用户：Jaume Oliver Lafont/BBP

${\显示样式日志（2）={\frac{1}{64}}\和{k=0}^{\infty}\左右）{\frac{1}{64^{k}}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}}{cos（{\frac}n\pi}{3}}）n2^{n}}}}$(A176900个,A002162号)

${\显示样式日志（3）={\frac{1}{32}}\和{k=0}^{\infty}\左}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1-cos（{frac{n\pi}{3}}）}{n2^{n-1}}}$

两个系列与A014480型

${\displaystyle{\sqrt{2}}\log{（1+{\sqart{2}{）}=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{（2k+1）2^{k}}}}$

${\displaystyle{\sqrt{2}}\arctan{\frac{1}{\sqart{2}{}=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{（-1）^{k}}{（2k+1）2^{k{}}}={\frac-1}{2}}\sum_{k=0.0}^}{\inffy}左（{\frac:2}{4k+1}}}-{\frac/1}{4k+3}}\右）{\压裂{1}{4^{k}}}}$

三元零关系

零关系之和（75）和（76）（103）和（104）英寸贝利可以用六个学期写。

$0=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{（-27）^{k}}}\左（{\frac{9}{6k+1}}-{\压裂{9}{6k+2}}-}\frac}12}{6k+3}}-[\frac}3}{6k+4}}+{压裂{6k+5}}}}右）$(检查)

该公式类似于布罗德赫斯特，1998年

${\显示样式S_{2}={\frac{4}{81}}\和_{k=0}^{\infty}\左（-{\frac{1}{27}}\右）^{k}\左c{3}{（6k+4）^{2}}+{\frac{1}{$

形式0=P（1,2^20,40，a）的零关系的表示

从贝拉德公式[1]

${\显示样式{\frac{\pi}{4}}={\frac{1}{256}}\sum_{k=0}^{\infty}{\ frac{1}}{（-1024）^{k}}}\左（{\ frac{512}{20k+2}}-{\frac:160}{20k+5}}-{\frac{128}{20k+6}}-}\压裂{8}{20k+14}}-{\压裂{5}{20k+15}}+{\压裂}2}{20k+18}}\右）}$

在P符号中，

${\显示样式{\frac{\pi}{4}}={\frac{1}{2^{8}}P（1，-2^{10}，20，（0512,0,0，-160，-128,0,0,0-0，-8,0,0.0，-8，-5,0,2,0,0）}$

等效地，

$｛\displaystyle｛\frac｛\pi｝｛4｝｝＝｛\frac｛1｝｛2^｛18｝｝｝P（1,2^｛20｝，40，（0,2^｛19｝，0,0，-5*2^｛17｝，0,0,0，-2^｛13｝，0,0,0，-2^｛13｝，-5*2^｛10｝，0,0,2^｛11｝，0,0,0，-2^｛9｝，0,0,5*2^｛5｝，2^｛7｝，0,0,0,2^｛3｝，0,0,0,2^｛3｝，5,0,0，-2,0））｝$

如果弗格森公式的长度为40${\显示样式{\frac{\pi}{4}}}$减去后，得到以下零关系。

$显示样式0=P（1,2^{20}，40，（2^{19}，-3*2^{9}，2^{18}，0,2^{19}，3*2^}17}，-2^{16}，0.2^{15}，2 ^{16}，2_{14}，0，-2^}13}，3*2^{13}}，3*2^{9}，-2^{8}，0，-2^}9}$

${\显示样式a[4k]=0\，}$

这个结果可以写成三个具有相同参数的公式的简单线性组合[2]，即（等式67）-（等式66）-（等式68）-（等式96）+（等式97）-（等式98）。

形式0=P（1,2^12,24，a）的零关系的表示

根据公式（3）设置a=4[3],

${显示样式atan（1/3）={压裂{1}{2^{11}}P（1,2^{12}，8，（2^{9}，2^{8}，2 ^{6}，0，-8，-4，-1,0）}$

${\displaystyle={\frac{1}{2^{11}}}P（1,2^{12}，24,3*（0,0,2^{9}，0,0^2^{8}，0，0,0，2^{6}，0-0,0_0，-8,0,0$

根据公式（4）设置a=2[4],

${显示样式atan（1/3）={压裂{1}{2^{4}}P（1,2^{4]，8，（2^{3}，-2^{3{，2^{2}，0，-2,2，-1,0）}$

${\displaystyle={\frac{1}{2^{12}}}P（1,2^{1}，24，（2^{11}，-2^{11{}，2^{10}，0，-2^}9}，2-^{9}2^{2}，0，-2,2，-1,0））}$

