用户：Adi Dani/自然数限制成分

自然数的限制组成

Adi Dani，2011年5月-6月

关键词：偶数自然数组成部分的集合
奇数自然数组成部分的集合。
与序列有关：A000012号,A000079,A007051号,A004171号,A034478号,A081341号,A034494号,A092811号,A083884号,A093143号,A191484号,A171714号,A036486号,A000982号,A004526号,A191489号,A191494号,A191495号,A191496号

自然数k到m部分的组合我_秒

定义

表示方式${\显示样式I_{m}\，}$所有小于给定自然数m（0）的自然数的集合

自然数N）。

每个m序列${\显示样式c=（c{0}，c{1}，…，c{m-1}）\，}$满足条件的自然数

${\显示样式c{0}+c{1}+。..+c_{m-1}=k，c_{i}\在i_{s}中，i\在i{m}中..+c_{m-1}=k，c_{i}\在i_{s}中，i\在i{m}中$

称为自然数k的组合，以m为单位，除以集is。表示为

${\显示样式C_{m}（k，I_{s}）={（C_{0}，C_{1}，…，C_}m-1}）：C_{0}+C_{1}+。..+c_{m-1}=k，c_{i}\在i_{s}中，i\在i{m}\}\，}中..+c_{m-1}=k，c_{i}\在i_{s}中，i\在i{m}\}\，}中$

自然数k的组成集除以Is和by

${\displaystyle c_{m}（k，I_{s}）={\binom{m}{k}}{s}=\sum_{\stackrel{c_{0}+c_{1}+。..+c_{m-1}=k}{c_{i}\在i_{s}中，i\在i{m}}1\，}中..+c_{m-1}=k}{c_{i}\在i_{s}中，i\在i{m}}1\，}中$

自然数k在m部分上的组成数我_秒. 数字

${\显示样式{\binom{m}{k}}{s}\，}$

称为s多项式系数s>0。对于s＝2，我们得到二项式系数，在这种情况下，我们写

${\显示样式{\binom{m}{k}{2}={\binom{m}{k}}\，}$

这些数字在组合数学中起着核心作用。出现参数m，k，both

自然数，从定义上看，对于m>0

$显示样式{\binom{m}{k}}_{s}=0，k\n不是I_{m（s-1）+1}={0,1,2，…，m（s-2）\}\，}$

具有边界值

$显示样式{\binom{m}{0}}{s}={\binom{m}{m（s-1）}}{s}=1\，}$

我们扩展了这种情况，并将其用于m=0

${\显示样式{\binom{0}{k}}{s}=0，k>0，{\binom{0}{s}=1\，}$

循环关系

从定义来看

$显示样式{\binom{m}{k}}{s}=\sum{\stackrel{c{0}+c{1}+。在i{s}中，..+c_{m-1}=k}{c_{i}，在i{m}}中i=1=sum_{c_}m-1}。..+c_{m-2}=k-c_{m_1}}{c_{i}\在i_{s}中，i\在i{m-1}}}1=\，}在i{s}中，..+c_{m-1}=k}{c_{i}，在i{m}}中i=1=sum_{c_}m-1}。..+c_{m-2}=k-c_{m_1}}{c_{i}\在i_{s}中，i\在i{m-1}}}1=\，}$

             $在I{s}}\sum{stackrel{c{0}+c{1}+中的{displaystyle=\sum{j\。在i{s}中的..+c_{m-2}=k-j}{c_{i}，在i{m-1}}}1=i{s{}}{中的sum_{j}，}在i{s}中的..+c_{m-2}=k-j}{c_{i}，在i{m-1}}}1=i{s{}}{中的sum_{j}，}$

这样我们就得到了重现

【右】$显示样式{\binom{m}{k}}{s}=\sum{i=0}^{s-1}{\binom{m-1}{k-i}}{s}，}$

对称性定理

假设$显示样式（c{0}，c{1}，…，c{m-1}）$那么从定义来看

$｛\displaystyle c｛0｝+c｛1｝+。..+c_{m-1}=k，c_{i}\在i_{s}中，i\在i{m}\，}中..+c_{m-1}=k，c_{i}\在i_{s}中，i\在i{m}\，}中$

然后是构图

      $在c_{m}（m（s-1）-k，I_{s}）中的显示样式$

因为

       ${\显示样式（s-1-c{0}）+（s-1-c{1}）+。..+（s-1-c{m-1}）=m（s-1）-k\，}..+（s-1-c{m-1}）=m（s-1）-k\，}$ 

