什么导致收敛的迭代连分式收敛？

Question

这是我几周前偶然发现的一个小发现。我希望至少有一个人会觉得它很有趣，能够帮助我。收敛（或收敛常数）的迭代连分式在https://oeis.org/wiki/Convergents_constant网站。除此之外，您会发现在2和3之间随机选择的数字的收敛常数为2.3484074702792306……，但对于2.1、2.2、2.5以及其他一些值，情况并非如此。同样，对于大多数0<x<1，相同的连分式迭代过程返回0.5557531042780459……，但对于x=0.1、0.11、0.12、0.2、0.25、0.34、0.35、0.43、0.45、049、0.5、0.65、0.75，一些值<66/1477，可能还有一些其他值，情况并非如此。

我想知道为什么这些数字和类似的数字是规则的例外。

Answer 1

如果我们考虑使用连续分形估值的矩阵表示来表示该迭代，可能会出现更多的光。
这里我们在矩阵序列中插入cf的系数，其形式为
$\qquad M_0（a）=\begin{bmatrix}0&1\\1&a\end{bmatricx}$
对于根据cf中系数的矩阵乘积，允许使用广义符号
$\qquad M_0（a，b，c，…，h）=M（a）*M（b）**M（小时）$

迭代是指用于新连分数的部分乘积：
$\qquad M_1（a）=M_0（a）；M_1（b）=M_0（a）*M_0；\ldot公司$

这很容易编程，例如在Pari/GP中。不幸的是，这并不完全成立：此过程创建的$M_1（）$与$\qquad\begin{bmatrix}0&1\\1&a\end{bmatricx}格式不兼容$
，它们在中具有通用（整数）值全部的四个条目；因此，不要反映所需的“simple-continued-fraction”表示。因此，为了按照您在问题中描述的方式对过程进行建模，我们需要进行一些规范化。

我接下来尝试的是在一在$M_1（a）$-so$M_1（a）=M_0（a）中；M_1（b）=M_0（{ab+1\over b}），根据部分收敛性的计算。但这仍然需要另一种类型的重新规范化（它不会导致相同的极限值），因为系数的分数部分现在必须“转移”到其余的控制表达式。

但也许我们在这里找到了影响，为什么迭代连分式的前导系数收敛到某个常数：因为在计算后续系数后，系数分数部分的某个阈值无法再被克服（在下一次迭代中）。但我看不太清楚。。。