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庞加莱猜想


在最初的形式中,庞加莱猜想指出简单连接的 关闭三歧管是同胚的到三个球体(在拓扑学家的意义上)序号^3,其中三个球体只是通常的一对一较高的。更通俗地说,这个猜想说三个球体是唯一的可能的有界三维空间类型,其中不包含孔。这个推测由H.Poincaré于1904年首次提出和498),并随后推广到每个契约 n个-歧管同伦-相当于n个-球体若(iff)它是同胚的n个-.广义语句简化为原始语句推测n=3.

庞加莱猜想自提出以来一直是一个棘手的问题,对它的研究不仅导致了许多错误的证明,而且也加深了它的研究在理解拓扑属于歧管(米尔诺)。最早的错误证明之一是由于庞加莱本人(1953年,第370页),在提出他的猜想之前四年庞加莱随后发现了一个反例。1934年,怀特海(Whitehead)(1962年,第21-50页)提出了另一个错误的证明,然后发现了一个反例(怀特黑德链接)他自己的定理。

这个n=1广义猜想的情况是平凡的n=2案例是经典的(19世纪数学家都知道),n=3(最初的推测)似乎已经被G.佩雷尔曼最近的工作证明了(尽管证据尚未完全核实),n=4被弗里德曼(1982)证明(为此他被授予1986年菲尔兹奖章),n=5塞曼(1961)证明了这一点,n=6由Stallings(1962)创立n> =71961年由Smale出品(尽管后来Smale将他的证明扩展到包括所有n> =5).

克莱数学研究所(Clay Mathematics Institute)在其价值100万美元的奖金问题列表中列入了这一猜想。2002年4月,M.J。邓伍迪写了一篇五页纸的论文,旨在证明这一猜想。然而,邓伍迪的手稿很快就被发现存在根本性的缺陷(韦斯坦2002)。

佩雷尔曼(2002年、2003年;罗宾逊2003年)的工作确立了一个更普遍的结果,称为瑟斯顿几何化猜想庞加莱猜想由此而来。佩雷尔曼氏随后,工作得到了验证,从而建立了猜想。


另请参见

紧凑型歧管,弗里德曼定理,同胚的,同源性,超球体,歧管,财产P,很简单有联系的,斯梅尔定理,球体,Stallings-Zeeman定理,瑟斯顿椭圆化猜想,瑟斯顿的几何化推测,拓扑结构,怀特黑德链接

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引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“彭加莱猜想。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PoincareConjecture.html

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