和$在i_{s}\，}中显示样式s-1-c_{i}\$对于每个$在i_{m}\，}中显示样式i\$

反之亦然

假设是这样$在c_{m}（m（s-1）-k，I_{s}）中的显示样式（c_{0}，c_{1}，…，c_}m-1}）$那么从定义来看

${\显示样式c{0}+c{1}+。..+c_{m-1}=m（s-1）-k，c_{i}\在i_{s}中，i\在i{m}\，}中..+c_{m-1}=m（s-1）-k，c_{i}\在i_{s}中，i\在i{m}\，}中$

然后是构图

    $在c_{m}（k，I_{s}）中的显示样式$

因为

     ${\显示样式（s-1-c{0}）+（s-1-c{1}）+。..+（s-1-c{m-1}）=k\，}..+（s-1-c{m-1}）=k\，}$ 

和$在i_{s}\，}中显示样式s-1-c_{i}\$对于每个$在i_{m}\，}中显示样式i\$

这意味着

       ${\显示样式|C_{m}（k，I_{s}）|=|C_}m}$

最后我们得到对称性定理

      $显示样式{\binom{m}{k}}{s}={\binom{m}{m（s-1）-k}}{s}}$

正在生成函数

${\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}{\binom{m}{k}}_{s} x个^{k} =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{\stackrel{c{0}+c{1}+。在i{s}中的..+c_{m-1}=k}{c_{i}，在i{m}}x^{k}=sum{c_}i}中，在i}m}x^c_{0}+c_}1}+中。..+c_{m-1}}=\，}{s} x个^{k} =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{\stackrel{c{0}+c{1}+。在i{s}中的..+c_{m-1}=k}{c_{i}，在i{m}}x^{k}=sum{c_}i}中，在i}m}x^c_{0}+c_}1}+中。..+c_{m-1}}=\，}$

                            $在I{s}}x^{c{0}}\sum_{c{1}中的{displaystyle=\sum_c{0{}。I_{s}}x^{c_{m-1}}=（1+x+…+x^{s-1}）^{m}I_{s}}x^{c_{m-1}}=（1+x+…+x^{s-1}）^{m}$

自$显示样式{\binom{m}{k}}{s}=0，k>m（s-1）}$我们肯定会

[G] 以下为：${\displaystyle\sum_{k=0}^{m（s-1）}{\binom{m}{k}}_{s} x个^{k} =（1+x+…+x^{s-1}）^{m}\，}{s} x个^{k} =（1+x+…+x^{s-1}）^{m}\，}$

因为

       ${\显示样式（1+x+…+x^{s-1}）^{m}=\左（{\frac{1-x^{s}}{1-x}}\右）^{m}\，}$ 

对于${\显示样式x\neq 1}$我们有。 

【G1】${\displaystyle\sum_{k=0}^{m（s-1）}{\binom{m}{k}}_{s} x个^{k} =\左（{\frac{1-x^{s}}{1-x}}\右）^{m}，x\neq{1}}{s} x个^{k} =\左（{\frac{1-x^{s}}{1-x}}\右）^{m}，x\neq{1}}$

从s=2的[G]可以得到二项式公式

${\显示样式\sum_{k=0}^{m}{\binom{m}}x^{k}=（1+x）^{m{\，}$

现在使用泰勒展开，我们得到

${显示样式（1+x）^{m}=\sum_{k=0}^{m{m（m-1）…（m-k+1）}{k！}}x^{k}，}$

很明显

$显示样式{\binom{m}{k}}={\frac{m（m-1）…（m-k+1）}{k！}}\，}$

可以改写为

${\显示样式{\binom{m}{k}={\frac{m！}{k！（m-k）！}}\，}$

此公式计算二项式系数的值。也可以通过递归关系的归纳或组合方法来推导。

m-集的k-子集数

我们可以找到自然数k的合成集到集上m个部分之间的双射${\显示样式I_{2}\，}$m集的k子集。

让我们来吧${\显示样式A{m}={A{0}，A{1}，。..，a_{m-1}\}\，}..，a_{m-1}\}\，}$m集表示为${\显示样式C^{k}（A_{m}）\，}$集合的k-子集集${\显示样式A_{m}\，}$ 

