用户：自然数的Adi Dani /限制合成

自然数的限制性合成

Adi Dani，五月2011年6月

关键词：集上偶自然数的组合
奇数自然数合成为集合上的部分。
关注序列：A000 0 12，A000 0 79，A000 7051，A000 4171，A034，A081341，A034 492，A09811，A0838，A093143，A191485，A171714，A03686A6，A000 0982A，A000 45 26，A191499，A191491，A191495，A191496

集上M个部分的自然数K的合成I_S

定义

由…表示${\DISPLAYTYPE II{M}，}$小于给定自然数m（0）的所有自然数集

在自然数n集合中）。

m序列${DePosivysC=（C{{ 0 }，C{{ 1 }，…，C{{M-1 }）\ }$满足条件的自然数

${\DePosivisC{{}{ }{ 1 } +…C+{M}-1}= K，C{{I}在I{{}}中，i在I{{M}，S＞0，}$

称为M集上的自然数K的合成。以表示

${DISPLAYTYPE C{{M}（k，i{{S}）＝{{（{{ 0 }，C{{ 1 }，…，C{{M-1 }）：C{{}} 0 } +C{{}} +……+C{{M-1 }＝K，C{{i}在I{{}}中，i在I{{M}\ }中，}$

自然数k的组合集为M集合上的m个部分

${DePosivisC{{M}（k，i{{s}）＝{\BiOM{{M}{{}}}{S} =“{ StkelRe{C{{}} 0 } +C{{ 1 } +……+ C{{M-1 }＝k}{C{{i}，I{{}}，i在I{{M}}} 1，}$

集上m个部分的自然数k的合成数I_S. 这个数字

${DeStudioType {\BIOM}{M}{{K}}{{}}，}$

称为S标准系数S＞0。对于S＝2，我们得到二项式系数，在这种情况下，我们写。

${DeStudioType {\BIOM{{M}{{K}}}{ 2 } = {\BIONM {M}{{}}}，}$

这些数在组合数学中起着中心作用。

从定义出发，自然m数为m＞0

${DeStudioS{{BiOM}{M}{{K}}{{}}＝0，k\NOTII{{M（s-1）+1 }}= {01,1,2，…，m（s-1）}}，}$

带边界值

${DeStudioType {\BiOM{{M}{ 0 }}}{S} = {\BIOM {M}{M（S-1）}}}{S}＝1 \ }$

我们推广了这种情况，对于M＝0的用法

${DeStudioType {\BIOM { 0 }{{}}}{S}＝0，K＞0，{\BIOM}{ 0 }{0 }}{{S}＝1，}$

递归关系

从定义遵循

${\binom {m}{k}}_{s}=\sum _{\stackrel {c_{0}+c_{1}+...+c_{m-1}=k}{c_{i}\in I_{s},i\in I_{m}}}1=\sum _{c_{m-1}\in I_{s}}\sum _{\stackrel {c_{0}+c_{1}+...+c_{m-2}=k-c_{m-1}}{c_{i}\in I_{s},i\in I_{m-1}}}1=\,$

βi${I\ {{}}} {StkelRe{C{{} 0 } +C{{ 1 } +…C+{M}-2}＝K-j}{C{{i}}在I{{}}中，i在I{{M-1 }}}＝\和{{j在I{{S}}{{ BIOM}{M-1 }{K-J}}{{S}}，} {DeStudioType＝\和$

