已知最大的黄金年：简史

作者：Chris Caldwell

这个已知最大素数今天是24862048位梅森首要的282589933-1在中找到2018年12月，但“已知最大的素数”有多大历史？历史上，这些素数是如何被发现的？我们将简要讨论其中的每一项下面的问题。

[向上]目录

  1. 电子计算机之前
    • 表创纪录的最佳年份
  2. 电子计算机时代
    • 图表创纪录的最佳年份
    • 表创纪录的最佳年份
  3. 后记：没有更多预测

[向上]第一部分：之前电子计算机

关于法国僧侣马林·梅塞纳的黄金时期的信息猜想及其错误，查看此链接

许多早期作家认为（错误地）如果第页当时是最好的是M第页=2第页-1.现在这些数字调用了梅森数，是大多数早期大素数搜索的焦点。早期历史在这些数字中，有许多关于首要性的错误主张，即使如此梅森、莱布尼茨和尤勒等名人。因此，我们对我们的第一个有一些疑问的记录保持者：

到1588年，彼得罗·卡塔尔迪已经正确地验证了217-1=131071和219-1=524287都是质数[目录1603]。

但Cataldi也错误地指出了2n个-1也是最好的23、29、31和37中的每一个。这很有趣，因为Cataldi他通过构建香克斯所说的“第一个扩展表”的发现素数-高达750“[柄78，第14页]。这些桌子大到可以显示2个19-1为素数（其平方根为约724），但不足够处理这四个较大的数字！

注：一些作者（例如[Picutti 1989年]和[英国标准96，第309页]）包括素数8191=213-1（1458年前，科迪斯·帕拉蒂诺573）和131071=217-1（1460，Codex Ottb.Lat 3307）。但我们忽略了它们因为当时没有证据证明它们是被证明的素数，而不是只是侥幸的猜测。

1640年，费马表明，如果第页是奇数素数，则所有素数除数第页，共2页第页-我有表格2千帕+1.然后他很快地显示Cataldi在23岁时是错误的k=1)和37（系数223k=3).最后，在1738年，尤勒向卡塔尔迪展示了通过求除数233得出29也是错误的。这里，使用费马公式结果，k=4.这只是第二个尝试使用费马公式的数字结果为k=2和k=3屈服复合材料（所以我猜Fermat也知道这个因素）。注意，Cataldi的错误显示为在Cataldi自己的素数表中找到的小因子，没有一个比两个审判组！

欧拉通过证明给了我们第一个明确的记录（也许除了日期）Cataldi在31岁左右是正确的：

到1772年，欧拉运用了巧妙的推理和审判分工显示231-1=2147483647是质数。

实际日期必须介于1752年10月28日，当时Euler发送了一封信致哥德巴赫[文本从欧拉档案文件]声明他对这个数字不确定（即使他早在1772年[文本]已发布从欧拉到伯努利说他证明了231-通过显示1素数2的所有素数因子31-1必须具有两种形式之一248n个+1和248n个+63，然后除法所有小于46339的素数[迪克森19，第18-19页]。这个要求一个简单定理哪个更强比上面Fermat的结果要好。（Euler列出了2个31-1个素数早在1732年，但他和241-1和247-1两者都是复合的[翻译].)

注：一些作者（例如[英国标准96，第309页]）包括素数999999000001（1851，Looff“发现”）和67280421310721（1855年1月1日，克劳森）。第一个出现在一张桌子上带问号的Looff，但Reuschle[再利用1856,第3页，18页]声称Looff已经证明了它是素数。托马斯·克劳森提供了分解274177·67280421310721，共2个64+在给高斯的信中日期为1855年1月1日，说明这两个因素都是首要因素[贝尔曼1964]。但是它仍然是一个没有方法的主张。

到1867年，兰德里发现了一个更大的素数，这仍然是由试验部门决定的第页，共2页59-1（即（259-1） /179951=3203431780337），此普里姆保持纪录的时间比其他任何人都长不-梅森会（之前或者在他的发现之后）。然而，所有这些努力都将黯然失色通过一个新的数学发现，所以我们停下来总结一下在现代计算机之前记录（我知道的）素数。（长期来看运行，总是由数学决定我们能找到多大的素数。）

表1。电子计算机之前的记录
编号 数字 年份 校准仪
方法
217-1 6 1588 卡塔尔迪 审判庭
219-1 6 1588 卡塔尔迪 审判庭
231-1 10 1772 欧拉 审判庭++
(259-1)/179951 13 1867 兰德里 审判庭++
2127-1 39 1876 卢卡斯 卢卡斯序列
(2148+1)/17 44 1951 费里尔 普罗斯的定理

到1876年，卢卡斯发明了一种聪明的测试方法来确定梅森数是最好的。他的方法较晚制造的Lehmer更简单在20世纪30年代，仍然用于发现记录素数！

1876年，卢卡斯证明了127-1=170141183460469231731687303715884105727是最好的。

“这是1951年之前已知的最大的一次盛会”[HW79型，p16]还有这个75年来的记录可能永远是发现的最大的黄金通过手工计算.

