关系

A类有限关系由下面给出的一个正式定义定义。

基本思想是推广两位关系的概念，例如平等用符号“ ${\显示样式=}$ “在这样的声明中 ${\显示样式5+7=12}$ 或其关系秩序用符号“ ${\显示样式{<}}$ “在这样的声明中 ${\显示样式5<12.}$ 涉及两个人的关系地点或角色被称为二元关系一些人和并元关系其他人认为，后者在历史上是优先的，但在必要时也有用，以避免与二进制（以2为基数）数字.

通过考虑位置或角色数量增加但仍然有限的关系，推广了双位置关系的概念。这些被称为有限位置或有限的关系。有限关系涉及 ${\显示样式k}$ 地方被称为 ${\显示样式k}$ -ary系列, ${\显示样式k}$ -阿迪奇，或 ${\显示样式k}$ -维度的关系。数字 ${\显示样式k}$ 然后称为arity公司，的根基，或维关系的第三方。

非正式介绍

定义关系下一节中给出的概念实际上是日常生活中非常熟悉的概念。例如，考虑一下这种关系，它涉及人们可能扮演的三个角色，用一种形式的陈述来表达 $｛\displaystyleX~｛\text｛怀疑｝~Y~｛\text｛点赞｝~Z｝$ 具体情况的事实可以用如下表格的形式组织：

${\显示样式{\text{Relation}}~S~：~X~{text{怀疑}}~Y~{text}likes}}~Z}$
${\显示样式{\text{Person}}~X}$	${\显示样式{\text{Person}}~Y}$	${\显示样式{\text{Person}}~Z}$
${\显示样式{\text{Alice}}}$	${\显示样式{\text{Bob}}}$	${\显示样式{\text{丹尼斯}}}$
${\显示样式{\text{Charles}}}$	${\显示样式{\text{Alice}}}$	${\显示样式{\text{Bob}}}$
${\显示样式{\text{Charles}}}$	${\显示样式{\text{Charles}}}$	${\显示样式{\text{Alice}}}$
$｛\displaystyle｛\text｛Denise｝｝｝$	${\显示样式{\text{丹尼斯}}}$	${\显示样式{\text{丹尼斯}}}$

表中的每一行记录一个事实或声明一个形式 ${\显示样式X~{\text{怀疑}}~Y~{\text{likes}}~Z.}$ 例如，第一行实际上说， ${\displaystyle{\text{Alice怀疑Bob喜欢Denise。}}}$ 该表表示一种关系 ${\显示样式S}$ 在集合上 ${\显示样式P}$ 讨论中的人：

显示样式P~=~\{{text{Alice}}，{text{Bob}}、{text{Charles}}和{text{Denise}}}}

表中的数据相当于以下一组有序三元组：

${\显示样式{\开始{矩阵}S&=&\{&{text{（Alice，Bob，Denise）}}，&{text}（Charles，Alice，鲍勃）}}}$

由于稍微过度使用了符号，通常写 $显示样式S（{text{Alice}}，{text{Bob}}和{text{Denise}}）}$ 表示与表的第一行相同的内容。关系 ${\显示样式S}$ 是一个三元的或三元的关系，因为有三每行中涉及的项目。关系本身是一个数学对象，用集合论中的概念定义，它将表中的所有信息打包在一起。

关系表 ${\显示样式S}$ 是关系数据库的一个非常简单的示例。数据库的理论方面是计算机科学的一个分支的专业，而它们的实际影响在我们的日常生活中已经非常熟悉。然而，当计算机科学家、逻辑学家和数学家看到这些关系的更一般概念的具体示例和示例时，他们往往会看到不同的东西。

首先，数据库是为了处理经验数据而设计的，经验总是有限的，而数学如果不考虑无穷大，至少是潜在的无穷大，就什么都不是。这种视角上的差异带来了一些想法，如果不是深入讨论的话，那么在这一点上介绍这些想法是很有用的。

示例1。可分割性

数学中两位关系的一个更典型的例子是可分割性两个正整数之间 ${\显示样式n}$ 和 ${\显示样式m}$ 可以用以下语句表达 ${\显示样式{}^{\backprime\backprime}n~{\text{divides}}~m{}^}\prime\prime}}$ 或 ${\显示样式{}^{\backprime\backprime}n~{\text{进入}}~m{}^}\prime\prime}.}$ 这是一种经常出现的关系 ${\显示样式{}^{\backprime\backprime}|{}^{\prime\prime}}$ 保留来表达它，允许一个人写 $｛\displaystyle｛｝^｛\backtime\backtime｝n | m｛｝^｛\prime\prime｝｝$ 对于 ${\显示样式{}^{\backprime\backprime}n~{\text{divides}}~m{}^}\prime\prime}.}$

