巴博拉Benešová;马丁·克鲁日克 积分泛函的弱下半连续性及其应用。 （英语） Zbl 1378.49011号 SIAM版本。 59，第4期，703-766（2017）. 小结：最小化是从纯数学到应用数学等许多数学学科中反复出现的主题。特别重要的是积分泛函的最小化，这是在变分法中研究的。极小值存在性的证明通常依赖于泛函的一个优良性质，即弱下半连续性。虽然早期对低半连续性的研究可以追溯到20世纪初，但现代理论的里程碑是由C.B.Morrey jun。[Pac.J.Math.2，25-53（1952年；兹比尔0046.10803)]和N.G.Meyers公司[《美国数学学会学报》第119、125–149页（1965年；Zbl 0166.38501号)]. 我们从这些论文开始概述了这个主题的发展。特别关注符号被积函数和在固体连续介质力学中的应用。特别地，我们回顾了关于弱下半连续的多凸性概念和（子）行列式的特殊性质。此外，我们强调了在满足微分和代数约束的序列上泛函的下半连续性方面的一些最新进展，这些约束可用于弹性力学，以确保变形的内射性和方向保持性。最后，我们将这些结果推广到更一般的一阶偏微分算子，并提出一些建议供进一步阅读。 引用于25文件 MSC公司： 49J45型 涉及半连续性和收敛性的方法；放松 49-02 关于变分法和最优控制的研究说明（专著、调查文章） 49S05号 物理学变分原理 49J20型 偏微分方程最优控制问题的存在性理论 74A05型 变形运动学 关键词：变分法;零拉格朗日;多凸性;拟凸性;弱下半连续性 引文：Zbl 0046.10803号;Zbl 0166.38501号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{B.Benešová}和\textit{M.Kruík}，SIAM Rev.59，No.4，703--766（2017；Zbl 1378.49011） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] E.Acerbi和N.Fusco，{变分法中的半连续性问题}，Arch。定额。机械。分析。，86（1984年），第125-145页·Zbl 0565.49010号 [2] J.J.Alibert和B.Dacorogna，{它是二维非多凸函数的拟凸函数的一个例子}，Arch。定额。机械。分析。，117（1992），第155-166页·Zbl 0761.26009号 [3] R.Alicandro和M.Cicalese，{超线性增长离散能量连续极限的一般积分表示结果}，SIAM J.Math。分析。，36（2004），第1-37页·Zbl 1070.49009号 [4] M.Amar和V.De Cicco，{任意阶拟凸积分的松弛}，Proc。罗伊。Soc.爱丁堡教派。A、 124（1994年），第927-946页·Zbl 0831.49025号 [5] L.Ambrosio，N.Fusco和D.Pallara，{有界变分函数和自由间断问题}，牛津数学专著，克拉伦登出版社，牛津大学出版社，牛津，2000年·兹比尔0957.49001 [6] K.Astala，拟共形映射的面积畸变，数学学报。，173（1994），第37-60页·Zbl 0815.30015号 [7] K.Astala、T.Iwaniec和G.Martin，《椭圆偏微分方程和平面上的拟共形映射》，普林斯顿数学。序列号。48，普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，2008年·Zbl 1182.30001号 [8] K.Astala、T.Iwaniec、I.Prause和E.Saksman，{伯克霍尔德积分，Morrey问题和拟共形映射}，J.Amer。数学。Soc.，25（2012），第507-531页·Zbl 1276.30038号 [9] H.Attouch、G.Buttazzo和G.Michaille，《Sobolev和BV空间中的变分分析：在偏微分方程和优化中的应用》，MOS-SIAM Ser。最佳方案。6，SIAM，费城，2006年·Zbl 1095.49001号 [10] S.Aubry、M.Fago和M.Ortiz，{一种模拟马氏体材料亚网格微观结构的约束顺序分层算法}，计算。方法应用。机械。工程，192（2003），第2823-2843页·Zbl 1054.74697号 [11] A.Baernstein和S.J.Montgomery-Smith，《复分析与微分方程》，Upsaliensis大学学报，乌普萨拉大学C Organ，关于\（⏴f\）和\（\bar｛õ｝f\）｝积分平均值的一些猜想。历史。64，乌普萨拉大学，乌普巴拉，1999年，第92-109页·Zbl 0966.30001号 [12] M.Baiía，M.Chermisi，J.Matias和P.M.Santos，{在（mathcal a\）-拟凸性}背景下线性增长的符号泛函的下半连续性和松弛，Calc.Var.偏微分方程，47（2013），第465-498页·Zbl 1271.49008号 [13] E.J.Balder，{最优控制理论中下半连续性和下闭包的一般方法}，SIAM J.控制优化。，22（1984年），第570-598页·Zbl 0549.4905号 [14] J.M.Ball，非线性弹性力学中的{凸性条件和存在定理}，Arch。定额。机械。分析。，63（1977年），第337-403页·Zbl 0368.73040号 [15] J.M.Ball，{索波列夫函数的全局可逆性和物质的相互渗透}，Proc。罗伊。Soc.爱丁堡教派。A、 88（1981），第315-328页·Zbl 0478.46032号 [16] J.M.Ball，{\it杨氏测度基本定理的一个版本}，载于相位转换的偏微分方程和连续统模型，M.Rascle，D.Serre和M.Slemrod编辑，《物理学讲稿》。344，柏林施普林格出版社，1989年，第207-215页·Zbl 0991.49500号 [17] J.M.Ball，《弹性力学中的一些开放问题》，载于《几何、力学和动力学》，纽约斯普林格出版社，2002年，第3-59页·Zbl 1054.74008号 [18] J.M.Ball，{非线性弹性的进展和困惑}，《CISM应用力学中的多凸性、准凸性和秩一凸性课程论文集》，J.Schroöder和P.Neff编辑，施普林格，维也纳，2010年，第1-15页。 [19] J.M.Ball、J.C.Currie和P.J.Olver，{零拉格朗日、弱连续性和任意阶变分问题}，J.Funct。分析。，41（1981），第135-174页·Zbl 0459.35020号 [20] J.M.Ball和R.D.James，《作为能量最小化器的精细相混合物》，Arch。定额。机械。分析。