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用户:自然数的Adi Dani /限制合成

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自然数的限制性合成

Adi Dani,五月2011年6月

关键词:集上偶自然数的组合
奇数自然数合成为集合上的部分。
关注序列:A000 0 12A000 0 79A000 7051A000 4171A034A081341A034 492A09811A0838A093143A191485A171714A03686A6A000 0982AA000 45 26A191499A191491A191495A191496

集上M个部分的自然数K的合成IS

定义

由…表示小于给定自然数m(0)的所有自然数集

在自然数n集合中)。


m序列满足条件的自然数



称为M集上的自然数K的合成。以表示



自然数k的组合集为M集合上的m个部分



集上m个部分的自然数k的合成数IS. 这个数字



称为S标准系数S>0。对于S=2,我们得到二项式系数,在这种情况下,我们写。


这些数在组合数学中起着中心作用。

从定义出发,自然m数为m>0



带边界值



我们推广了这种情况,对于M=0的用法


递归关系

从定义遵循


βi

这样我们就可以复发了。


[R]

对称性定理


假设然后从定义上遵循



然后组成


β


因为


βγ


和γ对于每一个


相反地

假设然后从定义上遵循



然后组成


β


因为


γγ


对于每一个


这意味着


β


最后得到对称性定理。


β

生成函数

α~(Ⅱ)


自古以来我们最终得到


[G]


正因为


βγ


我们有。


[G1]


从[g]为S=2,我们得到二项式公式。



现在我们使用泰勒扩展



很清楚



可以改写为



这个公式计算二项式系数的值。也可通过递归关系或组合方法进行归纳。

M集的K子集数

我们可以在自然数k的集合集合之间找到一个集合上的m个集合。M集的k-子集。

{ }由α表示的M集集的K子集γ

和由集数k组成M集的集合

让我们证明这两个集合是等价的。

假设然后,对于每一个我们写如果如果γ

因此,我们定义了m序列这是K数为M部分的组合.


β


相反。如果是然后,这个组成包含K成分等于1,我们可以定义一个

K集那意味着因此,从双射原理出发,我们得出结论:


β1

S-正态与二项式系数之间的关系

从[g’]我们有


β


从二项式公式


β


从泰勒公式


γ


现在我们有


β


α~(Ⅱ)

α~(Ⅱ)

α~(Ⅱ)



对于s+j=k,遵循j=k- Si i,然后将系数与x跟随公式等价。


[某人]


范德蒙德的阶数恒等式




追随范德蒙德的秩序身份



S=2的这个恒等式通常是范德蒙德的恒等式。〔1〕

从M= n的范德蒙德恒等式和k= m(s-1)出发,考虑对称性,得到了公式。


[V]:


将自然数合成数的平方和设为集合上的M个部分。

自然数在M中的成分S

以表示


M部分中自然数的组成数IS

如果在[g]我们放X= 1给予


[S1]


一个简单的计算自然数合成数的公式,很明显




以表示



偶自然数的组合数


并且通过


奇自然数的合成数从定义出发,遵循M=0



假设在[g1] m=0,s-奇数和x=- 1,则我们得到不定形式的0 ^ 0另一方面这个公式。
对于M>0,X=1,因为表达式(1 -(-1)^ s)/2对于S偶数是0,s奇异表达式为1((1 -(1)^)/2)^ m。

在m>0上不刻画m,在(1 -(1)^ s)/ 2表示eqQUAL(2),表示m>0是有效的。


[S2]:


假设m>0,则从[s1]和[s2]得到系统。



解决方案是


β

β


最后,如果我们使用天花板和地板函数,因为m=0,S>1。


βγ

β


m>0,S>1


β

β


对于m>0,S>1,我们得到以下紧致公式


[E]

[O]


第一个公式给出了偶集上M个偶数的偶数的个数。

公式给出了奇数自然数的组成数为M部分的过集。

广义斐波那契数列

M部分中偶自然数的组成不大于S

以表示



偶自然数的组成数为m(S)=0的M部分,S==1。



使用这个公式,我们可以在m行的共同单元中按行m、m>0和列s、s>=0构造表。

表的列S,将偶数自然数的个数设为集合上的m个部分。

Mathematica代码:表格[[天花板] [1/2*((k+ 1)^ n+(1 +(-1)^ k)/ 2)],{n,0,9},{k,0,9}[]


