时间到了把我的作业节点…这是一个散文关于哥德尔定理，我写这个定理是为了满足数学几年前的s学位：
公理化方法的局限性
传奇人物约翰·冯·诺依曼数学家谁掌握了微积分通过八岁时，他设计了一个熟悉的集合理论定义这个依次的数字为20，其计算能力超过了至少一个早期电子产品计算机，谁被描述为波利亚作为“我唯一害怕的学生关于数学史上的某一个插曲：
这发生在我们有生之年，我知道自己有多丢脸很容易我自己对绝对数学的价值观真理改变在这一集中，他们是如何连续三次改变的！
这种敬畏的原因是1931年由25岁逻辑学家库尔特哥德尔,有资格的优步正式unnetscheidbare Satze der数学原理与语言系统（“正式不确定命题数学原理和相关系统”）冯·诺依曼以及其他许多人，令人不安）其中结果的含义是系统全面，足以描述基本算术必要地包含既不能证明也不能反驳的命题。此外，哥德尔证明了这样一个系统的内部一致性永远不会除非通过雇佣推理这是无法表达的在系统内部。背景
为了更好地理解哥德尔的发现所产生的影响在他的同龄人中，我们首先应该描述一下数学气候的时间。
19世纪，人们通过的工作黎曼，Lobachevsky和其他人几何学可以在其中建造欧几里得的平行线假设（给定一个线L和a指向中的P平面，正好存在一条包含P的直线平行至L）无法保持。这本身就是一个震惊对许多数学家来说：对于千禧年来说人们认为欧几里得对几何的描述是这样建立的是在一个“不言自明”和极小的集合上公理s、 是其中之一最坚定、最坚定值得信赖的数学知识的分支。非欧几里德几何的存在不仅受到挑战数学家几何直觉也有柏拉图主义者的观点数学包括关于永恒的发现，纯净的表格存在是客观的毫无疑问。更多“怪物”例如连续的无处可寻的功能可微分的很快出现，进一步加剧了信仰在几何学中。
试图通过以下方式重建过去舒适的确定性从几何图形转向集合论作为新的基础数学也搁浅了。集合理论，当压力过大时，很快屈服，屈服像罗素的“一套没有包括他们自己”。事实证明困难的构造理论共台在不牺牲自身利益的情况下战胜了这些物体原理中的过程。逻辑主义，由弗雷格,德德金德和罗素,产生了如此复杂和笨重的结构，以至于将直觉推理法则形式化的意图被模糊了。建构主义甚至拒绝了三分法（每个实数要么大于，等于或小于零）被认为是狂热的。
为了避开令人尴尬的倍数相等的可能性数学的辩护版本真理可能存在，数学家很快就声称一开始从未寻求过真相地点。形式主义者，由希尔伯特，将数学重新定义为据称由无意义的不是“关于”的符号任何特别的事情。这位数学家被重新任命为实践者他只是操纵了这些空的符号，尝试推导定理s（由上述无意义符号组成的句子）从公理出发，而不考虑他的发现的“真实性”。
希尔伯特希望这样可以超越直觉，更重要的是，使…成为可能证明的一致性数学。这个在他之前的逻辑学家已经奠定了基础通过开发表达数学语句的形式语言，以及表示步骤的符号转换规则在从开始到结束的过程中合法地遵循有效的证据。（这一努力的高潮、详尽的编年史是Russell和Whitehead的吗数学原理，第362页，共页最终得出1+1=2的证明。）框架到位后，（希尔伯特认为）应该可以进行研究的组合属性设置所有可以从法律上从系统的公理中导出，并证明他们是符合逻辑的相反。这显然可以保证数学（或者至少是这个形式系统所建模的部分）没有内部矛盾：也就是说，公理可以不用于证明定理及其否定。
它不仅证明了内部矛盾的不可能性希望“真的“句子（可能是通过将法律转换应用于公理而构建）可以是已证实完成在这个意义上，给定一个句子，人们可以请放心，这个句子或其否定词是一组真实的句子。A类正式的具有此属性的系统称为展览”可判定性“，因为一个人永远不需要不确定真相的真相一个给定的句子。
哥德尔定理
希尔伯特的改写梦想古典的数学作为一种形式具有一致性和完整性得到了处理残酷的1931年哥德尔的发现。