，100（1988年），第13-52页·兹比尔0629.49020 [21] J.M.Ball、B.Kirchheim和J.Kristensen，{it拟凸包络的正则性}，计算变量偏微分方程，11（2000），第333-359页·Zbl 0972.49024号 [22] J.M.Ball和J.E.Marsden，{边界的拟凸性，第二变分的正性和弹性稳定性}，Arch。定额。机械。分析。，86（1984年），第251-277页·Zbl 0552.73006号 [23] J.M.Ball和J.V.Mizel，{其极小元不满足Euler-Lagrange方程}的一维变分问题，Arch。定额。机械。分析。，90（1985），第325-388页·Zbl 0585.49002号 [24] J.M.Ball和C.Mora-Corral，{允许固体中光滑和尖锐相边界的变分模型}，Comm.Pure Appl。分析。，8（2009年），第55-81页·Zbl 1152.74316号 [25] J.M.Ball和F.Murat，（W^{1，p}）-多重积分的拟凸性和变分问题}，J.Funct。分析。，58（1984年），第225-253页·Zbl 0549.46019号 [26] J.M.Ball和F.Murat，关于Chacon咬引理的评论，Proc。阿默尔。数学。《社会学杂志》，107（1989），第655-663页·Zbl 0678.46023号 [27] J.M.Ball和K.-W.Zhang，{多重积分的下半连续性和咬引理}，Proc。罗伊。Soc.爱丁堡教派。A、 114（1990年），第367-379页·Zbl 0716.49011号 [28] R.Ban͂uelos，《D.L.Burkholder的基本不等式及其一些分支》，伊利诺伊州数学杂志。，54（2010年），第789-868页·Zbl 1259.60047号 [29] R.Ban͂uelos和P.Janakiraman，{it\（L^P\）-Beurling-Ahlfors变换的边界}，Trans。阿默尔。数学。Soc.，360（2008），第3603-3612页·2012年4月12日Zbl [30] S.Bartels，{等级一凸包络逼近中的线性收敛}，M2AN数学。模型。数字。分析。，38（2004），第811-820页·Zbl 1083.65058号 [31] S.Bartels，{多凸包络的可靠有效逼近}，SIAM J.Numer。分析。，43（2005），第363-385页·Zbl 1089.65052号 [32] S.Bartels和M.Kružik，{它是数值求解具有非凸能量的速率相关问题的有效方法}，多尺度模型。模拟。，9（2011），第1276-1300页·Zbl 1246.49020号 [33] J.C.Bellido和C.Mora-Corral，{周动力学中非局部变分问题的存在性}，SIAM J.Math。分析。，46（2014），第890-916页·兹比尔1297.26009 [34] J.C.Bellido、C.Mora Corral和P.Pedregal，｛\it Hyperelastic as a \（Γ\）-limit of periodynamics when the horizon to zero｝，Calc.Var.偏微分方程，54（2015），第1643-1670页；附录，54（2015），第1671页·Zbl 1327.74031号 [35] B.Benešovaí，{速率相关过程的全局优化数值策略}，J.Global Optim。，50（2011年），第197-220页·Zbl 1220.90096号 [36] B.Benešovaí和M.Kampschulte，{平面中准一致映射生成的梯度Young测度}，SIAM J.Math。分析。，47（2015），第4404-4435页·Zbl 1368.30010号 [37] B.Benešovaí，S.Kro \780]mer和M.Kruz \780；iík，（BV）}上符号积分泛函的边界效应和下半连续性，ESAIM Control Optim。计算变量，21（2015），第513-534页·Zbl 1318.49022号 [38] B.Benešovaí和M.Kruz \780,1κk，{平面内同胚生成的梯度Young测度的表征}，ESAIM Control Optim。Calc.Var.，22（2016），第267-288页·Zbl 1335.49023号 [39] A.Bensoussan、J.L.Lions和G.Papanicolaou，{周期结构的渐近分析}，荷兰阿姆斯特丹，1978年·Zbl 0404.35001号 [40] A.Beurling和L.Ahlfors，{拟共形映射下的边界对应}，《数学学报》。，96（1956年），第125-142页·Zbl 0072.29602号 [41] K.Bhattacharya，{马氏体的微观结构。它的形成原因及其如何引起形状记忆效应}，牛津大学出版社，纽约，2003年·Zbl 1109.74002号 [42] K.Bhattacharya、N.B.Firoozye、R.D.James和R.V.Kohn，《微观结构的限制》，Proc。R.Soc.爱丁堡教派。A、 124（1994），第843-878页·Zbl 0808.73063号 [43] X.Blanc、C.Le Bris和P.-L.Lions，计算材料科学的原子连续极限，数学。模型。数字。分析。，41（2007），第391-426页·Zbl 1144.82018年 [44] L.Blank、H.Garcke、C.Hecht和C.Rupprecht，{结构优化中相场模型的夏普界面极限}，SIAM J.控制优化。，54（2016），第1558-1584页·Zbl 1348.35259号 [45] B.Bojarski，{Beltrami系统的同胚解}，Dokl。阿卡德。恶心。SSSR，102（1955），第661-664页·Zbl 0068.06402号 [46] O.Bolza，《变分法讲座》，切尔西再版，纽约，1973年。 [47] E.Bonetti、E.Rocca、R.Rossi和M.Thomas，{it损伤中的速率依赖梯度系统，通过结构应变与塑性耦合}，ESAIM Proc。调查，54（2016），第54-69页·兹比尔1366.74009 [48] A.Borichev、P.Janakiraman和A.Volberg，｛\ it Subordance by conformal martingales in \（L^P\）and zeros of Laguerre多项式｝，杜克数学。J.，162（2013），第889-924页·Zbl 1266.32006号 [49] A.Braides，《初学者的收敛》，牛津大学出版社，牛津，2002年·Zbl 1198.49001号 [50] A.Braides，{it局部最小化，变分进化和（Γ）-收敛}，Springer，Heidelberg，2014年·Zbl 1316.49002号 [51] A.Braides和A.Defranceschi，《多重积分的均匀化》，牛津大学出版社，1998年·Zbl 0911.49010号 [52] A.Braides、I.Fonseca和G.Leoni，{it\（mathcal{A}\）-拟凸性：松弛和均匀化}，ESAIM Control Optim。