米氏
A000 0 12
A000 45 26
十三 十八 二十五 三十二 四十一 五十 . A000 0982A
十四 三十二 六十三 一百零八 一百七十二 二百五十六 三百六十五 五百 A03686A6
四十一 一百二十八 三百一十三 六百四十八 一千二百零一 二千零四十八 三千二百八十一 五千 A171714
十六 一百二十二 五百一十二 一千五百六十三 三千八百八十八 八千四百零四 一万六千三百八十四 二万九千五百二十五 五万 A191485
三十二 三百六十五 二千零四十八 七千八百一十三 二万三千三百二十八 五万八千八百二十五 十三万一千零七十二 二十六万五千七百二十一 五十万 A191499
六十四 一千零九十四 八千一百九十二 三万九千零六十三 十三万九千九百六十八 四十一万一千七百七十二 一百零四万八千五百七十六 二百三十九万一千四百八十五 五百万 A191491
一百二十八 三千二百八十一 三万二千七百六十八 十九万五千三百一十三 八十三万九千八百零八 二百八十八万二千四百零一 八百三十八万八千六百零八 二千一百五十二万三千三百六十一 五千万 A191495
二百五十六 九千八百四十二 十三万一千零七十二 九十七万六千五百六十三 五百零三万八千八百四十八 二千零一十七万六千八百零四 六千七百一十万八千八百六十四 一亿九千三百七十一万零二百四十五 五亿 A191496
A000 0 12 A000 0 79 A000 7051 A000 4171 A034 A081341 A034 492 A09811 A0838 A093143 A19168

从表中可以看出,在普通细胞的列M和列S中放置数…那个
存在手段…M中的偶自然数的组成部分不大于S,它们是

14个均匀自然数组成的3个部分,每个部分不大于2个,它们是

13个均匀自然数组成的2个部分,每个部分不大于4个,它们是

25个均匀自然数组成的2个部分,每个部分不大于6个,它们是

m个部分中奇数自然数的组成不大于S

以表示



m个部分中偶偶数的构成数不大于S,然后从[e]为m,s>=0。



使用这个公式,我们可以在m行的共同单元中按行m、m>0和列s、s>=0构造表。

表的列S,我们将奇数自然数的构成数设为集合上的m个部分。


Mathematica代码:表[表] [**(k+1)1(n+(1 +(-1)^ k)/ 2)],{n,0,9},{k,0,9}[]


米氏
A000 000 04
A000 45 26
十二 十八 二十四 三十二 四十 五十 . A000 75 90
十三 三十二 六十二 一百零八 一百七十一 二百五十六 三百六十四 五百 A03687
四十 一百二十八 三百一十二 六百四十八 一千二百 二千零四十八 三千二百八十 五千 A19303
十六 一百二十一 五百一十二 一千五百六十二 三千八百八十八 八千四百零三 一万六千三百八十四 二万九千五百二十四 五万 A19192
三十二 三百六十四 二千零四十八 七千八百一十二 二万三千三百二十八 五万八千八百二十四 十三万一千零七十二 二十六万五千七百二十 五十万 A19101
六十四 一千零九十三 八千一百九十二 三万九千零六十二 十三万九千九百六十八 四十一万一千七百七十一 一百零四万八千五百七十六 二百三十九万一千四百八十四 五百万 A191900
一百二十八 三千二百八十 三万二千七百六十八 十九万五千三百一十二 八十三万九千八百零八 二百八十八万二千四百 八百三十八万八千六百零八 二千一百五十二万三千三百六十 五千万 A191899
二百五十六 九千八百四十一 十三万一千零七十二 九十七万六千五百六十二 五百零三万八千八百四十八 二千零一十七万六千八百零三 六千七百一十万八千八百六十四 一亿九千三百七十一万零二百四十四 五亿 A191680
A000 000 04 A000 0 79 A000 34 62 A000 4171 A12831 A081341 A191680 A09811 A19168 A093143 A1923 96

从表中我们可以看出存在:

13个奇数自然数组成的3个部分,每个部分不大于2个,它们是

12个奇数自然数组成的2个部分,每个部分不大于4个,它们是

24个奇数自然数组成的2个部分,每个部分不大于6个,它们是

评论

符号不要混淆高斯二项系数

推荐信

  1. B. A. Bondarenko,广义Pascal三角形和金字塔(在俄语),FANE,塔什干,1990,ISBN 5-64—0733-8。圣克拉拉圣克拉拉斐波纳契协会英文翻译,圣克拉拉,CA,1993。
  2. V. N. Sachkov,组合分析中的概率方法,剑桥,1997。
  3. Adi Dani,自然数的准数,马其顿数学家大会第29次会议,Struga MaGeNoNi IX - 2 X 2005页225-228