1951年，Ferrier使用了一种基于费马小定理的部分逆命题（参见素数的发现与证明)到稍微通过找到一个44位的素数来改善这个记录：

1951年，费里尔发现了黄金（2148+1)/17= 20988936657440586486151264256610222593863921.

有了这一记录，我们结束了电子计算机之前的时期，因为在这个时期这一年，计算机将创造79位数的新纪录。

注：很难将费里尔的发现归入Miller&Wheeler公司按时间顺序。我们遵循传统的顺序，把费里尔放在第一位，但是有充分的理由对此表示怀疑.

有关更多信息，请参阅数字理论史作者：Leonard迪克森[迪克森19]。

[向上]第二部分：时代电子计算机

1951年，米勒和惠勒开始了电子计算时代通过找到几个素数：

k.M（M）127+1个用于k= 114, 124,388、408、498、696、738、774、780、934和978

以及新的79位数记录：

180（百万127)2+1（此处为M127=2127-1）[MW51型]。

拉斐尔·罗宾逊发现了五个新的梅森明年将使用SWAC（Standards Western Automatic Computer）。这个是罗宾逊写的第一个程序，它运行了第一个是他尝试的时候了！不仅如此，他的程序还发现了两个新的素数记录就在那天！他写作[罗宾逊54]:

该计划于1月份首次在SWAC上试用30，当天发现了两个新素数[M521，男607],6月25日发现了另外三个素数1279]，10月7日[M2203]和10月9日[M2281]。
[令人惊讶的对数（数字）与年份的线性关系图]

有趣的是，1949年，地形学家M。H.A纽曼使用了原型曼彻斯特电子计算机（1024存储位）首次尝试通过计算机找到梅森素数。也许因为艾伦图灵1948年至1950年在这台机器上工作，并改进了程序纽曼首次尝试用（电子）计算机寻找素数有时归因于他（例如[罗宾逊54]和[里宾博伊姆95,第93页]）。优秀的艾伦图灵互联网剪贴簿有这台机器的照片。

我们看到米勒、惠勒和罗宾逊的记录是下图——注意垂直比例！

在接下来的几年里，进展与计算机。Riesel发现M3217使用瑞典BESK机器；Hurwitz找到M4253和M4423使用IBM 7090（请参阅下一段）；吉利斯用ILLIAC-2找到了M9689，男9941和M（M）11213塔克曼发现了M19937使用IBM360。

令人惊讶的是，赫尔维茨知道M4423M之前的秒数4253（因为输出的堆叠方式）。约翰·塞尔弗里奇问：“机器结果需要人类观察才能被称为“发现”？“收件人：赫尔维茨回答说：“忘记了计算机是否知道，如果堆积输出的计算机操作员看了看？“在下表中我决定赫尔维茨在阅读输出时发现了素数，所以M4253是从未是已知的最大素数。