Calc.Var，5（2000），第539-577页·Zbl 0971.35010号 [53] A.Braides和M.S.Gelli，{无凸性假设的连续极限}，数学。机械。《固体》，第7期（2002年），第41-66页·Zbl 1024.74004号 [54] J.Braun和B.Schmidt，关于从原子系统到具有\（p\）-增长的一般多体势的非线性弹性理论的过程，Networks Heterog。媒体，8（2013），第879-912页·Zbl 1283.49013号 [55] J.K.Brooks和R.V.Chacon，{测度的连续性和紧性}，高等数学。，37（1980），第16-26页·Zbl 0463.28003号 [56] D.L.Burkholder，{鞅和随机积分的Sharp不等式}，Asteárisque，157-158（1988），第75-94页·Zbl 0656.60055号 [57] D.L.Burkholder，{\it佩钦斯基Haar系统猜想的证明}，Studia Math。，91（1988年），第79-83页·Zbl 0652.42012号 [58] F.Cagnetti，{\it\（k\）-拟凸化为拟凸}，Proc。罗伊。Soc.爱丁堡教派。A、 141（2011），第673-708页·Zbl 1232.49013号 [59] D.Campbell，S.Hencl，and V.Tengvall，{（W^{1，p}）Sobolev同态异形逼近与雅可比符号}，预印本，MATH-KMA-2016/522（2016）·Zbl 1392.26019号 [60] I.V.Chenchiah和K.Bhattacharya，《模量可能不等的双阱能量的弛豫》，Arch。定额。机械。分析。，187（2008），第409-479页·Zbl 1134.74042号 [61] I.V.Chenchiah和A.Schlo¨merkemper，《单斜I马氏体中的非层状微观结构》，Arch。定额。机械。分析。，207（2013），第39-74页·Zbl 1282.74068号 [62] P.G.Ciarlet，《数学弹性》，第一卷：《三维弹性》，荷兰北部，阿姆斯特丹，1988年·Zbl 0648.73014号 [63] P.G.Ciarlet和J.Nečas，非线性弹性中的注入性和自接触，Arch。定额。机械。分析。，97（1987），第171-188页·Zbl 0628.73043号 [64] S.Conti和G.Dolzmann，〈关于行列式约束非线性弹性力学松弛理论〉，Arch。定额。机械。分析。，217（2015），第413-437页·Zbl 1323.49010号 [65] B.Dacorogna，{非凸变分问题的拟凸性和松弛}，J.Funct。分析。，46（1982），第102-118页·Zbl 0547.49003号 [66] B.Dacorogna，{非线性泛函的弱连续性和弱下半连续性}，数学课堂讲稿。柏林施普林格922号，1982年·Zbl 0484.46041号 [67] B.Dacorogna，《变分法中的直接方法》，第二版，施普林格出版社，纽约，2008年·Zbl 1140.49001号 [68] B.Dacorogna和P.Marcelini，《隐式偏微分方程》，施普林格科学与商业媒体，纽约，2012年·Zbl 0938.35002号 [69] G.Dal Maso，{（Γ）-收敛}导论，Birkha¨用户，巴塞尔，1993年·Zbl 0816.49001号 [70] G.Dal Maso、I.Fonseca、G.Leoni和M.Morini，{高阶拟凸性降低为拟凸性}，Arch。定额。机械。分析。，171（2004），第55-81页·Zbl 1082.49017号 [71] G.Dal Maso和L.Modica，{非线性随机均匀化和遍历理论}，J.Reine Angew。数学。，368（1986），第28-42页·Zbl 0582.60034号 [72] S.Daneri和A.Pratelli，{it bi-Lipschitz取向的光滑近似-保留同胚}，Ann.Inst.H.Poincare©Anal。《非线形》，31（2014），第567-589页·Zbl 1348.37071号 [73] S.Daneri和A.Pratelli，{平面双Lipschitz扩张定理}，高级计算变量，8（2014），第221-266页·Zbl 1331.26020号 [74] E.Davoli和I.Fonseca，{周期振荡微分约束下积分能量的均匀化}，《计算变量偏微分方程》，55（2016），第1-60页·Zbl 1347.49017号 [75] C.De Lellis和L.Szeökelyhidi，Jr.，{\it Euler方程作为微分包含}，数学年鉴。（2） ，170（2009），第1417-1436页·Zbl 1350.35146号 [76] A.DeSimone和G.Dolzmann，{通过一类SO（3）不变能量的弛豫，向列相弹性体的宏观响应}，Arch。定额。机械。分析。，161（2002），第181-204页·Zbl 1017.74049号 [77] G.Dolzmann，《晶体微观结构的变分方法.分析和计算》，数学课堂讲稿。1803年，柏林施普林格，2003年·兹比尔1016.74002 [78] A.L.Dorfmann和R.W.Ogden，《电弹性和磁弹性相互作用的非线性理论》，施普林格，纽约，2014年·Zbl 1291.78002号 [79] N.Dunford和J.T.Schwartz，《线性算子》，第一部分，《跨科学》，纽约，1967年。 [80] G.Eisen，{\it可测集合序列的选择引理，多重积分的下半连续}，Manuscripta Math。，27（1979），第73-79页·Zbl 0404.28004号 [81] D.G.B.Edelen，{\it Euler-Lagrange算子的空集}，Arch。理性力学。分析。，11（1962年），第117-121页·Zbl 0125.33002号 [82] J.L.Ericksen，{液晶理论中的幂零能}，Arch。理性力学。分析。，10（1962年），第189-196页·兹伯利0109.23002 [83] A.C.Eringen和G.A.Maugin，{连续统电动力学}I，Springer，纽约，1990年。 [84] L.C.Evans和R.F.Gariepy，{测度理论和函数的精细性质}，CRC出版社，佛罗里达州博卡拉顿，1992年·Zbl 0804.28001号 [85] N.B.Firoozye，{变分问题的平移方法和松弛的最佳使用}，Comm.Pure Appl。