A类首要的是一个整数那个有确切地 2 积极的 约数.
这不包括1哪个是非素数素数的定义是“可被自身和一整除的数”。1不是质数.

这也意味着-1不是素数,因为-1没有两个正除数。而且,-3是质数。

A类首要的数字是一个整数它只能被一和它自己整除。3可以被1和3整除,是素数。6可以被1、2、3和6整除,并且不是素数。1不算作素数,使2成为第一个素数即使质数。

下面是素数及其应用的简要列表,如E2所示/向我发送任何附加消息。


向上^

古人首先对素数进行了广泛的研究希腊人数学家。这个毕达哥拉斯语感兴趣的学校(公元前500年至公元前300年)命理学属性。欧几里得到了公元前300年,关于素数的几个重要结果已经被证明。欧几里德继续证明素数的数量是无限的。这是已知的第一个使用还原为荒谬欧几里德也证明了算术基本定理:每个整数都可以用一种本质上独特的方式写成素数的乘积。公元前200年,埃拉托斯坦设计了一种算法用于计算称为埃拉托斯坦筛.

素数的历史在黑暗时代.

下一个重大发展是由费马在17世纪。费马证明了阿尔伯特·吉拉德形式的每个质数4n+1可以用一种独特的方式写成两个平方和,任何数字都可以写成四个平方和。在与梅森,费马 推测d那个2n个+如果n是2的幂,那么1总是素数。他已经验证了n=1、2、4、8和16,但不知道232+1是不是最好的。100年后欧拉表明232+1是4294967297,可以被641整除,因此不是素数。

黄金时期的下一个主要步骤数论来自一位名叫梅森梅森研究了形式2的许多数字n个-1和一类命名为梅森数都是以他的名字命名的。这些数字引起了人们的注意,因为很容易证明,除非n是素数,否则这个数字必须混合成的。并非所有这些数字都是质数,尽管多年来(今天也是如此),它们提供了最大的质数。200年M19是迄今为止已知的最大的素数欧拉证明M31是质数。这又创造了100年的记录,直到M127在计算机时代之前是最好的。1952年,梅森数M521,男607,男1279,男2203和M2281在一个计算机.

Euler的工作扩展了Fermat与友好的数字并阐述了今天所称的二次互惠定律。欧拉还研究素数序列和发散级数。
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ...
是一个发散级数尽管即使是当今最强大的计算机也只能将其加起来约为4。

高斯研究了素数沿整数的密度。在前100个整数中有9个素数,而接下来的100个整数只有2个素数。高斯表明,在大范围内,分布是非常规则的。高斯曾经告诉一个朋友,每当他有空闲的15分钟,他就会用它来计算“辣椒(1000个数字的狂暴)。据估计,到他生命的尽头,他已经计算出了大约300万个素数。

今天,素数的计算仍在继续,最著名的是GIMPS公司,伟大的互联网梅森Prime Search。

这个原因因为不允许1作为首要的就是保持算术基本定理如果你可以说24=2*2*2*3=1*1*1*1*2*2*3都是24进入之内基本因子s、 分解不会独特的.

巴基斯坦关于“prime”不正确复数s整数环代数数s是的环高斯整数秒--表单的+具有a、 b条二者都整数s.在该环中,作为诺特太棒了高斯整数 显示,一个整数第页这是素数,因为整数是素数若(iff)它是表格4的k个+1.何时第页=4k个+1,Noether显示可以写入第页=2+b条2= (+)(-),所以第页素数。但自从规范 广场d日(绝对值)第页,共页±第页,自从范数平方任何高斯整数是整数乘法的,因此±它本身是一个素数高斯整数。

因此,我们可以对所有素数高斯整数进行分类。

嗯,这里写得很小,但除了2比a多一个还是少一个倍数第页,共6页。

所以如果你寻找素数或者测试一个数字是否是质数2/3给你的数字。


说得好,格里奇卡.好的,为了说明这是如何有用的:
查找基本因子数字的:
(在里面C类,让我的生活更轻松)

无效打印因子(整数){整数a、 b、限制;while((数字%2)==0)printf(“2*”,数字/=2);while((数字%3) ==0)打印f(“3*”,数字/=3);a=6-1;b=6+1;limit=isqrt(数字)/*整数平方根*/虽然(a<限制){while((数字%a)==0)打印(“%d*”,a,数字/=a);while((数字%b)==0)printf(“%天*“,b,数字/=b);a+=6;b+=6;}printf(“%d”,数字);}

(原谅我用额外的参数作弊打印f)
这大约需要2/3的时间古怪的数量,或1/3,只要检查过整数.