将两个结果相减，

$0=P（1,2^{12}，24，（2^{11}，-2^{11{，-2-2^{9}，-2-10}，-2^{8}，0，-2^}7}，2^{6}，0-32,32,0,8,16,0,4,2,2，-1,0）\，$

这个零关系也可以写成以-2^6为基数的BBP型公式，是三个具有相同参数的公式的线性组合[5]，即-（等式61）-4*（等式63）-4*-（方程式91）-4*（方程式93）-4*（方程式95）

二元和三元公式

${\显示样式日志（2^{b} -1个)=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}\左{b} -1个)=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}\左$

${\显示样式日志（3^{b} -1个)=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}\左{b} -1个)=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}\左$

			Mathar表1中的（s，p，q，t，r）。
${\显示样式日志（2）\，}$	${\displaystyle=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}\left（{\frac{1}{2^{k}{right）}$	[6]		${\displaystyle=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}\左$	[7]
${\显示样式日志（3）\，}$	${\displaystyle=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}\左$	[8]	(1,3,2,2,-1/4)	${\displaystyle=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}\左$	[9]
${\显示样式日志（5）\，}$	${\displaystyle=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}\左（{\frac{2}{2^{k}{}+{\frac-1}{4^{k{}}}-{\frac:1}{16^{kneneneep}}\右）}$	[10]	(1,5,2,2,1/4)	${\displaystyle=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}\左$	[11]
${\显示样式日志（7）\，}$	${\displaystyle=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}\左$	[12]	(1,7,3,2,-1/8)	${\displaystyle=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}\左（{\frac{5}{3^{k}{}}-{\frac-1}{9^{k{}}+{\frac:1}{27^{kneneneep}}-}\frac}1}{729^{k}}\右）}$	[13]
${\显示样式日志（11）\，}$	${\displaystyle=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}\左（{\frac{3}{2^{k}{}+{\frac:1}{4^{k{}}+{\ frac{1}}{32^{kneneneep}}-{\frac-{1}{1024^}}\右）}$	[14]		${\displaystyle={\frac{1}{2}}\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}\left（{\frac:13}{3^{k}{}}-{\frac-{4}{9^{k{}}}-}\frac}1}{243^{k}}\right）\，}$	[15]
${\显示样式日志（13）\，}$	${\displaystyle=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}\左（{\frac{4}{2^{k}{}}-{\frac:1}{4^{k{}}+{\frac-1}{16^{kneneneep}}+}{\frac{1{64^{kneneneei}}-}\frac}1}{4096^{k｝}}}\右）}$ ${\displaystyle=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}\左（{\frac{3}{2^{k}{}+{\frac:1}{4^{k{}}+{\ frac{1}}{8^{kneneneep}}+}{\frac{1{16^{kneneneei}}-{\frac-{1}{4096^}}}\右）}$	[16] [17]		${\displaystyle=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}\左（{\frac{7}{3^{k}{}}-{\ frac{2}{9^{k{}}}-}\frac}1}{27^{kneneneep}}\右）\，}$	[18]
$｛\displaystyle日志（17）\，｝$	${\displaystyle=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}\左（{\frac{4}{2^{k}{}+{\frac:1}{16^{k{}}}-{\frac-1}{256^{kneneneep}}\右）}$	[19]	(1,17,4,2,1/16)
${\显示样式日志（19）\，}$	${\displaystyle=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}}\左（{\frac{3}{2^{k}{}+{\frac:3}{4^{k{}}}+{\ frac{1}}{512^{kneneneep}}-{\frac-1}{262144^{k｝}\右）}$	[20]

日志（23）

$log（23）=\sum_{k=1}^{\infty}\left（{\frac{4}{2^{k}}}+{\frac{1}{3^{k{}}}-{\ frac{1}}{24^{kneneneep}}\right）$

23是最小的素数，其对数未知具有二进制BBP型公式。

A016646号,A067923号.

日志（1）

来自身份

$｛\displaystyle 1＝｛\frac｛（2^{6}-1)}{(2^{3}-1)(2^{2}-1)^{2}}}}{6}-1)}{(2^{3}-1)(2^{2}-1)^{2}}}}$

得到以下零关系：

$｛\displaystyle 0=\sum_｛k=1｝^｛infty｝｛\frac｛1｝｛k｝｝\left（｛\frac｛1｝｛2^｛k｝｝｝-｛\frac｛2｝｛2^｛2k｝-｛\frac｛1｝｛2^｛3k｝｝+｛\frac｛1｝｛2^｛6k｝｝｝\right）｝$

这可以在Bailey的简编中显示为公式（62）。另请参见[21]，第186页。

A064078号(6)=1.