数学。，44（1991），第643-678页·Zbl 0733.49018号 [86] I.丰塞卡，{表面能的下半连续性}，Proc。罗伊。Soc.爱丁堡教派。A、 120（1992），第95-115页·Zbl 0757.49013号 [87] I.Fonseca和M.KružIкk，{（mathcal{A}）-自由映射和积分泛函的弱下半连续性产生的振荡和浓度}，ESAIM Control。最佳方案。Calc.Var.，16（2010），第472-502页·Zbl 1217.49016号 [88] I.Fonseca和G.Leoni，《变分计算中的现代方法：（L^p\）-空间}》，施普林格出版社，纽约，2007年·Zbl 1153.49001号 [89] I.Fonseca，G.Leoni，J.Malyí，and R.Paroni，{（W^{k，1}）}中关于Meyers定理的注记，Trans。阿默尔。数学。Soc.，354（2002），第3723-3741页·Zbl 1006.49006号 [90] I.Fonseca和S.Muöller，{拟凸被积函数和下半连续性in（L^1）}，SIAM J.Math。分析。，23（1992），第1081-1098页·Zbl 0764.49012号 [91] I.Fonseca和S.Muöller，被积函数的（BV（\O；\R^p））中拟凸泛函的{松弛。理性力学。分析。，123（1993），第1-49页·Zbl 0788.49039号 [92] I.Fonseca和S.Muëller，｛\it\（｛\mathcal A｝\）-拟凸性、下半连续性和Young测度｝，SIAM J.Math。分析。，30（1999），第1355-1390页·Zbl 0940.49014号 [93] I.Fonseca、S.Muöller和P.Pedregal，《梯度产生的浓度和振荡效应分析》，SIAM J.Math。分析。，29（1998），第736-756页·Zbl 0920.49009号 [94] M.Foss和N.Randriampiry，{它是一些二维的（mathcal{A}）-拟仿射函数}，Contemp。数学。，514（2010），第133-141页·Zbl 1222.49018号 [95] G.Francfort和A.Mielke，{一类具有非凸弹性能的速率相关材料模型的存在性结果}，J.Reine Angew。数学。，595（2006），第55-91页·Zbl 1101.74015号 [96] M.Freímond，{非光滑热力学}，柏林斯普林格出版社，2002年·兹比尔0990.80001 [97] M.Freímond和S.Miyazaki，《形状记忆合金》，施普林格，维也纳，1996年。 [98] E.Fried和M.E.Gurtin，应用于小长度尺度液体流动的非简单材料的牵引、平衡和边界条件，Arch。定额。机械。分析。，182（2006），第513-554页·Zbl 1104.74006号 [99] M.Friedrich和B.Schmidt，《从原子论模型到连续体理论过渡过程中的晶体分裂分析》，Arch。定额。机械。分析。，217（2015），第263-308页·Zbl 1329.82025号 [100] G.Friesecke、R.D.James和S.Muöller，{it由Gamma-convergence}的非线性弹性导出的板模型层次，Arch。定额。机械。分析。，180（2006），第183-236页·Zbl 1100.74039号 [101] N.Fusco，{每个积分的准conversia e semicondinuita乘子高级}，Ricerche Mat.，29（1980），第307-323页·Zbl 0508.49012号 [102] N.Fusco和J.E.Hutchinson，{多凸泛函下半连续性的直接证明}，手稿数学。，85（1995），第35-50页·Zbl 0874.49015号 [103] M.Giaquinta、G.Modica和J.Souček，{笛卡尔流，弱微分和非线性弹性存在定理}，Arch。定额。机械。分析。，106（1989），第97-159页·Zbl 0677.73014号 [104] A.Gloria、S.Neukam和F.Otto，{随机均匀化中遍历性的量化：通过Glauber动力学上的谱间隙的最优界}，发明。数学。，199（2015），第455-515页·Zbl 1314.39020号 [105] P.Goldstein和P.Hajłasz，{it几乎处处具有雅可比等式（-1）的立方体的保持测度和方向的同胚}，Arch。定额。机械。分析。，225（2017），第65-88页·Zbl 1456.37002号 [106] S.Govindjee、A.Mielke、G.J.Hall和C.Miehe，{使用准凸分析的（n）变量马氏体相变的混合自由能}，J.Mech。物理学。固体，50（2002），第1897-1922页·兹比尔1116.74399 [107] Y.Grabovsky，{从复合材料的微观结构依赖公式到秩一凸、非拟凸函数}，Arch。定额。机械。分析。，出现·Zbl 1387.74096号 [108] Y.Grabovsky和T.Mengesha，{变分法中强局部极小问题的直接方法}，《计算变量偏微分方程》，29（2007），第59-83页·Zbl 1112.49015号 [109] Y.Grabovsky和T.Mengesha，{强局部极小的充分条件：（C^1）极值}的情形，Trans。阿默尔。数学。Soc.，361（2009），第1495-1541页·Zbl 1157.49027号 [110] L.Greco、T.Iwaniec和U.Subramanian，《雅可比收敛的另一种方法》，伊利诺伊州数学杂志。，47（2003），第815-830页·Zbl 1060.46023号 [111] A.E.Green和R.S.Rivlin，《多极连续介质力学：泛函理论》I，Proc。R.Soc.序列。A、 284（1965），第303-324页。 [112] M.L.Gromov，{微分关系的凸积分}，数学。苏联伊兹夫。，7（1973），第329-343页·Zbl 0281.58004号 [113] M.Guidorzi和L.Poggiolini，{高阶拟凸积分的下半连续性}，非线性微分方程应用。，6（1999年），第227-246页·Zbl 0930.35059号 [114] M.E.Gurtin，《连续介质力学导论》，学术出版社，圣地亚哥，1982年·Zbl 0559.73001号 [115] M.Gurtin、E.Fried和L.Anand，《连续统的力学和热力学》，剑桥大学出版社，英国剑桥，2010年。 [116] P.R.Halmos，《测量理论》，D.van Nostrand，纽约，1950年·Zbl 0040.16802号 [117] T.Healey和S.Kro¨mer，{二阶非线性弹性力学中的注入弱解}，ESAIM Control。