为了用集合来表示可除性的二元关系，我们有一个集合 $｛\displaystyle P｝$ 正整数， ${\显示样式P=\{1,2,3，\ldots\}，}$ 我们有二元关系 ${\显示样式D}$ 在 ${\显示样式P}$ 这样，有序的对 ${\显示样式（n，m）}$ 在关系中 ${\显示样式D}$ 以防万一 ${\显示样式n|m.}$ 在其他常用的短语中，一个表示数字 ${\显示样式n}$ 与相关 ${\显示样式D}$ 到数字 $｛\displaystyle m｝$ 以防万一 ${\显示样式n}$ 是一个因素 ${\显示样式m，}$ 也就是说，以防万一 ${\显示样式n}$ 划分 $｛\displaystyle m｝$ 没有剩余。关系 ${\显示样式D，}$ 作为一组有序对，由所有数对组成 $｛\displaystyle（n，m）｝$ 这样的话 ${\显示样式n}$ 划分 ${\显示样式m.}$

例如， ${\显示样式2}$ 是一个因素 ${\显示样式4，}$ 和 ${\显示样式6}$ 是一个因素 ${\显示样式72，}$ 哪两个事实可以写成 ${\显示样式2|4}$ 和 ${\显示样式6|72}$ 或作为 ${\显示样式D（2,4）}$ 和 ${\显示样式D（6,72）.}$

正式定义

有两种定义 ${\显示样式k}$ -数学中常见的位置关系。为了简单起见，这些定义中的第一个定义如下：

定义1。A类关系 ${\显示样式L}$ 在集合上 ${\显示样式X_{1}，\ldots，X_{k}}$ 是笛卡尔乘积的子集 ${\显示样式L\subseteq X_{1}\times\ldots\times X_{k}.}$ 根据这个定义 ${\显示样式k}$ -ary关系只是一组 ${\显示样式k}$ -元组。

第二个定义使用了数学中常见的一个习语，即“某某是一个 ${\显示样式n}$ -元组”表示定义的数学对象由 ${\显示样式n}$ 组件数学对象。在关系的情况下 ${\显示样式L}$ 结束 ${\显示样式k}$ 套，有 ${\显示样式k+1}$ 要指定的内容，即 ${\显示样式k}$ 集合加上其笛卡尔积的子集。在成语中，这表示为 ${\显示样式L}$ 是一个 ${\显示样式（k+1）}$ -元组。

定义2。A类关系 ${\显示样式L}$ 在集合上 $｛\displaystyle X_｛1｝，\ldots，X_｛k｝｝$ 是一个 ${\显示样式（k+1）}$ -元组 $显示样式L=（X_{1}，\ldots，X_{k}，\tathrm{graph}（L）），}$ 哪里 ${\显示样式\mathrm{graph}（L）}$ 是笛卡尔积的子集 ${\显示样式X_{1}\times\ldots\times X_{k}}$ 调用了图表属于 ${\显示样式L}$

关系的元素有时用粗体字符表示，例如常量元素 ${\displaystyle\mathbf{a}=（a{1}，\ldots，a{k}）}$ 或变量元素 ${\displaystyle\mathbf{x}=（x{1}，\ldots，x{k}）。}$

表格声明“ ${\显示样式\mathbf{a}}$ 在关系中 ${\显示样式L}$ “被认为是指 ${\显示样式\mathbf{a}}$ 在中 ${\显示样式L}$ 根据第一个定义 $｛\displaystyle\mathbf｛a｝｝$ 在中 ${\显示样式\mathrm{graph}（L）}$ 根据第二个定义。

以下注意事项适用于任一定义：

成套设备 $｛\displaystyleX_｛j｝｝$ 对于 ${\显示样式j=1~{\text{to}}~k}$ 被称为域关系的。在第一个定义的情况下，关系本身并不唯一地确定给定的域序列。

如果所有域 $｛\displaystyleX_｛j｝｝$ 是同一套 ${\显示样式X，}$ 然后 ${\显示样式L}$ 更简单地称为 ${\显示样式k}$ -上的ary关系 ${\显示样式X.}$

如果任何域 ${\显示样式X_{j}}$ 为空，则笛卡尔积为空，并且在这种域序列上的唯一关系是空关系 ${\显示样式L=\varnothing。}$ 关系概念的大多数应用程序都会撇开这个琐碎的情况，并假设所有域都是非空的。

如果 ${\显示样式L}$ 是域上的关系 ${\显示样式X_{1}，\ldots，X_{k}，}$ 通常考虑一系列称为变量, ${\显示样式x{1}，\ldot，x{k}，}$ 据说范围超过各自的域。

A类布尔域 ${\显示样式\mathbb{B}}$ 是一个通用的2元素集，例如， ${\显示样式\mathbb{B}=\{0,1\}，}$ 其元素通常被解释为逻辑值 ${\显示样式0=\mathrm{false}}$ 和 ${\显示样式1=\mathrm{true}.}$

这个特征函数关系的 ${\显示样式L，}$ 书面的 ${\显示样式f_{L}}$ 或 ${\显示样式\chi（L），}$ 是布尔值函数 ${\显示样式f_{L}:X_{1}\times\ldots\times X_{k}\to\mathbb{B}，}$ 定义方式如下 ${\显示样式f_{L}（\mathbf{x}）=1}$ 以防万一 ${\显示样式k}$ -元组 ${\displaystyle\mathbf{x}=（x{1}，\ldots，x{k}）}$ 在关系中 ${\显示样式L}$ 关系的特征函数也可以称为指示器功能尤其是在概率和统计背景下。

在应用数学、计算机科学和统计学中，通常指布尔值函数，如 $｛\displaystylef_｛L｝｝$ 作为一个 ${\显示样式k}$ -地点谓语从形式逻辑和模型理论的更抽象观点来看 ${\显示样式L}$ 被视为构成逻辑模型或a关系结构这是对应的许多可能的解释之一 ${\显示样式k}$ -地点谓词符号，因为该术语用于谓词演算.