这样我们就可以复发了。

[R]${DeStudioS{{BiOM}{M}{}}}{S}= =和{ i＝0 }^ ^ {S-1 }{{ BIOM}{M-1 }{Ki-i}}{S}}，}$

对称性定理

假设${\DeStudioType（C{{ 0 }，C{{ 1 }，…，C{{M-1 }）〕在C{{M}（k，i{{S}）\，}中$然后从定义上遵循

${\DePosivisC{{}{ }{ 1 } +…+C{{M-1 }＝K，C{{i}在I{{}}中，i在I{{M}中，}$

然后组成

β${\DeStudioType（s1-c{{ 0 }，s1-c{{ 1 }，…，s1-c}{m1-}）\在c{{m}（m（s-1）-k，i{{s}）\，}中$

因为

β${\DISPLAYTYPE（s1-c{{ 0 }）+（s1-c{{ 1 }）+……+（s1-c{{M-1 }）＝m（s-1）-k\，}$γ

和γ${iS{S}-Cy{i}在I{{S}中}，}$对于每一个${\DePielStudioI\I{{M} }，}$

相反地

假设${\DeStudioType（c{{ 0 }，c{{ 1 }，…，c{{m-1 }）〕在c{{m}（m（s-1）-k，i{{s}）\，}中$然后从定义上遵循

${\DePosivisC{{}{ }{ 1 } +…C+{M{1}= m（s-1）-k，c{{i}在i{{}}中，i在i{{m }中，}$

然后组成

β${\DeStudioType（s1-c{{ 0 }，s1-c{{ 1 }，…，s1-c}{M-1 }）\在c{{M}（k，i{{s}）\ }中，}$

因为

γ${\DISPLAYTYPE（s1-c{{ 0 }）+（s1-c{{ 1 }）+…+（s1-c{{M-1 }）＝k\，}$γ

和${iS{S}-Cy{i}在I{{S}中}，}$对于每一个${\DePielStudioI\I{{M} }，}$

这意味着

β${DePosivys*C{{M}（k，i{{S}）} = {C{{M}（m（s-1）-k，i{{s}）}，}$

最后得到对称性定理。

β${DeStudioType {\BiOM{{M}{{K}}}{S} = {\BIOM {M}{M（S-1）-K}}{S}}$

生成函数

$\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {m}{k}}_{s}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\stackrel {c_{0}+c_{1}+...+c_{m-1}=k}{c_{i}\in I_{s},i\in I_{m}}}x^{k}=\sum _{c_{i}\in I_{s},i\in I_{m}}x^{c_{0}+c_{1}+...+c_{m-1}}=\,$

α~（Ⅱ）$求和{{C{{} } {i}{}} x^ {c{{ 0 }}和{{c{{ }} } {i}{}{x{{c{{}}}}……和{{c{{M}} } {i}{s}} ^ ^ {c{{1}}} =（1 +x+…+x^ {s-1 }）^ {M}\，} {DeStudioType =$

自古以来${DeStudioType {\BIOM}{M}{k}}{{}}＝0，k> m（s-1）}$我们最终得到

[G]${DeStudioType \和{ K＝0 } ^ {M（S-1）}{{BiOM}{M}{{K}}{{S} X^ {K}= =（1 +x+…+x^ {s-1 }）^ {M}\，}$

正因为

β${DePosiType（1 +x+…+x^ {s-1 }）^ {m }＝左（{ Frace{1-x^ {S}}{1-x}}）^ ^ {M}\，}$γ

为${DISPLAYTYPE X\NEQ 1 }$我们有。

[G1]${DeStudioType \ {＝k＝0 } ^ {m（s-1）}{{bim}{m }{k}}{{}} {^ } k}=左（{ Frace{1-x^ {s}}{1-x}}）^ ^ {M}，x\Neq{ 1 }$

从[g]为S＝2，我们得到二项式公式。

${DeStudioType \和{ K＝0 } ^ {M}{{BIOM}{M}{{K}} X^ {K}=（1 +X）^ {M}\，}$

现在我们使用泰勒扩展

${DISPLAYTYPE（1 +X）^ {M}=＝和{ K＝0 } ^ {M}{{Frace{M（M-1）……（M K+ 1）}{K！}{x^ {k}，}}{x^ {k}，}$

很清楚

${DeStudioType {\BIOM}{M}{K}}= {\ Frace{M（M-1）……（M K+ 1）}{K！}，}}，}$

可以改写为

${DeStudioType {\BIOM}{M}{k}}＝{\Frace{M！{ K！（M K）！}，}{ K！（M K）！}，}$

这个公式计算二项式系数的值。也可通过递归关系或组合方法进行归纳。

M集的K子集数

我们可以在自然数k的集合集合之间找到一个集合上的m个集合。${DISPLAYTYPE II{ 2 }，}$M集的k-子集。

{ }${DISPLAYTYPE A{{M}＝{A{{ 0 }，A{{ 1 }，…，A{{M-1 }}}，}$由α表示的M集${DISPLAYTYPE CID{K}（A{{M}）\，}$集的K子集${DISPLAYTYPE A{{M} }，}$γ