最佳方案。Calc.Var.，15（2009），第863-871页·Zbl 1175.74017号 [118] D.Henao、C.Mora-Coral和X.Xu，非线性弹性断裂和空化的{it\（Γ）-收敛近似}，Arch。定额。机械。分析。，216（2015），第813-879页·Zbl 1457.35081号 [119] S.Hencl和P.Koskela，{有限变形映射讲座}，Springer，Cham，2014年·Zbl 1293.30051号 [120] S.Hencl和J.Malyí，{索波列夫同胚的雅可比矩阵}，《计算变量偏微分方程》，38（2010），第233-242页·Zbl 1198.26016号 [121] S.Hencl和C.Mora-Corral，{平面}中连续几乎处处内射Sobolev变形的微分近似，Quart。数学杂志。，66（2015），第1055-1062页·兹比尔1331.41022 [122] S.Hencl、G.Moscariello、A.Passarelli di Napoli和C.Sbordone，｛\it Bi-Sobolev映射和平面中的椭圆方程｝，J.Math。分析。申请。，355（2009），第22-32页·Zbl 1169.30007号 [123] S.Hencl和A.Pratelli，（W^{1,1}）平面Sobolev同胚的{微分近似}，欧洲数学杂志。Soc.，出现·Zbl 1393.26013号 [124] P.Hornung，S.Neukamm，和I.Velčicí，{从三维弹性推导均质非线性板理论}，计算变量偏微分方程，51（2014），第677-699页·Zbl 1327.35018号 [125] T.Iwaniec，{Sobolev空间和拟共形映射}中的极值不等式，Z.Ana。安文德。，1（1982），第1-16页·Zbl 0577.46038号 [126] T.Iwaniec，{（R^n）}中的非线性Cauchy-Riemann算子，Trans。阿默尔。数学。Soc.，354（2002），第1961-1995页·兹比尔1113.35068 [127] T.Iwaniec、L.V.Kovalev和J.Onninen，《Sobolev同胚的微分近似》，Arch。定额。机械。分析。，201（2011），第1047-1067页·Zbl 1260.46023号 [128] J.Jani、M.Leary、A.Subic和M.Gibson，《形状记忆合金研究、应用和机遇综述》，材料与设计，56（2014），第1078-1113页。 [129] V.V.Jikov、S.M.Kozlov和O.A.Olejnik，《微分算子和积分泛函的均匀化》，施普林格，柏林，1994年·Zbl 0838.35001号 [130] A.Kałamajska，{关于多重积分的下半连续性}，Colloq.Math。，74（1997），第71-78页·Zbl 0893.4909号 [131] A.Kałamajska、S.Krǒmer和M.Kruz \780]i \780,k，{边界处零拉格朗日函数的序列弱连续性}，《计算变量偏微分方程》，49（2014），第1263-1278页·Zbl 1333.49028号 [132] A.Kałamajska和M.Kruži⁄k，{梯度序列中的振荡和浓度}，ESAIM控制。最佳方案。计算变量，14（2008），第71-104页·Zbl 1140.49009号 [133] D.Kinderlehrer和P.Pedregal，{梯度生成的Young测度的表征}，Arch。定额。机械。分析。，115（1991），第329-365页·Zbl 0754.49020号 [134] D.Kinderlehrer和P.Pedregal，{被积函数的弱收敛性和Young测度表示}，SIAM J.Math。分析。，23（1992），第1-19页·Zbl 0757.49014号 [135] D.Kinderlehrer和P.Pedregal，{Sobolev空间序列生成的梯度Young测度}，J.Geom。分析。，4（1994），第59-90页·Zbl 0808.46046号 [136] R.V.Kohn，{双阱能量的弛豫}，Contin。机械。Thermodyn公司。3（1991），第193-236页·兹比尔0825.73029 [137] R.V.Kohn和D.Strang，{变分问题的优化设计和松弛。}I，Comm.Pure Appl。数学。，39（1986），第113-137页·Zbl 0609.49008号 [138] R.V.Kohn和D.Strang，{变分问题的优化设计和松弛。}II，Comm.Pure Appl。数学。，39（1986），第139-182页·Zbl 0621.49008号 [139] R.V.Kohn和D.Strang，{变分问题的优化设计和松弛。}III，Comm.Pure Appl。数学。，39（1986），第353-377页·Zbl 0694.49004号 [140] D.J.Korteweg，{\it Sur la forme que prennent les eéquations du mouvement des fuides si loñn tter compte des forces capillaires cause©es par des variations de densiteкconsideкrables mais continues et Sur la theorie de la capillatiteкdans l'surèse D'une variation continued de la densiteа}，Arch。奈尔。科学。《精确自然》，6（1901），第1-24页。 [141] K.Koumatos、F.Rindler和E.Wiedemann，｛\it Orientation preserving Young measures｝，夸特。数学杂志。，67（2016），第439-466页·Zbl 1352.49012号 [142] K.Koumatos、F.Rindler和E.Wiedemann，《微分包含和涉及规定Jacobians的Young测度》，SIAM J.Math。分析。，47（2015），第1169-1195页·Zbl 1327.49024号 [143] J.Kraömer、S.Kro¨mer，M.Kružiák和G.Pathoí，{\it\（\mathcal{A}）-积分泛函边界的拟凸性和弱下半连续性}，高级计算变量，10（2017），第49-67页·Zbl 1366.49014号 [144] J.Kristensen，{由Sobolev函数梯度生成的有限泛函和Young测度}，Mat-report 1994-34，数学。丹麦技术大学研究所，1994年。 [145] J.Kristensen，{弱可微函数空间中的下半连续性}，数学。