和依据${\显示样式C_{m}（k，I_{2}）\，}$数k到m部分的合成集${\显示样式I_{2}\，}$

让我们证明这两组是等价的。

假设$C^{k}（A_{m}）中的{\显示样式B\，}$然后针对每个$在i_{m}}中显示样式i\$我们写作${\显示样式c{i}=1\，}$如果$在B}中显示样式a_{i}\$和${\显示样式c{i}=0\，}$如果${\显示样式a_{i}\notin B}$ 

所以我们定义了m序列$｛\displaystyle（c｛1｝，c｛2｝，…，c｛m｝）\，｝$这是数字k的m部分组成

        $显示样式（c{0}，c{1}，…，c{m-1}）$

恰恰相反。如果$显示样式（c{0}，c{1}，…，c{m-1}）$那么这个组合包含k个等于1的分量，我们可以定义一个

k集合${\显示样式B=\{a{i}:c_{i}=1，i\在i{m}\}\，}中$这意味着$C^{k}（A_{m}）中的{\显示样式B\，}$所以从双射原理我们得出结论

            ${\显示样式|C^{k}（A{m}）|={\binom{m}{k}}\，}$

s-多项式系数和二项式系数之间的关系

从[G']我们有

      ${\displaystyle\sum_{k=0}^{m（s-1）}{\binom{m}{k}}_{s} x个^{k} =\sum_{k=0}^{\infty}{\binom{m}{k}}_{s} x个^{k} =\左（{\frac{1-x^{s}}{1-x}}\右）^{m}=（1-x^}s}）^{m}（1-x）^{-m}\，}{s} x个^{k} =\sum_{k=0}^{\infty}{\binom{m}{k}}_{s} x个^{k} =\左（{\frac{1-x^{s}}{1-x}}\右）^{m}=（1-x^}s}）^{m}（1-x）^{-m}\，}$

从二项式公式

       ${\显示样式（1-x^{s}）^{m}=\sum_{i=0}^{m{（-1）^{i}{\binom{m}{i}}x^{si}}$

来自泰勒公式

     ${\显示样式（1-x）^{-m}=\sum_{j=0}^{\infty}{\binom{m+j-1}{j}}x^{j}$

现在我们有了

      ${\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}{\binom{m}{k}}_{s} x^{k} =\sum_{i=0}^{m}（-1）^{i}{\binom{m}{i}}x^{si}\sum_{j=0}^{\infty}{\biom{m+j-1}{j}}x^{j}=}{s} x^{k} =\sum_{i=0}^{m}（-1）^{i}{\binom{m}{i}}x^{si}\sum_{j=0}^{\infty}{\biom{m+j-1}{j}}x^{j}=}$

                                  ${\displaystyle=\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{m}（-1）^{i}{\binom{m}{i}}{\biom{m+j-1}{j}}x^{si+j}=}$

                             

                                  ${\displaystyle=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{m}（-1）^{i}{\binom{m}{i}}{\biom{m+k-si-1}{k-si}}x^{k}\，}$

对于si+j=k，遵循j=k-si，然后将x旁边的系数等同于以下公式

[新加坡银行]${\显示样式{\binom{m}{k}}{s}=\和{i=0}^{m}（-1）^{i}{\binom{m}}{i}}{\biom{m+k-si-1}{m-1}}\，}$

Vandermonde的订单身份

发件人

${\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}{\binom{m+n}{k}}_{s} x个^{k} =（1+x+…+x^{s-1}）^{m+n}={s} x个^{k} =（1+x+…+x^{s-1}）^{m+n}=$

${\displaystyle=\sum_{i=0}^{\infty}{\binom{m}{i}}_{s} x个^{i} \sum_{j=0}^{\infty}{\binom{n}{k}}_{s} x个^{j} =\sum_{i+j=0}^{\infty}{\binom{m}{i}}{s}{\biom{n}{j}}_{s} x个^{i+j}=\，}{s} x个^{i} \sum_{j=0}^{\infty}{\binom{n}{k}}_{s} x个^{j} =\sum_{i+j=0}^{\infty}{\binom{m}{i}}{s}{\biom{n}{j}}_{s} x个^{i+j}=\，}$

$｛\displaystyle=\sum_｛k=0｝^｛infty｝\sum_｛i+j=k｝｛\binom｝｛i｝｝_｛s｝｛\binom｝｛n｝｛j｝｝_{s} x个^{k} =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{k}{\binom{m}{i}}_{s}{\biom{n}{k-i}}_{s} x个^{k} \，}{s} x个^{k} =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{k}{\binom{m}{i}}_{s}{\biom{n}{k-i}}_{s} x个^{k} \，}$