和由${DePosivysC{{M}（k，i{{ 2 }）\ }$集数k组成M集的集合${DISPLAYTYPE II{ 2 }，}$

让我们证明这两个集合是等价的。

假设${\DeStudioBy\\c^ {k}（A{{M}）\，}$然后，对于每一个${\DePielSype I \在I{{M}}中$我们写${DePosivsCy{i}＝1，}$如果${\b}中的DePosivsAy{i}$和${DePosivsCy{i}＝0，}$如果${DISPLAYTYPE AA{{I}\NOTIN B}$γ

因此，我们定义了m序列${\DISPLAYTYPE（C{{ 1 }，C{{ 2 }，…，C{{M}）\ }$这是K数为M部分的组合.

β${\DeStudioType（C{{ 0 }，C{{ 1 }，…，C{{M-1 }）〕在C{{M}（k，i{{ 2 }）\，}中$

相反。如果是${\DeStudioType（C{{ 0 }，C{{ 1 }，…，C{{M-1 }）〕在C{{M}（k，i{{ 2 }）\，}中$然后，这个组成包含K成分等于1，我们可以定义一个

K集${\DeStudioBy= \ {A{{I}：C{{I}＝1，i在I{{M}}}中，}$那意味着${\DeStudioBy\\c^ {k}（A{{M}）\，}$因此，从双射原理出发，我们得出结论：

β1${DePosivys*C^ {K}（A{{M}）}{{ BiOnm {M}{{}}}，}$

S-正态与二项式系数之间的关系

从[g’]我们有

β$BIOM {M}{{}} {^ }{k}= =和{ k＝0 } ^ {\ fft}{{二进制}{M}{{k}}{{}} {^ } k}=左（{ Frac{{1}{S}}{1-X}}）^ ^ {M}=（1-x^ {S}）^ {M}（1-x）^ -M}\，} {DePosithSype \和{{k＝0 }^ ^ m（s-1）}{}$

从二项式公式

β${DISPLAYTYPE（1-x^ {S}）^ {M}=＝和{ i＝0 }^ ^ {M}（- 1）^ {I}{{ BIOM}{M}{I}}X{{Si}}$

从泰勒公式

γ${DISPLAYTYPE（1-x）^ {-M}=＝和{{j＝0 }^ ^ {fft}}{\BIOM}{M+J-1}{{j}}X^ {j}}$

现在我们有

β$求和{{k＝0 }{{ } }{ }}{}}{}}{}}{{}}{i } } } { } } { } } { } } { } } { } } { } } { } } { } } } } } } } } } } } } } } } {}}} }{ }} }{ } }{ } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } {DeStudioType \$

α~（Ⅱ）${\DePosialSype＝\ {＝0 }}{{ ftt}} {i＝0 } ^ {m }（- 1）^ {i}{{ bim}{m }{i}}{\BIOM{{M+J-}}{j}}X^ {Si+j}= }$

α~（Ⅱ）

α~（Ⅱ）${\DePosialSype＝\ {＝0 } ^ {\ fft}} { i＝0 } ^ {m }（- 1）^ {i}{{ bim}{m }{i}}{\bimOM {M+K-Si-1}{{K-Si}} ^ ^ {k}\ }，}$

对于s+j＝k，遵循j＝k- Si i，然后将系数与x跟随公式等价。

[某人]${DeStudioS{{BiOM}{M}{}}}{S}= =和{ i＝0 }^ ^ {M}（- 1）^ {I}{{ BIOM}{M}{i}}{\BIONM {M+K-Si-1}{M-1 }}}，}$