《年鉴》，313（1999），第653-710页·Zbl 0924.49012号 [146] J.Kristensen，{关于拟凸性的非局部性}，Ann.Inst.H.PoincareíAnal。《非线形》，16（1999），第1-13页·Zbl 0932.49015号 [147] J.Kristensen和F.Rindler，（W^{1,1}）和（BV）}序列生成的广义梯度Young测度的表征，Arch。定额。机械。分析。，197（2010），第539-598页；勘误表，203（2012），第693-700页·Zbl 1245.49060号 [148] J.Kristensen和F.Rindler，《BV}中符号积分泛函的松弛》，《计算变量偏微分方程》，37（2010），第29-62页·Zbl 1189.49018号 [149] S.Kro¨mer，{关于下界在多重积分弱下半连续性表征中的作用}，高级计算变量，3（2010），第378-408页·Zbl 1200.49012号 [150] M.Kružík，双井问题的数值方法，SIAM J.Numer。分析。，35（1998），第1833-1849页·Zbl 0929.49016号 [151] M.Kružik，{\it关于拟凸函数的合成与转置}，J.凸分析。，6（1999），第207-213页·Zbl 0944.49011号 [152] M.Kružik，{边界处的准凸性和梯度产生的浓度效应}，ESAIM Control。最佳方案。计算变量，19（2013），第679-700页·Zbl 1277.49014号 [153] M.Kružik和M.Luskin，{《分段层板马氏体微观结构的计算》}，J.Sci。计算。，19（2003年），第293-308页·Zbl 1039.74039号 [154] M.Kruz®i®k和T.Roubi®c®ek，{（L^p\）-Young测度的显式表征}，J.Math。分析。申请。，198（1996），第830-843页·兹比尔0876.49039 [155] N.Kuiper，{\it On\（C^1）等轴测嵌入}I，Proc。科恩。阿卡德。潮湿。阿姆斯特丹A，58（1955），第545-556页·Zbl 0067.39601号 [156] N.Kuiper，{\it On\（C^1）等轴测嵌入}II，Proc。科恩。阿卡德。潮湿。阿姆斯特丹A，58（1955），第683-689页·Zbl 0067.39601号 [157] G.Lazzaroni、M.Palombaro和A.Schlo¨merkemper{\it纳米线异质结构中位错的离散到连续分析}，Comm.Math。科学。，13（2015），第1105-1133页·Zbl 1327.74034号 [158] H.LeDret和A.Raoult，《圣维南-基尔霍夫储能函数的拟凸包络》，Proc。罗伊。Soc.爱丁堡教派。A、 125（1995），第1179-1192页·Zbl 0843.73016号 [159] H.LeDret和A.Raoult，{非线性弹性中的膜壳模型：变分渐近推导}，J.非线性科学。，6（1996），第59-84页·Zbl 0844.73045号 [160] H.LeDret和A.Raoult，{相对于应变张量}为凸的储存能量密度的准凸包络，载于《变分计算、应用和计算》（Pont-Aí-Mousson，1994），C.Bandle、J.Bemelmans、M.Chipot、J.Saint Jean Paulin和I.Shafrir，eds.，Pitman Res.Notes Math。序列号。326，朗曼科学。英国哈洛理工学院，1995年，第138-146页·Zbl 0830.73012号 [161] O.Lehto，{关于拟共形映射导数可积性的注记}，Ann.Acad。科学。芬恩。AI数学系列。，371（1965），第1-8页·兹伯利0137.05503 [162] G.Leoni，《索博列夫空间的第一门课程》，AMS，普罗维登斯，RI，2009年·Zbl 1180.46001号 [163] P.Lin，{无表面牵引弹性体的熵最大化}，Arch。定额。机械。分析。，112（1990年），第161-191页·Zbl 0709.73004号 [164] M.Luskin，{关于晶体微观结构的计算}，Acta Numer。，5（1996），第191-257页·Zbl 0867.65033号 [165] M.Luskin和C.Ortner，{原子-连续体耦合}，《数值学报》。，22（2013），第397-508页·Zbl 1464.74007号 [166] P.Marcellini，{二维拟凸二次型}，应用。数学。最佳。，11（1984），第183-189页·兹比尔0567.49007 [167] P.Marcellini，{拟凸函数的逼近与多重积分的下半连续}，Manuscripta Math。，51（1985），第1-28页·Zbl 0573.49010号 [168] P.Marcellini和C.Sbordone，{变分法中的半连续性问题}，非线性分析。，4（1980年），第241-257页·Zbl 0537.49002号 [169] R.J.Martin、I.D.Ghiba和P.Neff，{秩一凸性意味着二维情况下各向同性、客观和等容弹性能量的多凸性}，Proc。罗伊。Soc.爱丁堡教派。A、 147（2017），第571-597页·Zbl 1369.74016号 [170] K.Messaoudi和G.Michaille，{非凸积分泛函的随机均匀化}，RAIRO模型。数学。分析。数字。，28（1994年），第329-356页·Zbl 0818.60029号 [171] N.G.Meyers，{任意阶多重积分的拟凸性和下半连续性}，Trans。阿默尔。数学。《社会学杂志》，119（1965），第125-149页·Zbl 0166.38501号 [172] A.Mielke和T.Roubiíček，《速率独立系统：理论与应用》，纽约斯普林格出版社，2015年·Zbl 1339.35006号 [173] A.Mielke、T.Roubiček和U.Stefanelli，速率相关进化问题的{极限和松弛}，《计算变量偏微分方程》，31（2008），第387-416页·Zbl 1302.49013号 [174] A.Mielke和P.Sprenger，{边界的拟凸性和Agmon条件的简单变分公式}，J.Elasticity，51（1998），第23-41页·Zbl 0922.73077号 [175] 莫迪卡，{相变梯度理论与最小界面准则}，Arch。定额。机械。分析。，98（1987），第123-142页·兹比尔0616.76004 [176] L.Modica和S.Mortola，{it Un esempio di（Γ）-收敛}，波尔。联合国。材料意大利语。