或者如果你想埃拉托斯坦筛由于某些原因,您可以通过根本不表示其他数字来节省时间和内存。有一个桌子对于6n+1的所有数字和6n-1的另一个数字。

以下是对狂犬病只有前两段;这不是对后来添加的C程序的批评。

嗯,我不认为这是有益的你怎么知道某件事是倍数第页,共6页?它必须是(a)2的倍数;(b) 3的倍数。

收件人检查(a) 看看最后一个数字检查(b)将所有数字相加(必要时重复),以查看其总和是否为可分割的3。这两种操作都很简单。

但任何数字都是

  1. 6的倍数
  2. 1大于6的倍数
  3. 2大于6的倍数
  4. 3大于6的倍数
  5. 4大于6的倍数
  6. 5大于6的倍数
这些可以通过以下方式进行检查
  1. (a)或(b),但(a)更容易
  2. 也不
  3. (a)
  4. (b)
  5. (a)
  6. 也不
大于5等于小于1(模6),因此剩下两种可能性狂犬病提到。但在任何情况下,你都不必(相对地)艰苦的工作检查(a)和(b)。o(1)算法(a) 消除一半和o(n个)算法(b)进一步消除了六分之一。

如果它仍然是候选人在这之后,你必须做一些工作,但它通过了这些测试,顺便告诉你它是6的倍数,加或减1,a匡威上一篇文章的观点。

这是上面两个陈述的证明。以防万一有人感兴趣。

很容易证明质数无限的(更准确地说,没有最大质数)。以下是方法。

让集合成为有限的,有限的由{n1,n2,…nk}组成其中nk是最大的质数。
那么数字n1*n2*n3….nk+1不属于上述设置也不是可分割的通过n1或n2或n3。。。或nk。所以要么它是质数,要么它有一个大于nk的质数因子。在这两种情况下,我们都发现了一个大于nk的素数。这与nk是最大质数的假设相矛盾。所以假设为假,并且没有最大素数。

关于除2和3以外的所有素数的第二个语句要么是1小于6,要么是1大于6。这就是为什么这是真的。

任何积极的 自然数可以写成6n+k的形式。其中n是自然数,k是{0,1,2,3,4,5}之一。质数不能有k=0、k=2或k=4,因为在所有这些情况下,该数都可以被2整除。它不能有k=3,因为在这种情况下,它可以被3整除为6n+3=3*(2n+1)。因此,它的形式必须是6n+1或6n+5=6(n+1)-1。所以它必须是6的倍数的一倍或一倍。

如果你取上面的任意两个素数广场它们之间的差异总是可以被24.

这是一天晚上我试图入睡时的观察结果。后来,我用5到101之间的所有素数检验了我的理论,结果证明它有效。恐怕我的数学知识不足,无法将此作为证明。我在寻找素数之间的某种联系,并将它们平方,以此来寻找这种联系。我很快注意到,平方素数之间的差异总是可以被8整除,后来也可以被3整除(因此是24)。

定义:中的数字n自然数s是混合成的 若(iff)自然界中存在一个数字1<k<n,因此k|n.(“|”符号表示“除法”。)

定义“divides”的缩写,表示自然语言中的数字a、b,当整数中存在一个数c时,a*c=b.

换句话说,n是复合的,如果存在自然数1<k<n和x,使得k*x=n.

这个反向:自然数中的数字n是自然数中所有1<k<n和x的主iff,k*x!=n个.(!=是“不相等”。)

扩展:1<k<n,因此k=2,3,4,。。。,n-1。假设2是“已经”素数,那么自然数中g的所有数字k=2*g都不是素数。此外,考虑3是“已经”素数,因此自然数中h的所有k=3*h都不是素数。因此,忽略k=2,3,4,6,8,9,10,。。。,假设自然中u的k=6*u±1;假设n和x也是这种形式,那么n=6*m±1,x=6*v±1代表m,v在naturals中。

现在需要的测试数量首要性减少了一个因素第页,共3页。要测试n是否为素数,请寻找k*x=n的任何k,x,或测试方程6*m±1=(6*u±1)*(6*v±1)中的任何解。请记住,6*m+1与6*m-1是不同的情况,但所有6*u+1、6*u-1、6*v+1和6*v-1都必须进行测试。

分发上述乘法得出
6*m±1=36*u*v±6*u±6*v±1
一些操纵模块 操作减少到:
m=6*u*v±u±v
A类再多一点工作会产生一些结果洞察力至于一些较大的含义这个的s方程式特别是,如果自然语言中没有u和v满足上述方程,则6*m+16*m-1是质数。


一些顶级古玩:

1234567891是质数。事实上,情况也是如此12345678901234567891。这两项都可以用进行检查第一流的在一个非常短时间量。另一个有趣的素数:(37)14413.没错:在相邻的一行中写下“37”1441次,然后在末尾加上3,就有了一个质数。我看到了一些相互矛盾的报道,但目前(2^24036583)-1是迄今为止已知的最大素数确认。按数字计算,这大约是700万十进制的 数字第条。

