莫比乌斯函数

这个莫比乌斯函数，以以下名称命名八月费迪南德·莫比乌斯（其中莫比乌斯有时被音译，没有变音的，作为Mœbius，Moebius或Mobius），表示为

μ (n个)

，指示是否正整数是无平方的，如果是，它是否具有古怪的或即使数量主要因素.因此

${\显示样式\mu（n）：={\开始{案例}-1&{\text{if}}\Omega（n）=\Omega（n；0&{\text{if}}\Omega（n）>\欧米茄（n），\\\；\；1&{\text{if}}\Omega（n）=\Omega（n{案例}-1&{\text{if}}\Omega（n）=\Omega（n；0&{\text{if}}\Omega（n）>\欧米茄（n），\\\；\；1&{\text{if}}\Omega（n）=\Omega（n$

哪里

ω (n个)

是不同素数属于

n个

,

Ω (n个)

是素因子数（重复）属于

n个

。请注意

n个

是无平方的当且仅当

Ω (n个) =ω (n个)

.利用以下事实：

( − 1) k

交替出现在 + 1和 − 1，取决于

k

（请参见A033999号对于

( − 1) n个,n个  ≥   0

)，我们可以将定义浓缩为

${\displaystyle\mu（n）：={\begin{cases}（-1）^{\omega（n）}&{\text{if}}\omega（n$

并使用艾弗森支架，我们可以进一步将定义浓缩为

${\显示样式\mu（n）：=[\omega（n）=\omega（n$

（何时

Ω (n个) >ω (n个)

，艾弗森支架0没有必要评估

( − 1) ω (n个)

，这被称为短路求值.)我们不再考虑1一个质数（就像八月费迪南德·莫比乌斯时代的情况一样)，数字1素数因子为偶数，即零，因此

μ (1) = 1

。这简化了我们稍后将看到的某些身份。有关Möbius函数的更多值，请参阅A008683号.

莫比乌斯函数相关值表

莫比乌斯函数相关值

n个	Ω (n个),ω (n个)	莫比乌斯 μ (n个) A008683号 μ (n个) =  − 1 :A030059型 μ (n个) = 0 :A013929号 μ (n个)=+1 :A030229号	梅滕斯 M（M） (n个):= ∑ n个 我  = 1  μ (我 ) A002321号
1	0, 0	1	1
2	1, 1	–1	0
三	1, 1	–1	–1
4	2, 1	0	–1
5	1, 1	–1	–2
6	2, 2	1	–1
7	1, 1	–1	–2
8	3, 1	0	–2
9	2, 1	0	–2
10	2, 2	1	–1
11	1, 1	–1	–2
12	3, 2	0	–2
13	1, 1	–1	–3
14	2, 2	1	–2
15	2, 2	1	–1
16	4, 1	0	–1
17	1, 1	–1	–2
18	3, 2	0	–2
19	1, 1	–1	–3
20	3, 2	0	–3
21	2, 2	1	–2
22	2, 2	1	–1
23	1, 1	–1	–2
24	4, 2	0	–2
25	2, 1	0	–2
26	2, 2	1	–1
27	3, 1	0	–1
28	3, 2	0	–1
29	1, 1	–1	–2
30	3、3	–1	–3
31	1, 1	–1	–4
32	5, 1	0	–4

该值在中可用PARI/GP公司如Mathematica中的“moebius（n）”和“moebius Mu[n]”。

渐近行为

这个求和平方函数定义为

${\显示样式Q（n）：=\sum_{i=1}^{n}|\mu（n）|，}$

哪里

| μ (n个)|

是方弗雷函数，的无平方数的特征函数.

这个渐近密度属于无平方数对应于可能性两个随机选择的整数是互质

${\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\frac{Q（n）}{n}}=\prod_{n=1}^{\infty}{\bigg$

哪里

第页n个

是

n个

第个 质数、和

ζ (秒)

是黎曼-泽塔函数.

奇数无平方数的渐近密度主要因素等于素数为偶数的无平方数的渐近密度，即。

${\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\frac{\sum_{i=1}^{n}[\mu（i）=-1]}{n}}=\lim_}n\to\infty}{\frac{\sum _{i=1}^{n}[\mo（i）=+1]}{n}={\frac{1}{2\zeta（2）}}={\frac{3}{\pi^{2}}}}，}$

哪里

[·]

是艾弗森支架.

