1,2},{3}},{{2},{1,3}},
{{2,3},{1,3}},{{1},{2},{3}},{{1,2},{2,3},{1,3}}

上的反链数n个-套{1,2，…，n}对于n=0, 1, 2, ..., 分别为1、2、5、19、167，…（OEIS）A014466号). 如果空的设置被认为不是有效的反链，则这些值减少为0、1、4、18、166，…（OEIS）A007153号; Comtet 1974，第273页）。

上的反链数n个-集合等于单调递增布尔数的功能n个变量，以及具有n个发电机（Comtet 1974，第273页）。确定这些数字被称为Dedekind的问题，及其值对于n=0, 1, ... 被称为德德金德数字（Jäkel 2023），尽管它们通常被定义为数字通过向OEIS添加一个A014466号即。，2, 3, 6, 20, 168, 7581, 7828354, ... （组织环境信息系统A000372号;Speciner 1972）。

这个部分订单宽度属于P（P）是最大值基数一条反链P（P）.对于部分订单最长反链的大小被称为部分订单宽度 w（P）Sperner（1928）证明了最大尺寸（因此部分阶的宽度）n个元素是

w_（最大（n））=（n；|_n/2_|），

哪里（n；k）是一个二项式系数和|_n个_|是楼层功能.

另请参见

布尔函数,链条,Dedekind编号,Dedekind的问题,Dilworth引理,部分订单宽度,部分有序集

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参考Wolfram | Alpha

反链

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“反链。”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Antichain.html

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