不规则素数
Prime Pages保留了5000个最大的已知素数，再加上一些选定的存档形式和类。这些表单是在此集合的主页中定义的。
本页是关于这些表单之一的。
定义和注释
[大卫·布罗德赫斯特，2001年11月29日]
1847年，加布里埃尔·拉梅（Gabriel Lame，1795-1870）在巴黎的科学学院（l'Academie des Sciences）做了一次演讲，他声称已经证明了费马最后定理约瑟夫·刘维尔（1809-1882）站起来反对。他指出，拉梅错误地认为独特的$p$-分圆整数环中的因式分解，由$\exp（2\pii/p）$生成首要的$p$。
然而，从这次事故中，我们得到了一些真正有价值的东西。恩斯特·爱德华·库默（Ernst Eduard Kummer，1810-1893）已经研究了分圆域中唯一因式分解的失败，并很快形成了理想理论，该理论后来得到了发展朱利叶斯·威廉·理查德·德德金（1831-1916）。库默能够证明费马所有素数指数的最后一个定理这是“常规”。
质数$p$是不规则的当且仅当$p$划分$\exp（2\pi i/p）生成的分圆字段的类号。$A类正则素数是一个不规则的。
等价但更方便的是，当且仅当$p$除以伯努利数$B（2n）$与$2n+1页$
伯努利数是从泰勒系数$$\frac{x}{exp（x）-1}=\sum_{k\ge0}{\frac{B（k）x^k}{k！}}$$
由此得出$B（2n+1）=$n\gt0的0$$
非平凡分子大于$n$的第一个伯努利数$B（2n）$是B（12）=-691/2730，由此得出691是一个不规则素数最小的不规则素数是37，它除以B（32）的分子=-7709321041217/510。
通过分析所有到$B（2n）的伯努利数，$one可以找到所有到$2n+3的不规则素数$
到1874年，Kummer能够证明Fermat的最后一个定理，适用于所有小于165的奇数素数指数，但8个除外不规则素数
第页= 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157
将$B（n）的分子$除以新美元=32、44、58、68、24、22、130、62
分别是。此外，157除以B（110）的分子，以及B（62）的，因此被分配一个不规则指数第页，共2页。注意，要确定可分性，我们不需要计算这些伯努利数的大分子；模运算就足够了。
1857年，Kummer在一次他还没有参加的比赛。科学学院一直保留着这个奖项，希望有充分的证据费马最后一个定理。人们可以推测库默的分析表明，他们面临的挑战太艰巨因此，他们选择他的作品作为次佳作品。
库默希望不规则素数的数量可以是有限的。1915年，延森反驳了这一观点。一个简单的证明不规则素数是无限的数量，依据相反的矛盾，在[Carlitz1954年]. 具有讽刺意味的是，目前还不知道素数是无限的，尽管两者都有启发式的论点[Siegel1964年]以及广泛的经验证据[瓦格斯塔夫78]以支持猜想正则素数包含渐近比例e-1/2, 约占所有素数的60.65%，其中约39.35%为因此不规则。
不规则素数已被枚举，直至递增极限，英寸[约翰逊1974], [约翰逊1975], [瓦格斯塔夫78],[TW1987型], [BCS1992年], [BCEM1993年], [BCEMS2000公司]，随着增加模运算的效率。最近的这些工作减少了所有不规则素数的确定超过12000000。
塞缪尔·瓦格斯塔夫（Samuel Wagstaff）发现了多种较大的不规则形状素数，通过将一些伯努利数分解到B（300）。例如，可以在中找到http://www.cerias.purdue.edu/home/ssw/bernoulli/enum322位不规则素数
2*3*B（298）/（149*26113*223529*37147226379553589766634977803）。
最近，我开始寻找钛的不规则素数，至少有1000个十进制数字，很快发现以下8个实例：
2*3*B（674）/337
-2*3*5*17*173*B（688）/（43*33617*1323797*465776197109）
2*3*B（734）/（157*367*6547*75401119*170508089）
2*3*59*B（754）/（13*29*883462452530494157）
2*3*23*B（814）/（11*37*69803353*335055893*351085907*520460183*30348030379*17043083582983）
-2*3*5*17*107*B（848）/（53*1789*4519*5051145078213134269）