0=阿坦（1）-阿坦（1/2）-阿丹（1/3）

${\显示样式0\，}$

${\显示样式={\压裂{1}{16}}P（1,16,8，（8,8,4,0，-2，-2，-1,0）}$（15英寸[22])

${\显示样式-{\压裂{1}{16}}P（1,16,8，（0,16,0,0,0，-4,0.0））\，}$

${\显示样式-{\压裂{1}{16}}P（1,16,8，（8，-8,4,0，-2,2，-1,0））\，}$

${\displaystyle={\frac{1}{16}}P（1,16,8，（0,0,0,1,0,0-0,0））\，}$（非61英寸[23])

底漆为${\显示样式\Pi_{i}（2^{s_{ineneneep}-1）^{q_{i{}}}$(A144755号,A161509型)

${\显示样式3=（2^{2}-1)\,}{2}-1)\,}$

${\显示样式5={\压裂{（2^{4}-1)}{(2^{2}-1)}}}{4}-1)}{(2^{2}-1)}}}$

${\显示样式7=（2^{3}-1)\，｝{3}-1)\，｝$

${\显示样式11={\压裂{（2^{10}-1)}{(2^{5}-1)(2^{2}-1)}}}{10}-1)}{(2^{5}-1)(2^{2}-1)}}}$

${\显示样式13={\压裂{（2^{12}-1)(2^{2}-1)}{(2^{6}-1)(2^{4}-1)}}={\压裂{（2^{12}-1)}{(2^{2}-1)(2^{3}-1)(2^{4}-1)}}}{12}-1)(2^{2}-1)}{(2^{6}-1)(2^{4}-1)}}={\压裂{（2^{12}-1)}{(2^{2}-1)(2^{3}-1)(2^{4}-1)}}}$

$｛\displaystyle 17＝｛\frac｝（2^{8}-1)}{(2^{4}-1)}}}{8}-1)}{(2^{4}-1)}}}$

$19={\frac{（2^{18}-1)}{(2^{9}-1)（2）^{2}-1)^{3}}}{18}-1)}{(2^{9}-1)（2）^{2}-1)^{3}}}}$

${\显示样式31=（2^{5}-1)\,}{5}-1)\,}$

${\显示样式41={\压裂{（2^{20} -1个)(2^{2}-1)^{2}}{(2^{10}-1)(2^{4}-1)^{2}}}\,}{20} -1个)(2^{2}-1)^{2}}{(2^{10}-1)(2^{4}-1)^{2}}}\,}$（M0.xxx）

$43={\frac{（2^{14}-1)}{(2^{7}-1)(2^{2}-1)}}\,{14}-1)}{(2^{7}-1)(2^{2}-1)}}\,}$（M0.xxx）

${\显示样式73={\压裂{（2^{9}-1)}{(2^{3}-1)}}\,}{9}-1)}{(2^{3}-1)}}\,}$（M0.xxx）

${\显示样式127=（2^{7}-1)\,}{7}-1)\,}$

$151={\frac{（2^{15} -1个)}{(2^{5}-1)(2^{3}-1)}}\,{15} -1个)}{(2^{5}-1)(2^{3}-1)}}\,}$（M0.xxx）

${\显示样式241={\压裂{（2^{24}-1)(2^{4}-1)}{(2^{12}-1)(2^{8}-1)}}}{24}-1)(2^{4}-1)}{(2^{12}-1)(2^{8}-1)}}}$

${\显示样式257={\压裂{（2^{16}-1)}{(2^{8}-1)}}}{16}-1)}{(2^{8}-1)}}}$（M0.xxx）

${\显示样式331={\压裂{（2^{30}-1)(2^{5}-1)}{(2^{15}-1)(2^{10}-1)(2^{2}-1)}}}{30}-1)(2^{5}-1)}{(2^{15}-1)(2^{10}-1)(2^{2}-1)}}}$

${\显示样式337={\压裂{（2^{21}-1)}{(2^{7}-1)(2^{3}-1)^{2}}}}{21}-1)}{(2^{7}-1)(2^{3}-1)^{2}}}}$

$｛\displaystyle 683＝｛\frac｝（2^{22}-1)}{(2^{11}-1)(2^{2}-1)}}}{22}-1)}{(2^{11}-1)(2^{2}-1)}}}$

（M0.xxx）首先由Richard J.Mathar在他的积分表（第27页）

另请参见

常数/BBP_Series