在他的著名论文《哥德尔》证明了这一点不可能的查找这种系统的元数学证明不使用规则的一致性推理在考虑中的正式系统中无法表达。（更准确地说，哥德尔全面地证明了任何公理系统的结果足以包含整个算术。从今以后，当使用“正式系统”时，应假定我们正在发言满足上述要求的系统。功能较弱系统，例如配备了附加单独或乘法事实上，仅凭这一点就可以证明是可决定的和完整的，正如普雷斯布格尔和斯科勒姆1930年。）
哥德尔的另一个主要结论是，任何这样的正式制度都是不完整的因此，系统中的“真相”是无法确定。具体来说，他证明了建造一既非构成句也非否定句可在系统内证明。更重要的是，即使有人要任意地决定这样的判决是正确的，因此应该添加到系统公理中，仍会存在其他在这个新系统中，同样不可判定的句子；不管怎样这一增强过程将持续多久进一步的无法证明的真理。
哥德尔编号
哥德尔结果的证明取决于公式集符号系统中的可表达性是可数的，因此每个公式可以映射到自然数因此，元数学关于这些句子的陈述可以理解为关于自然数：意味着这些元数学语句可在系统本身中表达我们将看到权力编纂关于其自身的声明的系统一个阿基利之踵在某种程度上，允许哥德尔巧妙地建造无法判定的句子。
哥德尔认为一个形式系统只包含七个常量符号：左括号和右括号，以及表示“not”的符号，“或”，“所有人”，“零和“继任者”of“（将一加到整数上的运算符，因此可以是用来表达所有自然数通过反复应用于“零”）。回想一下哥德尔的目标是分配一个独特的每个句子的整数（通常称为“哥德尔数”）在这个系统中可以表达；首先，常量符号上面描述的被分配了不同的自然数。类似地，其他基本符号（例如代表句子变量的字母）是每个指定的整数。由于变量的数量句子中可能需要be无限的，哥德尔被迫使用一些简单的数论以避免整数之间的重叠与不同类型的变量关联。因此，某个类已分配个变量（共个）首要的哥德尔数，而另一类是从集合中分配广场素数的s，等等。
A类似戏法被哥德尔用来计算一个唯一的整数与每个句子相关。句子只是一个一串属于原始符号，每个符号都有一个自然数显然，一个简单的附加哥德尔数句子中的符号是不够的，因为它不能保证独特的所有句子集合的ness。类似地，a加权和是不可能，因为我们没有上限关于原始符号的哥德尔数。（如果存在这样一个界，比如N，那么我们可以简单地将连续符号乘以1，N+1，（N+1）2,等，以获得句子的唯一Godel编号。）相反，哥德尔数包含以下内容的句子n个带有相应哥德尔数字的符号G公司1,...,G公司n个定义为产品第页1G公司1*...*对n个G公司n个其中p我表示我第个首要的数字。此表示允许我们明确地（作为由算术基本定理)通过Godel编号检索句子因子分解.类似地，a序列的句子可以分配一个哥德尔将连续的素数幂相乘指数正在成为序列中连续句子的哥德尔数。
哥德尔证明概述
由于正式系统现在被分配了一个哥德尔编号，自讨论中的系统能够表达关于自然数，我们现在有一种表达方式元数学系统语言中的语句。例如，索赔一句话意味着另一句可以解释为断言某个数字关系在两个哥德尔数之间句子。这种关系显然会非常复杂的，因为它会需要在哥德尔数字领域表达所有可能的合法性可以应用于系统中句子的转换。然而，由于最终它只是一个关于整数的语句在语言系统本身。同样，自然数之间更复杂的关系米和n个表示“句子序列哥德尔数米是哥德尔数句子的证明n个".
为了证明存在一个无法判定的句子，哥德尔需要找到一个公式G公司有点像埃庇米尼得斯（声称“所有克里特人是骗子”），表示没有证据证明G公司存在。更准确地说，这种说法可以用语言表达作为系统的
不存在自然数米这样的话米是构成证明的一系列句子的哥德尔数带有哥德尔数的句子克.
哪里克实际上是哥德尔刚才引用的句子的编号。因此，句子可以是被解释为对它本身也就是说它是无法证明。一点思想应该表明构造这样的句子有些困难。计算上述的哥德尔数一句话，按照上面描述的过程将其拆分为原始的符号，其哥德尔数编码为连续素数。然而，计算结果，克,出现在句子本身，因此影响计算！首先，我们需要幸运的“被绊倒一个数字克当按字面意思替换为这句话，使巧合哥德尔数结果句也是克.