-2*3*5*1229*B（1228）/（307*3399696012787）
-2*3*5*7*13*619*1237*B（1236）/（103*939551962476779*157517441360851951）
所有这些都被马赛尔·马丁的Primo证明是最好的最大的有2276位小数。
Bouk de Water和我继续进行ECM分解对伯努利数直到B的分子的尝试（2000），寻找泰坦尼克号不规则质点
-2*3*5*23*B（748）/（11*17*3853*138192830377045750339532383）
和以下四个可能素数,2*3*107*B（1802）/（17*53*17448089）
-2*3*5*7*13*19*37*103*109*307*613*919*B（1836）/（17*3517*3927024469727）
2*3*11*23*1871*B（1870）/（5*17）-2*3*5*7*13*B（1884）/（157*3697*173981）
这些PrP中最小的一个有3641位数字；最大的有3844位数。这四个都是可行的证明目标ECPP公司.
我感谢理查德·克兰德尔的建议。历史信息是从各种各样的网站上搜集到的。保罗·里本博伊姆的《新书质数记录”[里宾博伊姆95]提供了大多数附加的参考资料。我有除了这九本书的第二本和最后一本之外，我都能读论文。
记录此类底漆
| 等级 | 首要的 |
数字 | 谁 | 什么时候 | 评论 |
|---|
| 1 | - 30 · 伯尔尼（10264）/262578313564364605963 |
28506 |
c94号 |
2021年5月 |
不规则，ECPP |
| 2 | 546351925018076058 · 伯尔尼（9702）/129255048976106804786904258800518941 |
26709 |
c77 |
2021年1月 |
不规则，ECPP |
| 三 | 798 · 伯尔尼（8766）/14670751334144820770719 |
23743 |
c94 |
2021年1月 |
不规则，ECPP |
| 4 | 348054 · 伯尔尼（8286）/1570865077947473903275073668721 |
22234 |
E1级 |
2022年12月 |
不规则，ECPP |
| 5 | 6 · 伯尔尼（5534）/226840561549600012633271691723599339 |
13862 |
c71号机组 |
2014年2月 |
不规则，ECPP |
| 6 | 4410546 · 伯尔尼（5526）/9712202742835546740714595866405369616019 |
13840 |
c63码 |
2018年4月 |
不规则，ECPP |
| 7 | 6 · 伯尔尼（5462）/2323802668982614152809832227 |
13657 |
c64码 |
2013年5月 |
不规则，ECPP |
| 8 | 6·伯尔尼（5078）/643283455240626084534218914061 |
12533 |
c63码 |
2013年5月 |
不规则，ECPP |
| 9 | 1258566 · 伯尔尼（4462）/6610083971965402783802518108033 |
10763 |
c64码 |
2013年3月 |
不规则，ECPP |
| 10 | 6 · 伯尔尼（4306）/2153 |
10342 |
FE8公司 |
2009年4月 |
不规则，ECPP |
| 11 | 6 · 伯尔尼（3458）/2832908458475827878770932715893606309 |
7945 |
c8级 |
2013年2月 |
不规则，ECPP |
| 12 | - 30 · 伯尔尼（3176）/668969310005687298938683\
37398130897205591897362591275370617658634396391181 |
7138 |
c63码 |
2016年11月 |
不规则，ECPP |
| 13 | - 10365630 · 伯尔尼（3100）/16703661161128644816\
99585217650438278080436881373643007997602585219667 |
6943 |
c63码 |
2016年9月 |
不规则ECPP |