范德蒙德的阶数恒等式

从

${DeStudioType \ {＝0 }}{{ fnt}}{BimOM {M+N}{{K}}{{S} X^ {k}=（1 +x+…+x^ {s-1 }）^ {M+n}=（1 +x+…+x^ {s-1 }）^ {M}（1 +x+…+x^ {s-1 }）^ {n}=，}$

$}{} {^ } { } 0 } {{ n} {n}{{}}}{s} {^ } j}＝和}{i+j＝0 } ^ {\ fft}{{二进制}{M}{{i}}{{}}\BIOM {N}{{}}}{S}X{{i+j}= }，} {DePosialStordy= \和{{i＝0 }^ ^ {ftt}}{\BIOM}{M}{i}$

$\BIOM{{}} } { } } n}{{}}{} {^ } k} = \和{ k＝0 } ^ {{ft}}和{ i＝0 } ^ {k}{{ b}{m }{i}}{{}}\bimO{{n}{ki-i}}{{}}}{}{}}} } {DePosioStordy= \和{ k＝0 }^ ^ {ftt}}和{{i+j= k}{}$

追随范德蒙德的秩序身份

${DePosivs{{Mn+n}{k}} {S}= =和{ i＝0 }^ ^ {k}{} m }{M}{{i}}{{}}\BIOM}{N}{Ki-i}}{S}}，}$

S＝2的这个恒等式通常是范德蒙德的恒等式。〔1〕

从M= n的范德蒙德恒等式和k= m（s-1）出发，考虑对称性，得到了公式。

[V]：${DeStudioType \ { i＝0 } ^ {m（s-1）}左（{ BimOM {M}{i}}{{}}）^ ^ {}＝和{ i＝0 } ^ {m（s-1）}{{bim}{m }{i}}{{s}^ ^ {}}{{二进制}{2m }{m（s-1）}}{{}}}，}$

将自然数合成数的平方和设为集合上的M个部分。${DISPLAYTYPE Iy{S}，}$

自然数在M中的成分_S

以表示

${DePosivsCy{M}（I{{S}）＝和{{K＝0 }^ ^ {M（S-1）}{{BIOM}{M}{K}}{{}}}，}$

M部分中自然数的组成数I_S

如果在[g]我们放X= 1给予

[S1]${DePosivsCy{M}（I{{S}）＝s^ {m }，}$

一个简单的计算自然数合成数的公式，很明显

${\DeStudioTys\k＝0 } ^ {m（s-1）}{{二进制}{m }{k}} {S}= =和{{k\Geq 0 }{{二进制}{M}{2K}}{{S}+Suth}{K\Geq 0 }{{BiOM {M}{2K+1 }}{{}}}，}$

${\DeStudioType { k＝0 } ^ {m（s-1）}（^ 1）^ {k}{} m }{m }{k}} {S}= =和{{k\Geq 0 }{{BiOM}{M}{2K}}{{S}-\和{K\Geq 0 }{{BiOM {M}{2K+1 }}{S}}} }$

以表示

${DePosivsCy{m，e}（i{{s}）＝和{{k＝0 }^ ^ {m（s-1）}{{BIOM}{M}{2K}}{{}}}，}$

偶自然数的组合数${DISPLAYTYPE Iy{S}，}$

并且通过

${DISPLAYTYPE CY{M，O}（I{{S}）＝和{{K＝0 }}^ {M（S-1）}{{BIOM}{M}{2K+1 }}{{}}}，}$

奇自然数的合成数${DISPLAYTYPE Iy{S}，}$从定义出发，遵循M＝0

${DISPLAYTYPE C{{ 0，e}（I{{S}）= \ { k＝0 } ^ { 0 }{{ BIOM}{ 0 }{2K}}{{S}}{{ BiOM}{0 }{{}}}{{}} 1 }，}$

${DePosivisCy{ 0，O}（I{{S}）= \ { k＝0 } ^ { 0 }{{ BIOM}{ 0 }{2K+1 }}{{S}}{{ BiOM}{0 }{1 }}{{}} 0 }，}$

