我们称之为实数x可计算的，如果可以用图灵机器T、 当T为输入一个数字n，它输出x的前n位数字（比如十进制，或者你喜欢的任何数字）算法它打印出x的数字。可计算数字也被称为递归数s（通过定义时递归函数s而非TM）或有效定义的（区别于可定义数字s、 其中还有更多）。这个定义需要比严格定义更“基本”的工具实数秒。
让我们考虑一下这个定义。这个整数s显然是可计算的。他们也是理性的s（只需启动长除法算法）。这个平方根属于17也是，连同罪(e（电子）-2.1)：任何旧的近似方法显示了这一点。它是一跳一跳决定这一切代数数s是可计算的，并且抛出e（电子）和圆周率到您的表达s对离开可计算数s.他们（相当平凡）是代数闭的 领域.
但并非所有实数s可以计算，对吗？A类哥德尔数ing thingy表明图灵机器s（或算法s或其他）是可数的（就像这些一样有限的，有限的有限上的构造字母表--想想“一切可能”C类程序”，如果您确实喜欢），而康托的对角线论点证明实数集不是(还是真的？稍后详细介绍）。因此，可计算的数字只是浩瀚大海中的一滴水。然而，你所描述的每一个数字，每一个你尝试和展示的例子，都会根据定义是可计算的。记得你第一次发现康托对角化，而你担心所有额外的数字来自哪里，只是为了安抚平方英尺（2） 和圆周率？好吧，那芥末切不好使用可计算的。不管怎样有形的（甚至对数学想象来说），这似乎意味着近似算法，所以没有令人信服的“您需要添加此数字”示例。。。
这个万恶之源，在这种情况下（与许多其他情况一样）选择公理。这“实际上”确实让你创建了大量不可变的数字，但这些数字是你无法用其他方式描述的。然而，许多数学结果根本不依赖于选择。在一个建构主义者在数学方面，我们需要证明来“构建”他们描述的数字、集合等。如果你决定只接受一些图灵机器吐出的数字(相反选择公理），然后对角线论点失败得很惨，因为你永远无法为对角线数字制造机器。"半防水“它必须是一台有限的机器模仿是一个无限的不同机器的列表，知道每个地方不输出什么数字，这很容易矛盾；您“只”需要订购相关的图灵机，但“相关”的部分很好地隐藏了停顿问题.
顺便说一句，您可能会为使用可定义数字秒。建构主义走出窗口，你肯定会添加一些你无法“指向”的数字，但现在看来你真的已经涵盖了所有你可能担心的事情——真的没有其他合理的方法来“指定”一个数字。然而，尽管这是一个适当的超集在可计算的数字中，它仍然是可数的。。。
因此，如果可计算的数字是您在计算或问题（现实世界或其他），我们有多确定我们需要剩下的雷亚尔？考虑再融资是一个有趣的练习（也许不止如此）数学具有可计算的仅限元素。选择公理问题消除了！度量理论减少到相当基本记账（这说明你需要处理countable联盟第个，共个间隔s、 基本上，当然你只有可数的和）！还有更多。当然，通过破坏不可估量的阴谋你可能做了很多数学家从中退出有利可图的工作，但那是什么时候真相有危险吗？