遵循Vandermonde的订单身份

$显示样式{\binom{m+n}{k}}{s}=\sum{i=0}^{k}{\binom{m}{i}}{{s}{\biom{n}{k-i}}{s}\，}$

s=2的这个恒等式通常是范德蒙德的恒等式[1]

从m=n和k=m（s-1）的Vandermonde恒等式出发，考虑对称性定理，我们得到了公式

[五] ：${\displaystyle\sum_{i=0}^{m（s-1）}\left（{\binom{m}{i}}_{s}\right）^{2}=\sum_{i=0.}^{m[s-1）{\binom{m}{i}{s}^{2{={binom{2m}{m（s-1）}{{s}\，}$

它给出了自然数组成数的平方和在集合上的m个部分${\显示样式I_{s}\，}$

自然数在I上的m部分组成_秒

表示方式

$c_{m}（I_{s}）=\sum_{k=0}^{m（s-1）}{\binom{m}{k}}{s}\，$

m部分以上自然数的组成数我_秒

如果在[G]中输入x个= 1给予

【S1】${\显示样式c_{m}（I_{s}）=s^{m}\，}$

一个简单的计算Is上自然数组成数的公式很清楚

${\displaystyle\sum_{k=0}^{m（s-1）}{\binom{m}{k}}{s}=\sum_{k\geq0}{\biom{m{2k}}{s}+\sum_k\geq 0}{$

${\displaystyle\sum_{k=0}^{m（s-1）}（-1）^{k}{\binom{m}{k}}{s}=\sum_{k\geq0}{\biom{m{2k}}_{s}-\和{k\geq0}{\binom{m}{2k+1}}{s}\，}{s}-\和{k\geq0}{\binom{m}{2k+1}}{s}\，}$

表示方式

$显示样式c_{m，E}（I_{s}）=\sum_{k=0}^{m（s-1）}{binom{m}{2k}}{s}\，}$

偶数自然数的组成数${\显示样式I_{s}\，}$

和依据

${显示样式c_{m，O}（I_{s}）=\sum_{k=0}^{m（s-1）}{\binom{m}{2k+1}}{s}\，}$

奇数自然数的组成数${\显示样式I_{s}\，}$根据定义，m=0

$c_{0，E}（I_{s}）=\sum_{k=0}^{0}{\binom{0}}{2k}}{s}={\binom{0}{s}=1\，$

$c_{0，O}（I_{s}）=\sum_{k=0}^{0}{\binom{0}}{2k+1}}{s}={\binom{0}{1}}_{s{=0\，$

假设在[G1]m=0，s-odd和x=-1中，我们得到不定形式0^0，另一方面这个公式
对于m>0，x=-1，因为表达式（1-（-1）^s）/2对于s偶数为0，对于s奇数为1（（1-（-1）^s，/2）^m

对于m>0，不依赖于m，并且等于（1-（-1）^s）/2，这意味着对于m>O是有效的

【S2】：${\displaystyle\sum_{k=0}^{m（s-1）}（-1）^{k}{\binom{m}{k}}_{s}={\frac{1-（-1））^{s}}{2}}\，}$

假设m>0，那么从[S1]和[S2]我们得到系统

${\显示样式c_{m，E}（I_{s}）+c_{m，O}（I_{s{）=s^{m}\，}$

${\显示样式c_{m，E}（I_{s}）-c_{m、O}（I_{s{）={\分形{1-（-1）^{s}}{2}}\，}$

解决方案是

       $｛\displaystyle c_｛m，E｝（I_｛s｝）=｛\frac｛1｝｛2｝｝\left（s^｛m｝+｛\frac｛1-（-1）^｛s｝｝｛2｝｝\right）\，｝$

       ${\显示样式c_{m，O}（I_{s}）={\压裂{1}{2}}\左^{米}-{\frac{1-（-1）^{s}}{2}}\右）\，}{米}-{\frac{1-（-1）^{s}}{2}}\右）\，}$

最后，如果我们使用天花板和地板函数，因为对于m=0，s>1，我们有

          ${\显示样式c_{0，E}（I_{s}）={\Bigg\lceil}{\frac{1}{2}}\左（s^{0}+{\frac{1-（-1）^{s}}{2{}\右）{\Big\rceil}=1\，}$         