假设在[g1] m＝0，s-奇数和x＝- 1，则我们得到不定形式的0 ^ 0另一方面这个公式。
对于M＞0，X＝1，因为表达式（1 -（-1）^ s）/2对于S偶数是0，s奇异表达式为1（（1 -（1）^）/2）^ m。

在m＞0上不刻画m，在（1 -（1）^ s）/ 2表示eqQUAL（2），表示m＞0是有效的。

[S2]：${\DeStudioType \ {＝k＝0 } ^ {m（s-1）}（- 1）^ {k}{{ bim}{m }{k}} {s}= {\压裂} -（-1）^ {s}}{2 }}，}$

假设m＞0，则从[s1]和[s2]得到系统。

${DePosivsCy{m，e}（i{{s}）+c{{m，o}（i{{s}）＝s^ {m } }，}$

${DISPLAYTYPE CY{M，E}（I{{S}）-C{{m，O}（I{{S}）＝{\ Frac{1（-1）^ {S}}{{}}}，}$

解决方案是

β${DePosivsC{{m，e}（I{{S}）＝{\Frace{ 1 }{{ }}}左（S^ {M}+{ Frace{ 1（-1）^ {}}}{ 2 } }）\，}$

β${DePosivsC{{m，O}（I{{S}）＝{\Frace{ 1 }{{ }}}左（S^ {M}-{\Frace{ 1（-1）^ {}}}{ 2 } }）\，}$

最后，如果我们使用天花板和地板函数，因为m＝0，S＞1。

β${DISPLAYTYPE C{{ 0，e}（I{{S}）= {\BigG\LCEI}{{Frace{ 1 }{{ }}}左（S^ { 0 } +{ Frace{ 1（-1）^ {S}}{2 }}）{BigG\RCEIL}= 1，}$γ

β${DePosivsC{{ 0，O}（I{{S}）＝{\BigG\L楼}}{Frace{ 1 }{{ }}}左（S^ { 0 } {{压裂} 1（-1）^ {S}}{2 }} {{Bigg\rLe}}＝0，}$

m＞0，S＞1

β${} Bigg\LCEIL}{{Frace{{}} } 2 } }左（S^ {M}+{ Frace{ 1（-1）^ {}}}{ 2 } }）{{BigG\RCEI}}{{ Frace{ 1 }{2 }}左（S^ {M}+{Frace{1（-1）^ {S}}{2 }}），} {DISPLAYTYPE C{{m，e}（I{{）}$

β${{BigG\L楼层} {{Frace{{}} } 2 } }左（S^ {M}-{Frace{ 1（-1）^ {S}}{ 2 } } {{Bigg\r楼}}{{ Frace{ 1 }{2 }}左（S^ {M}-{Frace{1（-1）^ {S}}{2 }}），} {DISPLAYTYPE C{{M，O}（I}）$

对于m＞0，S＞1，我们得到以下紧致公式

[E]${DePosivsC{{m，e}（I{{S}）＝{\BigG\LCEIL}{{Frace{ 1 }{{ }}}左（S^ {M}+{ Frace{ 1（-1）^ {S}}{ 2 } } {{BigG\RCEIL}\ }，}$

[O]${DePosivsC{{m，O}（I{{S}）＝{\BigG\L楼}}{Frace{ 1 }{ 2 }}左（S^ {M}-{Frace{ 1（-1）^ {S}}{ 2 } } {{Bigg\r楼}}，}$

第一个公式给出了偶集上M个偶数的偶数的个数。

公式给出了奇数自然数的组成数为M部分的过集。

M部分中偶自然数的组成不大于S

以表示

${DISPLAYTYPE E{{M}（s）＝C{{m，e}（I{{S+1 }），S\Geq 0 \ }$

偶自然数的组成数为m（S）＝0的M部分，S＝＝1。

${DISPLAYTYPE E{{M}（s）＝{BigG\LCEIL}{{Frace{ 1 }{{ }}}左（（S+ 1）^ {M}+{{Frace{ 1 +（-1）^ {}}} 2 }}）{{BigG\RCEIL}\ }，}$

使用这个公式，我们可以在m行的共同单元中按行m、m＞0和列s、s>＝0构造表。

表的列S，将偶数自然数的个数设为集合上的m个部分。

Mathematica代码：表格[[天花板] [1/2＊（（k+ 1）^ n+（1 +（-1）^ k）/ 2）]，{n，0，9}，{k，0，9}[]

米氏

零

一

二

三

四

五

六

七

八

九

…

零

一

一

一

一

一

一

一

一

一

一

A000 0 12

一

一

一

二

二

三

三

四

四

五

五

A000 45 26

二

一

二

五

八

十三

十八

二十五

三十二

四十一

五十

.

