啁啾信号–Matlab和Python中的FFT和PSD

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重点关注点：知道如何生成Chirp信号，在Matlab和Python中使用FFT和功率谱密度（PSD）计算其傅里叶变换。

本文是以下书籍的一部分
●使用Matlab进行数字调制：从头开始建立仿真模型，国际标准图书编号：978-1521493885
●使用Python的数字调制国际标准图书编号：978-1712321638
●Matlab中的无线通信系统国际标准图书编号：979-8648350779
所有书籍都有电子书（PDF）和平装本格式

介绍

到目前为止讨论的所有信号的频率都不会随时间变化。获取时变频率的信号是这里的重点。频率随时间变化的信号称为“chirp”。啁啾信号的频率可以从低频变为高频（up-chirp）或从高频变为低频（low chirp）。

观察

啁啾信号/特征在雷达、声纳、扩频、光通信、图像处理、多普勒效应、钟摆运动、引力波、调频（FM）、回波定位等许多应用中都会遇到[1]等。

数学描述：

线性啁啾信号线性地将频率从低频扫到高频（或vice-versa）。产生啁啾信号的一种方法是将一系列正弦波分段串联起来，每个正弦波段的频率依次递增（或递减）。这种方法由于每个这样的分段的相位失配，在啁啾信号中引入了不连续性。修改正弦方程以产生啁啾信号是一种更好的方法。

产生振幅正弦（此处为余弦）信号的方程式A类，角频率\欧米伽0和初始阶段\φ是

x（t）=A cos（\omega_0 t+\phi）\quad\quad（1）

这可以写成瞬时相位的函数

x（t）=A cos（θ（t）

哪里\θ（t）=\ω_0 t+\φ是正弦曲线的瞬时相位，它是线性时间.瞬时相位的时间导数\θ（t）等于角频率\欧米茄正弦曲线-在上述等式中为常数。

\ω_0=\frac｛d｝｛dt｝\θ（t）\ quad \ quad（3）

不要让相位在时间上呈线性，让我们将相位改为二次型，从而使其呈非线性。

\θ（t）=2\pi\alpha t^2+2\pi f0 t+\phi\quad\quad（4）

对于一些常量\阿尔法.

因此，线性调频信号的方程采用以下形式，

x（t）=A cos（θ（t））=A cos（2\pi\alpha t^2+2\pi f_0 t+\phi）四元（5）

相位的一阶导数，即瞬时角频率成为时间的函数，由下式给出

\ωi（t）=frac{d}{dt}\theta（t）=4\pi\alpha-t+2\pif0\quad\quad（6）

时变频率（赫兹）由下式给出

f2（t）=2\alpha t+f_0\quad\quad（7）

在上述方程中，频率不再是常数，而是具有时变性质，初始频率由第0帧因此，根据上述等式，给定一个持续时间T型，频率变化率由下式给出

k=2\alpha=\frac{f1-f_0}{T}\quad\quad（8）

哪里，第0帧是扫描的起始频率，第1页是持续时间结束时的频率T型.

替换(7)&(8)在里面(6)

\ωi（t）=frac{d}{dt}\theta（t）=2\pi（kt+f0）\quad\quad（9）

发件人(6)和(8)

\开始{aligned}\theta（t）&=int\omega_i（t）dt\\&=2\pi\int（kt+f_0）dt=2\pi\ left（k\frac{t^2}{2}+f_0t\right）+\phi_0\\&=2\ pi\left（k\frac}t^2{2}+f_0t/right）+\phi_0=2\pi left（\frac{k}t+f_0\ right）t+\fhi_0\end aligned{4}四（10）

其中\φ0是一个常数，将用作扫描的初始阶段。

因此，产生啁啾信号的修正方程（从方程(5)和(10))由提供

x（t）=A cos（θ（t））=A cos（2\pi f（t）t+\phi_0）\quad\quad（11）

其中，时变频率函数由下式给出

f（t）=frac{k}{2}t+f0\quad\quad\quid\quad（12）

Chirp信号的生成，使用FFT和功率谱密度（PSD）在Matlab中计算其傅里叶变换，如需Python代码，请参阅本书使用Python的数字调制.

在不使用Matlab中内置的“线性调频”函数的情况下生成线性调频信号：

使用方程式实现描述啁啾的函数(11)和(12)。扫描的起始频率为第0帧以及时间频率第1天是第1页.初始阶段\φ0在以下函数中构成参数的最后一部分

函数x=mychirp（t，f0，t1，f1，相位）%Y=mychirp（t，f0，t1，f1）生成线性扫描频率的样本%时基数组t中定义的时间实例的信号。瞬时%时间0时的频率为f0赫兹。瞬时频率f1%在时间t1实现。%参数“phase”是可选的。它定义了%信号以弧度衰减。默认相位=0弧度如果nargin==4相位=0；结束t0=t（1）；T=t1-t0；k=（f1-f0）/T；x=cos（2*pi*（k/2*t+f0）.*t+相位）；结束

下面的包装器脚本使用上述函数，并生成一个具有起始频率的chirpf_0=1Hz在时基开始时f_1=25赫兹在t1=1s这是时基的结束。从PSD图可以确定信号能量仅集中在25赫兹

fs=500；%采样频率t=0:1/fs:1；%时基-最多1秒f0=1；%啁啾起始频率f1=fs/20；%t1=1秒时的啁啾频率x=mychirp（t，f0,1，f1）；子区（2,2,1）图（t，x，‘k’）；标题（[“啁啾声信号”]）；xlabel（“时间”）；ylabel（“振幅”）；

FFT和功率谱密度

与前几篇文章中描述的其他信号一样，让我们绘制生成的chirp信号的FFT及其功率谱密度.