由于许多研究传统的融合，用于描述关系的语言有很大的差异。 The伸展的本文中提出的方法将关系视为集合理论延伸关系概念或术语。另一种选择，内涵式方法保留期限关系到相应的逻辑实体逻辑理解，这是强度或抽象属性外延关系的所有元素都有共同点，或者用来表示这些元素和内涵的符号。

示例2。共面性

对于线条 ${\显示样式\ell}$ 在三维空间中，有一个三元关系，可以找出共面的三条直线。这并不能归结为线对之间共面性的并元关系。

换句话说，写作 ${\显示样式P（\ ell，m，n）}$ 当线条 ${\显示样式\ell，m，n}$ 躺在飞机上 $｛\displaystyle Q（\ell，m）｝$ 对于二元关系，这不是真的 ${\显示样式Q（\ell，m），}$ ${\显示样式Q（m，n），}$ 和 ${\显示样式Q（n，\ell）}$ 一起暗示 ${\显示样式P（\ ell，m，n），}$ 虽然反过来肯定是正确的：三条共面线中的任何两条都必须共面。这有两个几何原因。

在一种情况下，例如 ${\显示样式x}$ -轴， ${\显示样式y}$ -轴，和 ${\显示样式z}$ -轴，这三条线是同时的，也就是说，它们在一个点上相交。在另一种情况下， $｛\displaystyle\ell，m，n｝$ 可以是无限三棱镜的三条边。

事实上，如果每对线相交，并且交点是不同的，那么两两共面意味着三元组的共面性。

${\显示样式L（a）}$	一元或一元关系，换句话说，一种性质或集合
${\显示样式L（a，b）~{\text{或}}~aLb}$	二元或二元关系
${\显示样式L（a，b，c）}$	三元或三元关系
$｛\displaystyle L（a，b，c，d）｝$	四元或四元关系
${\显示样式L（a，b，c，d，e）}$	五元或五元关系

超过五个术语的关系通常称为 ${\显示样式k}$ -adic或 ${\显示样式k}$ -例如，六元、六元或六元关系。

工具书类

皮尔斯，C.S。（1870），“对布尔逻辑演算概念的放大所产生的相对论逻辑符号的描述”，美国艺术与科学学院回忆录9, 317–378, 1870. 重印，收集的论文CP 3.45–149，年表版CE 2，359–429。

Ulam，S.M.和Bednarek，A.R.（1990），“关于并行计算的关系结构和模式理论”，第477–508页，载于A.R.Bednarek和Françoise Ulam（编辑），类比之间的类比：S.M.Ulam及其洛斯阿拉莫斯合作者的数学报告加州大学伯克利分校出版社。

参考文献

Bourbaki，N.（1994），数学史要素约翰·梅尔特伦（John Meldrum）（翻译），施普林格·弗拉格（Springer-Verlag），德国柏林。

哈尔莫斯，P.R.（1960），朴素集理论，D.Van Nostrand公司，新泽西州普林斯顿。

Lawvere，F.W.和Rosebrugh，R.（2003），数学集合，剑桥大学出版社，英国剑桥。

Maddux，R.D.（2006），关系代数《逻辑和数学基础研究》，第150卷，爱思唯尔科学。

Mili，A.、Desharnais，J.、Mili，F.和Frappier，M.（1994），计算机程序构造，牛津大学出版社，纽约，纽约。

Minsky，M.L.和Papert，S.A.（1969/1988），Perceptrons，计算几何导论麻省理工学院出版社，马萨诸塞州剑桥，1969年。扩充版，1988年。

皮尔斯，C.S。(1984),查尔斯·S·皮尔斯的作品：编年史版，第2卷，1867年至1871年《皮尔斯版项目》（编辑），印第安纳大学出版社，印第安纳州布卢明顿。

Royce，J.（1961），逻辑原理，纽约州纽约市哲学图书馆。

Tarski，A.（1956/1983），逻辑、语义、元数学，1923年至1938年的论文J.H.Woodger（译），第1版，牛津大学出版社，1956年。第二版，J.Corcoran（编辑），哈科特出版社，印第安纳波利斯，1983年。

Ulam，S.M.（1990），类比之间的类比：S.M.Ulam及其洛斯阿拉莫斯合作者的数学报告A.R.Bednarek和Françoise Ulam（编辑），加州大学出版社，加州伯克利。

Venetus，P.（1984），Logica Parva，1472年版译本，附引言和注释Alan R.Perreiah（翻译），Philosophia Verlag，德国慕尼黑。

资源

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