B、 5（1977年），第285-299页·兹比尔0356.49008 [177] C.Mora-Corral和A.Pratelli，{通过微分同胚逼近分段仿射同胚}，J.Geom。分析。，24（2014），第1398-1424页·Zbl 1300.41014号 [178] C.B.Morrey，{多重积分的拟凸性和下半连续性}，太平洋数学杂志。，2（1952年），第25-53页·Zbl 0046.10803号 [179] C.B.Morrey，{变分法中的多重积分}，施普林格，柏林，1966年·Zbl 0142.38701号 [180] S.Muöller，{\it具有正行列式}的映射的一个令人惊讶的更高可积性，Bull。阿默尔。数学。Soc.（N.S.），21（1989），第245-248页·兹比尔0689.49006 [181] S.Muöller，{（L^1）}中行列式的高可积性和弱收敛性，J.Reine Angew。数学。，412（1990年），第20-34页·Zbl 0713.49004号 [182] S.Muöller，{\it Det=Det.关于分配行列式}的一点注记，C.R.Acad。巴黎塞拉教堂。我数学。，311（1990），第3-17页·Zbl 0717.46033号 [183] S.Muöller，{奇异摄动作为周期极小化序列的选择准则}，《计算变量》，1（1993），第169-204页·Zbl 0821.49015号 [184] S.Muöller，{微观结构和相变的变分模型}，《变分法和几何演化问题》（Cetraro，1996），数学课堂讲稿。1713年，柏林施普林格出版社，1999年，第85-210页·Zbl 0968.74050号 [185] S.Muöller，{秩一凸性意味着对角矩阵}上的拟凸性，Internat。数学。Res.Notices，20（1999），第1087-1095页·Zbl 1055.49506号 [186] S.Muöller，{it拟凸性在转置}下不不变，Proc。罗伊。Soc.爱丁堡教派。A、 130（2000），第389-395页·Zbl 0980.49017号 [187] S.Muöller和V.Šveraík，《Lipschitz映射的{凸积分和正则性反例}》，《数学年鉴》。（2） 第157页（2003年），第715-742页·Zbl 1083.35032号 [188] J.Nash，{\it\（C^1）等轴测嵌入}，《数学年鉴》。（2） ，60（1954），第383-396页·兹比尔0058.37703 [189] P.J.Olver，{守恒定律和零发散}，数学。程序。外倾角。Phil.Soc.，94（1983），第529-540页·Zbl 0556.35021号 [190] P.J.Olver和J.Sivaloganathan，《零拉格朗日函数的结构》，《非线性》，第1期（1988年），第389-398页·Zbl 0662.49016号 [191] P.Pedregal，{参数化测量和变分原理}，Birkhauser，巴塞尔，1997年·Zbl 0879.49017号 [192] A.Pietsch，{巴拿赫空间和线性算子的历史}，Birkha¨user，波士顿，2007年·兹比尔1121.46002 [193] A.C.Pipkin，{具有两种首选状态的弹性材料}，夸脱。J.机械。申请。数学。，44（1991），第1-15页·Zbl 0735.73032号 [194] M.Pitteri和G.Zanzotto，《晶体相变和孪生的连续模型》，查普曼和霍尔，佛罗里达州博卡拉顿，2003年·兹比尔1019.80001 [195] P.Podio-Guidugli和G.V.Caffareli，{弹性中的表面相互作用势}，Arch。定额。机械。分析。，109（1990），第343-383页·Zbl 0713.73023号 [196] P.Podio-Guidugli和M.Vianello，《超牵引和超应力传递相同的力学信息》，Contin。机械。热电偶。，22（2010年），第163-176页·Zbl 1257.74003号 [197] A.Pratelli，{论双悬浮平面同胚及其近似}，非线性分析。，154（2017），第258-268页·Zbl 1372.46029号 [198] A.Raoult，{非线性弹性中的拟凸包络}，《CISM应用力学中的多、准和秩一凸性课程论文集》，J.Schro¨der和P.Neff编辑，施普林格，维也纳，2010年，第17-51页。 [199] Y.G.Reshetnyak，{关于多维空间中保角映射的稳定性}，西伯利亚数学。J.，8（1967），第69-85页·Zbl 0172.37801号 [200] Y.G.Reshetnyak，{广义导数和a.e.可微性}，Mat.Sb.，75（1968），pp.323-334（俄语）·Zbl 0165.47202号 [201] F.Rindler，{通过刚性和Young测度的有界变形函数空间中积分泛函的下半连续性}，Arch。定额。机械。分析。，202（2011），第63-113页·Zbl 1258.49014号 [202] R.T.Rockafellar和R.J.-B.Wets，{变分分析}，施普林格，柏林，1998年·Zbl 0888.49001号 [203] T.Roubiíček，《优化理论和变分演算中的{\it松弛法}》，W.de Gruyter，柏林，1997年·Zbl 0880.49002号 [204] T.Roubiíček，{非线性偏微分方程及其应用}，第二版，Birkha¨user，巴塞尔，2013年·Zbl 1270.35005号 [205] W.Rudin，{功能分析}，McGraw-Hill，纽约，1973年·Zbl 0253.46001号 [206] P.Rybka和M.Luskin，｛\it磁致伸缩材料能量最小化器的存在性｝，SIAM J.Math。分析。，36（2005），第2004-2019页·Zbl 1086.49014号 [207] P.M.Santos和E.Zappale，{薄结构的二阶分析}，非线性分析。，56（2004），第679-713页·Zbl 1044.49014号 [208] M.Scha¨ffner和A.Schlo¨merkemper，{关于拟连续介质方法的Γ-收敛性分析}，多尺度模型。模拟。，13（2015），第132-172页。 [209] V.Scheffer，{时空中具有紧凑支撑的无粘流}，J.Geom。分析。，3（1993），第343-401页·Zbl 0836.76017号 [210] M.E.Schonbek，{非线性色散方程解的收敛}，《Comm.偏微分方程》，7（1982），第959-1000页·Zbl 0496.35058号 [211] J.Schroóder和P.Neff，{基于多凸自由能函数的超弹性横观各向同性不变量公式}，国际。《固体结构杂志》，40（2003），第401-445页·兹比尔1033.74005 [212] J.Schroóder、P.Neff和D.Balzani，《材料稳定各向异性超弹性的变分方法》，国际。