A000 0982A

三

一

四

十四

三十二

六十三

一百零八

一百七十二

二百五十六

三百六十五

五百

A03686A6

四

一

八

四十一

一百二十八

三百一十三

六百四十八

一千二百零一

二千零四十八

三千二百八十一

五千

A171714

五

一

十六

一百二十二

五百一十二

一千五百六十三

三千八百八十八

八千四百零四

一万六千三百八十四

二万九千五百二十五

五万

A191485

六

一

三十二

三百六十五

二千零四十八

七千八百一十三

二万三千三百二十八

五万八千八百二十五

十三万一千零七十二

二十六万五千七百二十一

五十万

A191499

七

一

六十四

一千零九十四

八千一百九十二

三万九千零六十三

十三万九千九百六十八

四十一万一千七百七十二

一百零四万八千五百七十六

二百三十九万一千四百八十五

五百万

A191491

八

一

一百二十八

三千二百八十一

三万二千七百六十八

十九万五千三百一十三

八十三万九千八百零八

二百八十八万二千四百零一

八百三十八万八千六百零八

二千一百五十二万三千三百六十一

五千万

A191495

九

一

二百五十六

九千八百四十二

十三万一千零七十二

九十七万六千五百六十三

五百零三万八千八百四十八

二千零一十七万六千八百零四

六千七百一十万八千八百六十四

一亿九千三百七十一万零二百四十五

五亿

A191496

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

A000 0 12

A000 0 79

A000 7051

A000 4171

A034

A081341

A034 492

A09811

A0838

A093143

…

A19168

从表中可以看出，在普通细胞的列M和列S中放置数…那个
存在手段…M中的偶自然数的组成部分不大于S，它们是

14个均匀自然数组成的3个部分，每个部分不大于2个，它们是

${DeStudioType（0，0，0）\，}$

${DeStudioType（0，1，1），（1，0，1），（1，1 0），0，0，2），（0，2，0），（2，0，0）\，}$

${DeStudioType（0，2，2），（2，0，2），（2，2，0），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）\，}$

${DISPLAYTYPE（2，2，2）\，}$

13个均匀自然数组成的2个部分，每个部分不大于4个，它们是

${DISPLAYTYPE（0，0）\，}$

${DeStudioType（0，2），（2，0），（1，1）\，}$

${DeStudioType（0，4），（4，0），（1，3），（3，1），（2，2）\，}$

${DeStudioType（2,4），（4，2），（3，3）\，}$

${DeStudioType（4，4）\，}$

25个均匀自然数组成的2个部分，每个部分不大于6个，它们是

${DISPLAYTYPE（0，0）\，}$

${DeStudioType（0，2），（2，0），（1，1）\，}$

${DeStudioType（0，4），（4，0），（1，3），（3，1），（2，2）\，}$

${DeStudioType（0，6），（6，0），（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3）\，}$

${DeStudioType（2,6），（6，2），（3，5），（5，3），（4，4）\，}$

${DeStudioType（4，6），（6，4），（5，5）\，}$

${DeStudioType（6，6）\，}$

m个部分中奇数自然数的组成不大于S

以表示

${DePosivsO{{M}（s）＝C{{m，O}（I{{S+1 }），S\Geq 0 \ }$

m个部分中偶偶数的构成数不大于S，然后从[e]为m，s>＝0。

${DePosivisO{{M}（s）＝{BigG\L楼层}{{Frace{ 1 }{ 2 }}左（（s+ 1）^ {m } -{\Frace{ 1 +（-1）^ {s}}{ 2 }} {{Bigg\r楼}}，}$