L=长度（x）；NFFT=1024；X=偏移（fft（X，NFFT））；Pxx=X.*conj（X）/（NFFT*NFFT）；%具有适当缩放的计算能力f=fs*（-NFFT/2:NFFT/2-1）/NFFT；%频率矢量子区（2,2,2）图（f，abs（X）/（L），‘r’）；标题（“FFT幅度”）；xlabel（“频率（Hz）”）ylabel（‘震级|X（f）|'）；xlim（[-50 50]）Pxx=X.*conj（X）/（NFFT*NFFT）；%具有适当缩放的计算能力子区（2,2,3）图（f，10*log10（Pxx），‘r’）；标题（“双面-功率谱密度”）；xlabel（“频率（Hz）”）ylabel（“功率谱密度-P_{xx}dB/Hz”）；xlim（[-100 100]）X=快速傅里叶变换（X，NFFT）；X=X（1:NFFT/2+1）；%NFFT/2后抛出样本进行单面打印Pxx=X.*conj（X）/（NFFT*NFFT）；f=fs*（0:NFFT/2）/NFFT；%频率矢量子区（2,2,4）图（f，10*log10（Pxx），‘r’）；标题（“单面-功率谱密度”）；xlabel（“频率（Hz）”）ylabel（“功率谱密度-P_{xx}dB/Hz”）；

有关Python代码，请参阅本书使用Python的数字调制
Matlab中的啁啾信号FFT和功率谱密度

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参考文献：

[1]帕特里克·弗兰德林（Patrick Flandrin），《到处唧唧喳喳》，CNRS——里昂师范学院

本章主题

信号处理要点
● 生成标准测试信号
 □正弦信号
 □方波
 □矩形脉冲
 □高斯脉冲
 □啁啾声信号
●解释FFT结果-复杂DFT、频率箱和FFTShift
 □实际和复杂DFT
 □快速傅里叶变换（FFT）
 □解释FFT结果
 □FFT换档
 □IFFTShift（IFFT换档）
●从FFT获取幅度和相位信息
 □离散时间域表示
 □用FFT在频域中表示信号
 □从频域样本重构时域信号
● 功率谱密度
●信号的功率和能量
 □信号的能量
 □信号的功率
 □信号分类
 □信号功率的计算-仿真和验证
●多项式、卷积和Toeplitz矩阵
 □多项式函数
 □表示单变量多项式函数
 □多项式乘法与线性卷积
 □Toeplitz矩阵与卷积
●计算卷积的方法
 □方法1：冲击力法
 □方法2：使用Toeplitz矩阵
 □方法3：使用FFT计算卷积
 □其他方法
●解析信号及其应用
 □解析信号与傅里叶变换
 □提取瞬时振幅、相位、频率
 □基于希尔伯特变换的相位解调
●选择滤波器：FIR或IIR：理解设计视角
 □设计说明书
 □设计中的一般考虑因素

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关于“Chirp Signal–Matlab和Python中的FFT和PSD”的24点思考

    • 幅值响应是频率响应与频率的复数值的幅值。
      它用于观察系统如何影响信号中频率的振幅。

      变量的幅度只是相对于其中心位置变化的度量，而变量的幅度是距离或数量的度量，与方向无关。

      答复

  5. 你好Mathuranathan

    图（f，abs（X）/（L），‘r’）；

    为什么abs（X）被（L）除？我们不能只写情节（f，abs（X），'r'）吗；只有？

    谢谢您。

    答复

  7. 你好Mathuranathan

    很棒的文章，对唧唧声有适当的详细解释！关于PSD，我可以知道为什么你用NFFT两次缩放了震级^2（PSD=X）吗。联合（X）/（NFFTNFFT））？

    答复

  8. 我想在我的问题中补充一点，即等式（6）和等式（8）之间似乎存在差异。你能解释一下这个区别吗？

    答复

  10. 谢谢你Mathuranathan

    我的问题是，我可以将频率值（在第二张图中）乘以比值（1/0.1，这是线性调频信号的振幅对FFt的振幅），然后我们就有了频率加速度图吗？
    当做

    答复

  11. 嘿，好文章。我有一个问题：为什么第二个图的振幅（fft的幅度）不是一？因为你的啁啾信号中的所有频率都有一个振幅？我错过了什么吗

    答复

  12. 你好，Mathuranathan。谢谢你的详细解释。有打字错误吗？公式（2）正确地陈述了“x（t）=Acos（Ɵ（t））”。但紧接着你会说“其中Ɵ（t）=ω0+Ф是瞬时相位，它在时间上是线性的。”看起来好像缺少了一个“t”：我认为它应该是“其中ɧ

    答复

  13. 有人知道在Matlab中生成chirp的方法吗？它遵循自定义多项式，而不是chirp（）函数中提供的内置函数？

    chirp（）函数是否允许进行比我所知道的更多的定制？

    我想根据以下多项式（在一组数据点上使用polyfit（）确定）生成chirp…

    y2=p（1）.*x.^10+p（2）.*x^9+p；

    答复

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