Полиномиальный алгоритм поиска кратчайшего пути в делимом кратном графе

В статье рассматриваются неориентированные кратные графы произвольной натуральной кратности к > 1. Кратный граф содержит ребра трех типов: обычные, кратные и мультиребра. Ребра последних двух типов представляют собой объединение к связанных ребер, которые соединяют 2 или (к + 1) вершину соответственно. Связанные ребра могут использоваться только согласованно. Если вершина инцидентна кратному ребру, то она может быть инцидентна другим кратным ребрам, а также она может быть общим концом к связанных ребер мультиребра. Если вершина является общим концом мультиребра, то она не может быть общим концом никакого другого мультиребра. Делимые кратные графы характеризуются возможностью выделения к частей, согласованных на связанных ребрах и не содержащих общих ребер. Каждая часть представляет собой обычный граф. Как и для обычного графа, для кратного графа можно ввести целочисленную функцию длины ребра и поставить задачу о кратчайшем пути между двумя вершинами. Кратный путь является объединением к обычных путей, согласованных на связанных ребрах кратных и мультиребер. В статье показано, что задача о кратчайшем пути в делимом кратном графе является полиномиальной. Сформулирован соответствующий полиномиальный алгоритм. Также предложена модификация алгоритма для случая произвольного кратного графа. Эта модификация имеет экспоненциальную по параметру к трудоемкость.

1A.V.Smirnov，“多重图的最短路径问题”，《自动控制与计算机科学》，第52卷，第7期，第625-633页，2018年。doi:10.3103/S0146411618070234。

2T.H.Cormen、C.E.Leiserson、R.L.Rivest和C.Stein，《算法导论》，第3期。麻省理工学院出版社，麦格劳-希尔图书公司，2009年。

三。C.Berge，图和超图。North-Holland出版公司，1973年。

4A.Basu和R.W.Blanning，“工作流支持系统中的元图”，《决策支持系统》，第25卷，第3期，第199-208页，1999年。doi:10.1016/S0167-9236（99）00006-8。

5A.Basu和R.W.Blanning，《形而上学及其应用》，ser。信息系统集成系列。美国施普林格出版社，2007年，第15卷。

6V.S.Rublev和A.V.Smirnov，“多重网络中的流动”，Yaroslavsky Edagogichicsky Vestnik，第3卷，第2期，第60-68页，2011年。

7A.V.Smirnov，“在可分割网络及其特殊情况下求最大多重流的问题”，《自动控制与计算机科学》，第50卷，第7期，第527-535页，2016年。doi:10.3103/S0146411616070191。

8L.R.Ford和D.R.Fulkerson，《网络中的流动》。普林斯顿大学出版社，1962年。

9V.S.Roublev和A.V.Smirnov，“三维矩阵的整值平衡问题及其求解算法”，《信息系统建模与分析》，第17卷，第2期，第72-98页，2010年。

10A.V.Smirnov，“四维矩阵整数平衡问题的网络模型”，《自动控制与计算机科学》，第51卷，第7期，第558-566页，2017年。doi:10.3103/S0146411617070185。

11A.V.Smirnov，“多重图的生成树”，《组合优化杂志》，第43卷，第4期，第850-869页，2022年。doi:10.1007/s10878-021-00810-5。

12E.W.Dijkstra，“关于与图连接的两个问题的注记”，《数值数学》，第1卷，第1期，第269-271页，1959年。doi:10.1007/BF01386390。