当然，运气并不重要。哥德尔构思了一个复杂但优雅的通过一个过程迭代，显示了如何在有限的，有限的步骤数。详细信息这个过程虽然容易理解，但有点乏味的和此处不作描述。最终结果是重要的一点：一般的的类别形式系统，我们有一个构造句子的显式方法，G公司，声称自己无法盈利。此外，Godel还展示了如果系统的公理是一致的（也就是说不可能导出两个自相矛盾的句子）然后G公司确实如此不可证明的：因为如果G公司存在，那么它也会存在可以证明其否定，使系统不一致。反之亦然：发现了G公司的否定会意味着证明的存在G公司换句话说，如果公理是一致的，那么G公司在形式上是不可判定的。
哥德尔进一步指出，尽管在正式体系内无法证明本身，句子G公司事实上可以通过元数学推理。事实上，前面的讨论表明：由于我们已经确定没有证据证明G公司可以存在，因为这正是G公司关于自身，G公司是一个真的声明。因此，该系统不仅包含一个不可判定的句子，但是：因为它包含一个true，无法证明的句子：系统也是不完整的.（术语应用于正式系统的“完整性”意味着系统中的语句可从其公理推导而来。）此外，简单地添加G公司这些公理不足以使系统完成，因为完全相同的过程可以应用于这个增强系统可以获得另一个类似不可判定的，句子。因此，哥德尔粉碎我希望能建造一个一致、完整的正式系统。
决赛吹哥德尔的论文证明了无法通过证明证明形式系统的一致性可在系统本身中表达。对他如何得到以下结果。以上我们从假设中看到了如何系统公理s是一致的，哥德尔证明它包含一个真实的、不可判定的句子因此是不完整的。事实证明这一事实的证明：
如果这个系统是一致的，那么它是不完整的。
可以在系统内部实现。要查看怎么，注意这个句子G公司声称自己无法盈利，相当于“该系统不完整”的声明，因为它提供了一个明确的一个真实的、不可判定的句子的例子。因此上述声明相当于：（该系统是一致的）意味着G公司是真的
接下来，让我们A类是这样一句话“有一句话这一说法是事实相等的断言系统的一致性，因为如果系统不一致，那么每一个句子这是可以证明的。（这与以下事实密切相关：有一个假陈述第页在任何逻辑系统中，然后是句子"第页暗示q个“适用于任何句子q个.)因此，上述声明可以在正式系统简单”A类暗示G公司”。哥德尔证明了后者判决在系统内可以正式证明。现在，假设证明A类也就是系统一致性的证明存在的。既然我们有证据二者都A类和“A类暗示G公司“，我们有证据证明G公司.但是G公司之前被证明无法证明。因此，没有证据表明A类可以存在：系统无法证明其自身一致性。
哥德尔证明的后果
哥德尔的发现是这个催化剂对许多人来说一直持续到现在的哲学争论天。牛津大学哲学家J.R.卢卡斯声称哥德尔定理排除了人工智能，自任何精明的机器是同构的Godel的定理适用。其他，尤其是侯世达，关闭此视图作为“以人类为中心的短暂时刻光荣“并声称哥德尔的证明甚至可以提供关于人类工作的见解智力这将有助于创建人工智能。
在梦想为数学奠定坚实基础的同时从未从哥德尔的袭击中恢复过来，他的发现也没有被解释为放弃一切希望从中提取意义数学探究。哥德尔本人似乎认为柏拉图现实主义为数学提供了最清晰的定义真理：关于数学概念，他说：“在我看来对这些对象的假设与对身体的我们有足够的理由相信根据戴维斯和赫什，大多数现代数学家也暗中赞同柏拉图主义：“就像一个地下组织宗教,这是私下观察到的，很少在公开场合提及”。
哥德尔的方法也引发了各种富有成果的调查这产生了深远的影响。自从他的纸，第一个不可判定的自然上升的例子已找到set-theoretic语句。被称为连续体假说，这是一个语句，表示没有任何集合具有更大的基数比自然数少，但比实数少。哥德尔自己在1937年表明，这个假设无法证明从集合论的公理出发；保罗·J·。科恩1964年证明这也不能被推翻。
1970年，哥德尔定理的一个有趣变体被发现，当时已经证明，没有通用的算法来求解所有丢番图方程s（带整数系数和根的多项式方程）可以公式化。不严格地说，可以证明在任何形式数中理论上，存在一个丢番图方程这在某种意义上相当于哥德尔的自我创造句G公司. 这样一个方程式可以解释为声明自己无解决方案；事实上，如果找到了解决方案，可以构造从中可以看出，哥德尔数证明了方程没有解决。我们似乎不太可能接近耗尽列表，共个惊喜源于哥德尔的作品。也许冯·诺依曼可以被允许说出哥德尔的最后一句话重要性：
库尔特·哥德尔在现代逻辑方面的成就是独特的纪念碑：事实上，它不仅仅是一座纪念碑，更是一座地标它将在遥远的空间和时间里保持可见。。。主题逻辑当然已经彻底改变了它的性质和可能性以哥德尔的成就。
参考文献
戴维斯和赫什，数学经验, 1980
Timothy Ferris（编辑），世界物理学、天文学宝库和数学, 1991
道格拉斯·霍夫施塔特，哥德尔、埃舍尔、巴赫：永恒的金辫子,1979
纳格尔和纽曼，哥德尔证明, 1958
van Heijenoort，Jean（编辑），从弗雷格到哥德尔：数理逻辑的原始资料,1967