表2。电子计算机记录
编号 数字 年份 机器 校准仪
180（百万127)2+1 79 1951 EDSAC1公司 米勒和惠勒
M（M）521 157 1952 西南航空公司 罗宾逊（1月30日）
M（M）607 183 1952 西南航空公司 罗宾逊（1月30日）
M（M）1279 386 1952 西南航空公司 罗宾逊（6月25日）
M（M）2203 664 1952 西南航空公司 罗宾逊（10月7日）
M（M）2281 687 1952 西南航空公司 罗宾逊（10月9日）
M（M）3217 969 1957 BESK公司 里塞尔
M（M）4423 1,332 1961 IBM7090型 赫尔维茨
M（M）9689 2,917 1963 伊利亚克2 吉利斯
M（M）9941 2,993 1963 伊利亚克2 吉利斯
M（M）11213 3,376 1963 伊利亚克2 吉利斯
M（M）19937 6,002 1971 IBM360/91标准 塔克曼
M（M）21701 6,533 1978 CDC Cyber 174 诺尔&镍
M（M）23209 6,987 1979 CDC Cyber 174 诺尔
M（M）44497 13,395 1979 克雷1 纳尔逊&斯洛文斯基
M（M）86243 25,962 1982 克雷1 斯洛文斯基
M（M）132049 39751个 1983 克雷X-MP 斯洛文斯基
M（M）216091 65,050 1985 克雷X-MP/24 斯洛文斯基
391581·2216193-1 65,087 1989 阿姆达尔1200 Amdahl六
M（M）756839 227,832 1992 克雷-2 斯洛文斯基&量规等(笔记)
M（M）859433 258,716 1994 克雷C90 斯洛文斯基和盖奇
M（M）1257787 378,632 1996 克雷T94 斯洛文斯基和盖奇
M（M）1398269 420,921 1996 奔腾（90兆赫） 阿蒙加德,沃尔特曼等[GIMPS公司]
M（M）2976221 895,932 1997 奔腾（100兆赫） 斯彭斯,沃尔特曼等[GIMPS公司]
M（M）3021377 909,526 1998 奔腾（200兆赫） 克拉克森,沃尔特曼,库洛夫斯基等[GIMPS公司,PrimeNet公司]
M（M）6972593 2,098,960 1999 奔腾（350兆赫） 哈吉拉特瓦拉,Woltman、Kurowski等人[GIMPS、PrimeNet]
M（M）13466917 4,053,946 2001 AMD T-Bird（800兆赫） 卡梅隆、沃尔特曼、，Kurowski等人[GIMPS，PrimeNet]
M（M）20996011 6,320,430 2003 奔腾（2 GHz） 谢弗、沃尔特曼、，Kurowski等人[GIMPS，PrimeNet]
M（M）24036583 7,235,733 2004 奔腾4（2.4GHz） 芬德利、沃尔特曼、，Kurowski等人[GIMPS，PrimeNet]
M（M）25964951 7,816,230 2005 奔腾4（2.4GHz） 诺瓦克、沃尔特曼、，Kurowski等人[GIMPS，PrimeNet]
M（M）30402457 9,152,052 2005 奔腾4（2GHz升级到3GHz） 库珀,布恩,沃尔特曼，Kurowski等人[GIMPS，PrimeNet]
M（M）32582657 9,808,358 2006 奔腾4（3 GHz） 库珀，布恩，沃尔特曼，Kurowski等人[GIMPS，PrimeNet]
M（M）43112609 12,978,189 2008 Intel Core 2 Duo E6600 CPU（2.4 GHz） E_史密斯,沃尔特曼，Kurowski等人[GIMPS，PrimeNet]
M（M）57885161 17,425,170 2013 Intel Core2 Duo E8400（3 GHz） 库珀、沃尔特曼、，Kurowski等人[GIMPS，PrimeNet]
M（M）74207281 22,338,618 2016 Intel I7-4790 CPU 库珀、沃尔特曼、，Kurowski，Blosser等人[GIMPS，PrimeNet]
M（M）77232917 23,249,425 2018 Intel i5-6600 CPU 佩斯、沃尔特曼、库洛夫斯基、布洛瑟等人[GIMPS、PrimeNet]
M（M）82589933 24862048个 2018 Intel i5-4590T CPU Laroche、Woltman、Blosser等人[GIMPS、PrimeNet]

奇怪的是质数M74207281在人类注意到之前几个月被机器检测到新闻稿对于这个素数。

[对数（数字）与年份的半线性图]

所有的梅森记录都是使用卢卡斯·莱默测试另外两人被发现使用普罗斯的定理（或类似结果）。  The阿姆达尔六是J型棕色,C诺尔,B类帕拉迪,G史密斯,J型史密斯和S公司扎兰托内罗.

[向上]结束语：无预测

什么时候我们会有一个十亿位数的素数？好问题！在GIMPS搜索的早期，我的预测是合理的，但最近情况发生了转变（见图表），无法通过简单的回归和过去的历史进行预测。我上一次的预测太离谱了！

我正在退出时间预测业务。因此，我们将以一个线性图和下面的一个无偿立方作为结束。有用的未来预测不仅应该基于启发式，如页面上的发现下一个梅森在哪里？，但也应跟踪GIMPS等项目的使用数据。找到下一个黄金时段的是当前参与者，而不是过去。

图表
从PrimePages打印<t5k.org>©Reginald McLean。