这个Mertens函数图（该Mertens函数成为求和Möbius函数)似乎表示Mertens函数的平均负偏差，这意味着存在偏差（与切比雪夫偏差)支持素数为奇数的无平方数，而不是素数为偶数的无方数。这种偏差的存在与否，如果足够小，对渐近行为没有影响。

Möbius函数的部分和

这个部分和Möbius函数的Mertens函数

$显示样式M（n）：=\sum_{i=1}^{n}\mu（i）.}$

除了

n个=1

，我们发现，给定

n个

,

{d日1, ...,d日τ (n个)}

，其中

τ (n个)

是除数属于

n个

，然后

${\displaystyle\sum_{i=1}^{\tau（n）}\mu（d_{i}）=0.}$

Dirichlet生成函数

自从反向的黎曼-泽塔函数由狄里克莱级数莫比乌斯函数为Dirichlet字符(Dirichlet生成序列)

$｛\displaystyle｛\frac｛1｝｛\zeta（s）｝｝=\sum_｛n=1｝^｛\infty｝｛\frac｛\mu（n）｝｛n^｛s｝｝｝｝，\\Re（s）>1，｝$

我们有那个Dirichlet生成函数Möbius函数的反向的黎曼-泽塔函数

$显示样式D_{\{\mu（n）}}={\frac{1}{\zeta（s）}}.}$

Möbius函数是多维双曲面的点数之和：

${\displaystyle\mu（n）={\underset{n=1}{1}}-{\underset{a=n}{\sum_{a\geq2}}}1+{\undertset{ab=n}}{\sum_{a \geq2}\sum_{b\geq2\}}1-{\unders集{abc=n}{\sum a\geq 2}\sum_{b\gerq2}}}}1+{et{abcd=n}{sum{a\geq2}\sum{b\geq2]\sum{c\geq2}\sum_{d\geq2{}}}1-\cdots}$

属性

${\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\mu（n）}{n^{s}}={\frac{1}{\zeta（s）}}=\prod_{p{\rm{~prime}}{\bigg（}1-{\frac:1}{p^{s{}}{\ bigg{1}{n^{s}}}{\bigg）}^{\chi_{\rm{prime}}（n）}，\，{\mathfrak{R}}>1，}$

哪里

ζ (秒)

是黎曼-泽塔函数和

χ首要的(n个)

是素数的特征函数.

$｛\displaystyle\sum_｛n=1｝^｛infty｝｛\frac｛\mu（n）｝｛n｝｝＝0，｝$

${\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\mu（n）\log（n）}{n}}=-1，}$

${\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{q（n）}{n^{2}}=\sum_}n=1}\pi^{2}}}，}$

哪里 

问(n个) := | μ (n个)|

是方弗雷函数.

${\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}（1-x^{n}）^{\frac{\mu（n）}{n}}=e^{-x}，\，|x|<1.}$

莫比乌斯反演

Möbius函数用于定义莫比乌斯变换（或莫比乌斯反演)序列的

$｛\displaystyle b_｛n｝=\sum_｛d|n｝\mau｛\big（｝｛\tfrac｛n｝｛d｝｝｛\big）｝a_｛d｝，\au｛n｝=\sum_｛d|n｝b_｛d｝。｝$

序列

A030059型

μ (n个) =  − 1

：不同素数奇数的乘积。

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, 37, 41, 42, 43, 47, 53, 59, 61, 66, 67, 70, 71, 73, 78, 79, 83, 89, 97, 101, 102, 103, 105, 107, 109, 110, 113, 114, 127, 130, 131, 137, 138, 139, 149, 151, 154, ...}

A013929号

μ (n个) = 0

：不平方的数字。可被大于的平方整除的数字1.的补语A005117号.

{4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, 64, 68, 72, 75, 76, 80, 81, 84, 88, 90, 92, 96, 98, 99, 100, 104, 108, 112, 116, 117, 120, 121, 124, 125, 126, 128, ...}

A030229号

μ (n个) =  + 1

：偶数个不同素数的乘积。

{1、6、10、14、15、21、22、26、33、34、35、38、39、46、51、55、57、58、62、65、69、74、77、82、85、86、87、91、93、94、95、106、111、115、118、119、122、123、129、133、134、141、142、143、145、146、155、158…}

A008683号Moebius（或Mobius）函数

μ (n个)

.

{1, –1, –1, 0, –1, 1, –1, 0, 0, 1, –1, 0, –1, 1, 1, 0, –1, 0, –1, 0, 1, 1, –1, 0, 0, 1, 0, 0, –1, –1, –1, 0, 1, 1, 1, 0, –1, 1, 1, 0, –1, –1, –1, 0, 0, 1, –1, 0, 0, 0, 1, 0, –1, 0, 1, 0, 1, 1, –1, 0, –1, 1, 0, 0, 1, –1, –1, ...}

A002321号 Mertens函数:

∑ 1  ≤  k  ≤  n个 1  ≤  k  ≤  n个 μ (k)

，其中

μ (k)

是Möbius函数吗(A008683号).

{1, 0, –1, –1, –2, –1, –2, –2, –2, –1, –2, –2, –3, –2, –1, –1, –2, –2, –3, –3, –2, –1, –2, –2, –2, –1, –1, –1, –2, –3, –4, –4, –3, –2, –1, –1, –2, –1, 0, 0, –1, –2, –3, –3, –3, –2, –3, –3, –3, –3, –2, –2, –3, –3, ...}

另请参见

• Mertens函数
• 莫比乌斯变换
• 莫比乌斯变换