2024年3月20日，12:21 pm
另一个可爱的几何拼图被发布在脸书上。
困惑。平面上的等边三角形有三个已知x坐标的顶点：a、b和c。三角形的边是什么？
我想描述一下Facebook频道的读者发布的三种不同的解决方案。但在这样做之前，让我们看看问题的对称性。我们可以马上说答案应该是三个变量的对称函数：|a-b|、|b-c|和|c-a|。协调解决这个问题是可能的。然而，我总是喜欢几何解。话虽如此，如果想要计算，使用复数可能会加快速度。
使用复数的解决方案。假设c是原点，那么第一个顶点对应一个复数a+xi。然后，将第一个顶点绕原点旋转60度，即可找到第二个顶点。这意味着它位于（a+xi）exp（±2πi/6）。在不损失一般性的情况下，我们可以假设第二个顶点对应于（a+xi）（1+i√3）/2。由此得出b=（a−x√3）/2。因此，x=2（a/2-b）/√3。边长为√（a2+x个2)=√（4（a2-ab+b2)/3). 根据原点的选择进行调整，我们得到长度为√（2（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2)/3).
几何解。通过与x轴平行的点a画一条线。相应地，将这条线与线x=b和x=c的交点表示为P和Q。设R为BC边的中点。那么，三角形PQR是等边的。为了证明这一点，请注意角度ARC和AQC是正确的，这意味着点ARCB与直径AC在同一个圆上。因此，角度RCA和RQA是相同的；因此，角度RQA为60度。鉴于三角形PQR是等腰的，因为R必须在PQR的平分线上，我们得出结论，三角形PQRs是等边的。现在，我们可以计算PQR的高度，从而计算ABC的高度，结果如下。
物理解决方案。在不损失一般性的情况下，我们可以假设a+b+c=0。因此，y轴穿过三角形的质心。由三个三角形顶点组成的系统相对于y轴的惯性矩为2+b2+c（c）2现在，我们添加对称性考虑：惯性椭圆必须在60度旋转下保持不变，这意味着椭圆实际上是一个圆。这意味着惯性矩在任何系统旋转下都不会改变。因此，我们可以假设其中一个顶点位于y轴上。在这种情况下，惯性矩等于L2/2，其中L是三角形边的长度。答案如下。
共享：