| 14 | 6 · 伯尔尼（2974）/19622040971147542470479091157507 |
6637 |
c8级 |
2013年2月 |
不规则，ECPP |
| 15 | 274386 · 伯尔尼（2622）/851859488241540115789106256276973722693 |
5701 |
c8级 |
2013年2月 |
不规则，ECPP |
| 16 | - 30·伯尔尼（2504）/12482300903152335602406\
37343822165241758149026675581438903418303340323897 |
5354 |
c63码 |
2013年2月 |
不规则ECPP |
| 17 | 33957462 · 伯尔尼（2370）/40685 |
5083 |
c11号机组 |
2003年6月 |
不规则，ECPP |
| 18 | 276474 · 伯尔尼（2030）/469951697500688159155 |
4200 |
c8级 |
2003年12月 |
不规则，ECPP |
| 19 | - 2730 · 伯尔尼（1884）/100983617849 |
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c8级 |
2003年11月 |
不规则，ECPP |
| 20 | 2840178 · 伯尔尼（1870）/85 |
3821 |
c8级 |
2003年12月 |
不规则，ECPP |
|
工具书类
- BCEM1993年
- J.布勒,R.克兰德尔,R.Ernvall先生和T.Metsänkylä，“不规则素数和四百万分圆不变量，”数学。公司。,61:203 (1993) 151--153. MR 93k:11014
- BCEMS2000公司
- J.布勒,R.克兰德尔,R.Ernvall先生,T.梅桑基拉和M.Shokrollahi先生，“不规则素数和1200万分圆不变量，”J.符号计算。,31:1--2 (2001) 89--96. MR 2001m:11220
- 1992年10月
- J.P.布勒,R.E.克兰德尔和R.W.Sompolski先生“不规则素数达到一百万，”数学。公司。,59:200 (1992) 717--722. MR 93a:11106
- 2011年必和必拓
- 布勒，J.P。和D.哈维。“不规则素数达到1.63亿，”数学。公司。,80:276 (2011) 2435--2444. (http://dx.doi.org/10.1090/S0025-5718-2011-02461-0)2813369材料
- Carlitz 1954年
- L.Carlitz先生，“关于不规则素数的注记，”程序。阿默尔。数学。Soc公司。,5(1954) 329--331. 15778b号MR
- 约翰逊1974
- W.约翰逊，“伯努利数的不规则素因子”数学。公司。,28(1974) 653--657. 50:229先生
- 约翰逊1975
- W.约翰逊，“不规则素数和分圆不变量”数学。公司。,29(1975) 113--120. 材料报告51:12781
- 里宾博伊姆95
- P.里宾博伊姆,素数记录新书第三版，Springer-Verlag，纽约州纽约市，1995年。第xxiv+541页，ISBN 0-387-94457-5。MR 96k:111112 [对于一些大学数学专业的学生来说，这是一个极好的资源。基本上是一本吉尼斯世界纪录，记录了很多相关数学的素数。广泛的参考书目有75页。]
- Siegel1964年
- C.L.西格尔“Zu zwei Bemerkungken Kummers”纳克里斯。阿卡德。d.威斯。戈廷根，数学。物理学。肯尼亚。,二(1964) 51--62.
- TW1987型
- J.W.坦纳和小S.S.Wagstaff。，“伯努利数的新同余，”数学。公司。,48(1987) 341--350. MR 87m:11017
- 瓦格斯塔夫78
- 小瓦格斯塔夫，S.S。，“不规则素数为125000，”数学。公司。,32(1978) 583-591. MR 58:10711（材料报告） [库默能够证明FLT对于正则素数是正确的。]
- 华盛顿82
- L.华盛顿,分圆域简介《数学研究生教材》第83卷，施普林格-弗拉格出版社，1982年。纽约州纽约市，第xi+389页，ISBN 0-387-90622-3。（有一个更高版本）。 MR 85克：11001
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