使用这个公式，我们可以在m行的共同单元中按行m、m＞0和列s、s>＝0构造表。

表的列S，我们将奇数自然数的构成数设为集合上的m个部分。

Mathematica代码：表[表] [**（k+1）1（n+（1 +（-1）^ k）/ 2）]，{n，0，9}，{k，0，9}[]

米氏

零

一

二

三

四

五

六

七

八

九

…

零

零

零

零

零

零

零

零

零

零

零

A000 000 04

一

零

一

一

二

二

三

三

四

四

五

A000 45 26

二

零

二

四

八

十二

十八

二十四

三十二

四十

五十

.

A000 75 90

三

零

四

十三

三十二

六十二

一百零八

一百七十一

二百五十六

三百六十四

五百

A03687

四

零

八

四十

一百二十八

三百一十二

六百四十八

一千二百

二千零四十八

三千二百八十

五千

A19303

五

零

十六

一百二十一

五百一十二

一千五百六十二

三千八百八十八

八千四百零三

一万六千三百八十四

二万九千五百二十四

五万

A19192

六

零

三十二

三百六十四

二千零四十八

七千八百一十二

二万三千三百二十八

五万八千八百二十四

十三万一千零七十二

二十六万五千七百二十

五十万

A19101

七

零

六十四

一千零九十三

八千一百九十二

三万九千零六十二

十三万九千九百六十八

四十一万一千七百七十一

一百零四万八千五百七十六

二百三十九万一千四百八十四

五百万

A191900

八

零

一百二十八

三千二百八十

三万二千七百六十八

十九万五千三百一十二

八十三万九千八百零八

二百八十八万二千四百

八百三十八万八千六百零八

二千一百五十二万三千三百六十

五千万

A191899

九

零

二百五十六

九千八百四十一

十三万一千零七十二

九十七万六千五百六十二

五百零三万八千八百四十八

二千零一十七万六千八百零三

六千七百一十万八千八百六十四

一亿九千三百七十一万零二百四十四

五亿

A191680

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

A000 000 04

A000 0 79

A000 34 62

A000 4171

A12831

A081341

A191680

A09811

A19168

A093143

…

A1923 96

从表中我们可以看出存在：

13个奇数自然数组成的3个部分，每个部分不大于2个，它们是

${DeStudioType（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0）\，}$

${DeStudioType（1,1,1），（0,1,2），（0,2，1），（1，0，2），（1，2，0），（2，0，1），（2，1，0）\，}$

${DeStudioType（1,2，2），（2，1，2），（2，2，1）\，}$

12个奇数自然数组成的2个部分，每个部分不大于4个，它们是

${DeStudioType（0，1），（1，0）\，}$

${DeStudioType（0，3），（3，0），（1，2），（2，1）\，}$

${DeStudioType（1,4），（4，1），（2，3），（3，2）\，}$

${DeStudioType（3,4），（4，3）\，}$

24个奇数自然数组成的2个部分，每个部分不大于6个，它们是

${DeStudioType（0，1），（1，0）\，}$

${DeStudioType（0，3），（3，0），（1，2），（2，1）\，}$

${DeStudioType（0，5），（5，0），（1，4），（4，1），（2，3），（3，2）\，}$

${DeStudioType（1,6），（61,1），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3）\，}$

${DeStudioType（3，6），（6，3），（4，5），（5，4）\，}$

${DeStudioType（5，6），（6，5）\，}$

评论

符号${DeStudioType {\BIOM}{M}{{K}}{{}}，}$不要混淆高斯二项系数

推荐信

1. B. A. Bondarenko，广义Pascal三角形和金字塔（在俄语），FANE，塔什干，1990，ISBN 5-64—0733-8。圣克拉拉圣克拉拉斐波纳契协会英文翻译，圣克拉拉，CA，1993。
2. V. N. Sachkov，组合分析中的概率方法，剑桥，1997。
3. Adi Dani，自然数的准数，马其顿数学家大会第29次会议，Struga MaGeNoNi IX - 2 X 2005页225-228