《固体结构杂志》，42（2005），第4352-4371页·Zbl 1119.74321号 [213] J.Schroöder，P.Neff和V.Ebbing，{基于晶体激发结构张量的各向异性多凸面能量}，J.Mech。物理学。《固体》，56（2008），第3486-3506页·Zbl 1171.74356号 [214] D.Serre，{it Formes quadriques et calculate des variations}，《数学杂志》。Pures应用。，62（1983年），第177-196页·Zbl 0529.49005号 [215] J.Serrin，{\关于某些变分积分的定义和性质}，Trans。阿默尔。数学。《社会学杂志》，101（1961），第139-167页·Zbl 0102.04601号 [216] A.Shnirelman，{关于欧拉方程弱解的非一致性}，Comm.Pure Appl。数学。，50（1997），第1261-1286页·Zbl 0909.35109号 [217] V.P.Smyshlyaev和J.R.Willis，《论三阱能量的弛豫》，R.Soc.Lond。程序。序列号。数学。物理学。工程科学。，455（1999），第779-814页·Zbl 0960.74027号 [218] E.N.Spadaro，{严格多凸泛函极小化子的非唯一性}，Arch。定额。机械。分析。，193（2009），第659-678页·Zbl 1170.49032号 [219] P.Sprenger，{it Quasikonvexita¨t am Rande und Null-Lagrange-Funktionen in der nichtkonvexen Variationsrechnung}，汉诺威大学博士论文，1996年·Zbl 0896.49012号 [220] E.M.Stein，《奇异积分与函数的可微性》，普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，1970年·兹伯利0207.13501 [221] M.Šilhavyí，{非简单体中的相变}，Arch。定额。机械。分析。，88（1985），第135-161页·Zbl 0624.73007号 [222] M.Šilhavyí，{\it连续介质的力学和热力学}，《物理学文本和专著》，施普林格，柏林，1997年·Zbl 0870.73004号 [223] M.Šilhavyí，{界面能相变：界面零拉格朗日、多凸性和存在}，载于IUTAM变分概念与材料力学应用研讨会，K.Hackl，ed.，IUTAM Bookser。21，施普林格出版社，荷兰，2010年，第233-244页。 [224] M.Šilhavyí，{界面能相平衡：变分法}，《弹性力学杂志》，105（2011），第271-303页·Zbl 1290.74032号 [225] M.Šilhavyć，{非线性电磁弹性的变分方法：凸性条件和存在定理}，印前35-2016，捷克共和国ASCR数学研究所，2016。 [226] P.Suquet，{\it Existence et regulariteкdes solutions des eкquations de la plasticiteкparfaite}，C.R.Acad。科学。巴黎塞拉。A-B，286（1978），第A1201-A1204页·Zbl 0378.35057号 [227] V.Šveraík，{有限能量变形的正则性}，Arch。定额。机械。分析。，100（1988年），第105-127页·Zbl 0659.73038号 [228] V.Šveraík，{它的秩一凸性并不意味着拟凸性}，Proc。R.Soc.爱丁堡教派。A、 120（1992），第185-189页·Zbl 0777.49015号 [229] L.Tartar，{补偿紧性及其在偏微分方程中的应用}，《非线性分析与力学》，R.J.Knops主编，Heriott-Watt专题讨论会IV，Pitman Res.数学笔记。39，皮特曼，波士顿，1979年，第136-212页·兹伯利0437.35004 [230] L.Tartar，《研究振荡和浓度的数学工具：从Young测度到（H）测度及其变体》，《科学与技术多尺度问题》。数学分析和观点的挑战，N.Antonič等人编辑，《科学和技术多尺度问题会议论文集》（克罗地亚杜布罗夫尼克，2000年），柏林斯普林格，2002年，第1-84页·Zbl 1015.35001号 [231] R.Temam和G.Strang，{有界变形函数}，拱比。机械。分析。，75（1980），第7-21页·Zbl 0472.73031号 [232] F.J.Terpstra，{it Die Darstellung biquadratischer Formen als Summen von Quadraten mit Anwendung auf Die Variationsrechnung}，数学。《年鉴》，116（1938），第166-180页·Zbl 0019.35203号 [233] L.Tonelli，{it La semictinuita nel calcolo delle variazioni}，伦德。循环。马特姆·巴勒莫，44（1920），第167-249页。 [234] R.A.Toupin，{具有偶应力的弹性材料}，Arch。定额。机械。分析。，11（1962年），第385-414页·兹伯利0112.16805 [235] P.Tukia，Lipschitz映射的平面Schoênflies定理，Ann.Acad。科学。芬恩。序列号。A I数学。，5（1980年），第49-72页·Zbl 0411.57015号 [236] L.Van Hove，{关于Legendre du Calcul des Variations辅助积分乘以plusieurs函数inconues}条件的扩展，Nederl.Akad。韦滕施。，50（1947），第18-23页·Zbl 0029.26802号 [237] J.Wehausen，{线性拓扑空间中的变换}，杜克数学。J.，4（1938），第157-169页。 [238] L.C.Young，{广义曲线与变分法中达到的绝对极小值的存在性}，C.R.社会科学。莱特。Varsovie Classe III，30（1937），第212-234页·Zbl 0019.21901号 [239] 张凯（K.Zhang），《雅可比定理及其应用》，《国际水文计划年鉴》第C卷第7期（1990年），第345-365页·兹比尔0717.49012 [240] J.Zimmer，{晶体相变的存储能量函数}，Arch。定额。机械。分析。，172（2004），第191-212页·Zbl 1063.74076号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。