这个1000以下的素数具体如下:

2,,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107, 109, 113,127, 131,137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199,211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251,257, 263, 269,271, 277, 281, 283, 293, 307, 311,313、317、331、337、347、349、353、359、367、373、379、383、389、397、401、409、419、421、431、433、439、443、449、457、461、463、467、479、487、491、499、503、509、521、523、541、547、557、563、569、571、577、587、593、599、601、607、613、617、619、631、641、643、647、653、659、661,673、677、683、691、701、709、719、727、733、739、743、751、757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907,911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
A类证明属于丽莎普尔的未经验证的语句:

对于每一个大于3的素数(按照上述逻辑),存在一个数字n,使得所述素数等于b或c,其中:

b=6n+1,c=6n-1。

因此:

b^2=36n^2+12n+1
c^2=36n^2-12n+1
这个任意两个素数之间的差>因此,3等于:

(b1)^2-(b2)^2=36n^2-36m^2+12n-12m=12(3n^2-3m^2+n-m)。
括号中的值对于m和n的所有整数值都是偶数。
因此,存在一个数字L,即(a1)^2-(a2)^2=24L。
和24划分24升。

其他情况可通过以下方式解决相似逻辑.
Q.E.D.公司。

还不够首要的

20000以下的所有素数:

2  5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 
41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 
97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129 2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213 2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287 2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357 2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423 2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617 2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687 2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741 2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 28012803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903 2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079 3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 3181 3187 3191 3203 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18191 18199 18211 18217 18223 18229 18233 18251 18253 18257 18269 18287 18289 18301 18307 18311 18313 18329 18341 18353 18367 18371 18379 18397 18401 18413 18427 18433 18439 18443 18451 18457 18461 18481 18493 18503 18517 18521 18523 18539 18541 18553 18583 18587 18593 18617 18637 18661 18671 18679 18691 18701 18713 18719 18731 18743 18749 18757 18773 18787 18793 18797 18803 18839 18859 18869 18899 18911 18913 18917 18919 18947 18959 18973 18979 19001 19009 19013 19031 19037 19051 19069 19073 19079 19081 19087 19121 19139 19141 19157 19163 19181 19183 19207 19211 19213 19219 19231 19237 19249 19259 19267 19273 19289 19301 19309 19319 19333 19373 19379 19381 19387 19391 19403 19417 19421 19423 19427 19429 19433 19441 19447 19457 19463 19469 19471 19477 19483 19489 19501 19507 19531 19541 19543 19553 19559 19571 19577 19583 19597 19603 19609 19661 19681 19687 19697 19699 19709 1971719727 19739 19751 19753 19759 19763 19777 19793 19801 19813 19819 19841 19843 19853 19861 19867 19889 19891 19913 19919 19927 19937 19949 19961 19963 19973 19979 19991 19993 19997

这个下列的c(c)++ 代码对于发现 是否或者不是首要的:

#包括<iostream.h>
/*查找数字是否为素数的程序*/
整数主()
{

整数,notprime,P;
cout<<“输入整数”;
cin>>数//接收整数测试如果是素数
P=2;
做{//部分对于发现无论是否挑选出来的 整数是一个首要的
if(数字%P==0)
notprime=1;
其他的
P++;
}while((P<=sqrt(number))||(notprime==1));
如果(notprime==1)
cout<<“非素数”;
其他的
cout<<“Prime”;
返回(0);
}

埃拉托斯特尼筛

找到的一种方法质数在给定值“x”之前,列出正整数达到并包括该数字。

然后划掉1,因为1不是质数

然后取下一个整数2不要划掉,但要划掉所有倍数对所有整数重复此过程,直到平方根“x”。

(事实上,您只需要对素数的根“x”上部分进行此操作,但如果您正在查找素数,则可能不知道所有素数,而执行所有整数是故障保护方法)

随着列表的深入,越来越多的数字将被划掉,所以您将划掉越来越少的数字。当你到达根“x”时,所有你还没有划掉的数字都是质数。

问题是,无论“x”有多大,你都不必划掉更多的数字。如果有一个有限数素数。那么有吗?

有无限素数吗?

事实上,很容易证明无限素数.

假设有有限个素数。

那么假设你倍增的他们都在一起。

那么假设你加了一个。

您将生成的数字不是可分割的因为它比其他素数多一个倍数因此,在所有这些素数中,它要么是素数,要么可以被不在原始列表中的其他素数整除。

您可以使用此方法生成无限素数。

例如

2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47+1不是素数,但它是127-a素数的倍数,不在列表中。

多亏了10998521指出这一点

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