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平面-平面相交


两个平面总是在线只要不是平行的,平行的。将平面指定为黑森范式,然后是交叉线必须与两者垂直n_1中^^氮气^^,这意味着它与

 a=n_1^^xn_2^^。
(1)

为了唯一地指定直线,还需要在其上找到一个特定点。这可以通过在两个平面上同时找到一个点来确定,即一个点x_0满足

n_1^^·x_0=-第1页
(2)
n_2^^·x_0=-第2页。
(3)

一般来说,这个系统是不确定的,但可以通过设置z_0=0(假设z(z)-组件属于一不是0;或其他类似情况)并解决。方程那么交叉线是

 x=x0+ta
(4)

(盖勒特等。1989年,第542页)。避免特殊情况的一般方法上述所需的治疗是定义

米=[n_1^^n_2^]^(T)
(5)
b条=-[第1页;第2页]。
(6)

然后使用线性求解技术来找到特定的解决方案x_0mx0=b,方向向量将由无效的空间属于米.

让三个平面由三个点指定(x(ij),y(ij,z(i,j))哪里i、 j=1, 2, 3,我表示飞机编号和j表示j第个点我第个平面。同时点(x,y,z)可以通过以下方式直接获得(如果很费力的话)同时求解因每个曲面的共面性而产生的三个方程带有的飞机(x,y,z)即。,

 |x y z 1;x(i)y(i)z(i)1;x(i2)y(i)z(i)1;x(i3)y(i3
(7)

对于i=1,2、3使用克莱默法则.

平面-平面交叉

如果三个平面都由一个点指定x(_k)和单位法向量n_k中^^,然后是唯一的交点x个由提供

 x=((x_1·n_1^^)(n_2^^xn_3^)+(x_2·n_2^),
(8)

哪里|n_1^n_2^n_3^^|行列式矩阵通过写入向量形成n _ i^^并排。如果两个平面平行,那么

 |n_1^^n_2^n_3^^|=0,
(9)

并且没有交叉点(盖勒特等。1989年,第542页;高盛,1990年)。可以很容易地检查黑森(Hessian)标准形.

共享一条公共线的一组平面称为一层平面,而共享一个公共点的一组平面称为飞机数量.


另请参见

飞机束,扁平,平行平面,平面,平面的剪切

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盖勒特,W。;哥特瓦尔德,S。;海尔威奇,M。;Kästner,H。;和Künstner,H.(编辑)。越南盾简明数学百科全书,第二版。纽约:Van Nostrand Reinhold,第541-543页,1989年。Goldman,R.“三个平面的交点”绘图宝石I(编辑A.S.Glassner)。圣地亚哥:学术出版社,第305页,1990

参考Wolfram | Alpha

平面-平面相交

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“平面-平面交叉。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Plane-PlaneIntersection.html

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