          $c_{0，O}（I_{s}）={\Bigg\lfloor}{\frac{1}{2}}左^{0}-{\frac{1-（-1）^{s}}{2}}\right）{\Bigg\rfloor}=0\，{0}-{\frac{1-（-1）^{s}}{2}}\right）{\Bigg\rfloor}=0\，}$

对于m>0，s>1

        ${\displaystyle c_{m，E}（I_{s}）={\Bigg\lceil}{\frac{1}{2}}\左（s^{m}+{\frac{1-（-1）^{s}}{2{}\右）{\Big\rceil}={\frac{1}}{2]\左（s ^{m{+{\fric{1-（-1）$

        $｛\displaystyle c_｛m，O｝（I_｛s｝）=｛\Bigg\lfloor｝｛\frac｛1｝｛2｝｝\left（s^{米}-{\frac{1-（-1）^{s}}{2}}\右）{\Bigg\rfloor}={\frac{1}{2{}}\左^{米}-{\frac{1-（-1）^{s}}{2}}\右）\，}{米}-{\frac{1-（-1）^{s}}{2}}\右）{\Bigg\rfloor}={\frac{1}{2{}}\左^{米}-{\frac{1-（-1）^{s}}{2}}\右）\，}$

对于m>=0，s>1，我们得到以下紧致公式

[英]${\显示样式c_{m，E}（I_{s}）={\Bigg\lceil}{\frac{1}{2}}\左（s^{m}+{\frac{1-（-1）^{s}}{2{}\右）{\Big\rceil}\，}$

【O】$c_{m，O}（I_{s}）={\Bigg\lfloor}{\frac{1}{2}}左^{米}-{\frac{1-（-1）^{s}}{2}}\右）{\Bigg\rfloor}\，{米}-{\frac{1-（-1）^{s}}{2}}\右）{\Bigg\rfloor}\，}$

第一个公式给出了偶数自然数的组成数在集Is上的m个部分，第二个公式给出

公式给出了奇数自然数在集Is上的m个组成部分的个数。

以m为单位的偶数自然数组成不大于秒

表示方式

${\显示样式E_{m}（s）=c_{m，E}（I_{s+1}），s\geq0\，}$

偶数自然数组成m部分的个数不大于s。从[E]得到m，s>=0

$E_{m}（s）={\Bigg\lceil}{\frac{1}{2}}\左（s+1）^{m}+{\frac{1+（-1）^{s}}{2{}\右）{\Big\rceil}\，$

现在使用这个公式，我们可以在第m行的公共单元格中，通过行m>=0和列s，s>=0来构造表

在表的s列中，我们将偶数自然数的组成数放在集合Is的m部分中。

数学代码：TableForm[表格[天花板[1/2*（（k+1）^n+（1+（-1）^k）/2）]，{n，0,9}，{k，0,9}]]

米\秒	0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	..
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1		A000012号
1	1	1	2	2	三	三	4	4	5	5		A004526号
2	1	2	5	8	13	18	25	32	41	50	.	A000982号
三	1	4	14	32	63	108	172	256	365	500		A036486号
4	1	8	41	128	313	648	1201	2048	3281	5000		A171714号
5	1	16	122	512	1563	3888	8404	16384	29525	50000		A191484号
6	1	32	365	2048	7813	23328	58825	131072	265721	500000		A191489号
7	1	64	1094	8192	39063	139968	411772	1048576	2391485	5000000		A191494号
8	1	128	3281	32768	195313	839808	2882401	8388608	21523361	50000000		A191495号
9	1	256	9842	131072	976563	5038848	20176804	67108864	193710245	500000000		A191496号
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
...	A000012号	A000079	A007051号	A004171号	A034478号	A081341号	A034494号	A092811号	A083884号	A093143号	..	A191687号

从表中我们可以看到，在第m行和第s列的公共单元格中放置了数字。……那个
意味着存在。..偶数自然数组成，单位为m，每个部分不大于s，它们是

14个偶数自然数组成，每部分3个部分不大于2，它们是

${\显示样式（0,0,0）\，}$

${\显示样式（0,1,1）、（1,0,1），（1,1,0）、0,0,2）、（0,2,0）、（2,0,0）\，}$

${\显示样式（0,2,2），（2,0,2）$

${\显示样式（2,2,2）\，}$

13个偶数自然数组成，每部分2个部分不大于4，它们是

${\显示样式（0,0）\，}$

${\显示样式（0,2），（2,0），（1,1）\，}$

${\显示样式（0,4），（4,0），（1,3），（3,1），（2,2）\，}$

${\显示样式（2,4），（4,2），（3,3）\，}$

${\显示样式（4,4）\，}$

25个偶数自然数组成，每部分2个部分不大于6，它们是

${\显示样式（0,0）\，}$

${\显示样式（0,2），（2,0），（1,1）\，}$

${\显示样式（0,4），（4,0），（1,3），（3,1），（2,2）\，}$

$｛\displaystyle（0,6），（6,0），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3）\，｝$

${\显示样式（2,6），（6,2），（3,5），（5,3），（4,4）\，}$

${\显示样式（4,6），（6,4），（5,5）\，}$

$｛\displaystyle（6,6）\，｝$

m部分奇数自然数的组成不大于秒

表示方式

${\显示样式O_{m}（s）=c_{m，O}（I_{s+1}），s\geq0\，}$

m部分偶数自然数的合成数不大于s，然后从[E]中得到m的s>=0

$O_{m}（s）={\Bigg\lfloor}{\frac{1}{2}}左（s+1）^{米}-{\frac{1+（-1）^{s}}{2}}\右）{\Bigg\rfloor}\，{米}-{\frac{1+（-1）^{s}}{2}}\右）{\Bigg\rfloor}\，}$

现在使用这个公式，我们可以在第m行的公共单元格中，通过行m>=0和列s，s>=0来构造表

在表的s列中，我们将奇数自然数的组成数放在集合Is的m部分中。

数学代码：TableForm[表格[地板[1/2*（（k+1）^n-（1+（-1）^k）/2）]，{n，0,9}，{k，0,9}]]

米\秒	0	1	2	三	4	5	6	7	8	9	..
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0		A000004号
1	0	1	1	2	2	三	三	4	4	5		A004526号
2	0	2	4	8	12	18	24	32	40	50	.	A007590号
三	0	4	13	32	62	108	171	256	364	500		A036487号
4	0	8	40	128	312	648	1200	2048	3280	5000		A191903号
5	0	16	121	512	1562	3888	8403	16384	29524	50000		A191902号
6	0	32	364	2048	7812	23328	58824	131072	265720	500000		A191901号
7	0	64	1093	8192	39062	139968	411771	1048576	2391484	5000000		A191900型
8	0	128	3280	32768	195312	839808	2882400	8388608	21523360	50000000		A191899号
9	0	256	9841	131072	976562	5038848	20176803	67108864	193710244	500000000		A191680号
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
...	A000004号	A000079	A003462号	A004171号	A128531号	A081341号	A191680号	A092811号	A191681号	A093143号	..	A192396号

从表中我们可以看出存在：

13个奇数自然数组成，每部分3个部分不大于2，它们是

${\显示样式（0,0,1），（0,1,0），（1,0,0）\，}$

${\显示样式（1,1,1），（0,1,2），（0.2,1），（1,0.2），（1.2,0），（2,0,1）、（2,1,0）\，}$

${\显示样式（1,2,2），（2,1,2），，（2,2,1）\，}$

12个奇数自然数组成，每部分2个部分不大于4，它们是

${\显示样式（0,1），（1,0）\，}$

${\显示样式（0,3），（3,0），（1,2），（2,1）\，}$

${\显示样式（1,4），（4,1），（2,3），（3,2）\，}$

${\显示样式（3,4），（4,3）\，}$

24个奇数自然数组成，每部分2个部分不大于6，它们是

${\显示样式（0,1），（1,0）\，}$

${\显示样式（0,3），（3,0），（1,2），（2,1）\，}$

${\显示样式（0,5），（5,0），（1,4），（4,1），（2,3），（3,2）\，}$

${\显示样式（1,6），（6,1），（2,5），（5,2），（3,4），（4,3）\，}$

${\显示样式（3,6），（6,3），（4,5），（5,4）\，}$

${\显示样式（5,6），（6,5）\，}$

评论

符号${\显示样式{\binom{m}{k}}{s}\，}$不要与高斯二项式系数混淆

工具书类

1. B.A.Bondarenko，《广义帕斯卡三角和金字塔（俄语）》，FAN，塔什干，1990年，ISBN 5-648-00738-8。英语翻译由加利福尼亚州圣克拉拉市圣克拉拉大学斐波纳契协会出版，1993年。
2. V.N.Sachkov，组合分析中的概率方法，剑桥，1997年。
3. Adi Dani，自然数的拟合成，马其顿数学家大会第三届会议记录，29 IX-2 X 2005年，第225-238页