线性时变系统-LTI系统模型

求解ARMA模型–平方误差最小化

通过

重点关注点：在求解ARMA（自动回归移动平均）模型时，是否存在唯一的解决方案？应用平方误差最小化来找出答案。

正如在上一个帖子，ARMA模型是AR和MA模型的混合广义模型。给定一个信号x（n）与找到合适的ARMA过程模型相比，AR模型最容易找到。让我们看看为什么会这样。

AR模型误差及其最小化

在AR模型中，当前输出样本x（n）和过去N-1号机组输出样本决定源输入宽[宽]。表征该模型的差分方程如下所示

x[n]+a_1x[n-1]+a_2 x[n-2]+\cdots+a_Nx[n-n]=w[n]

可以从另一个角度查看模型，其中输入噪声w[n]被视为错误–当前输出样本之间的差异x（n）和预测样本x（n）从上一个N-1号机组输出样本。让我们称之为“AR模型错误“.重新排列差分方程，

\显示样式{w[n]=x[n]-\左（-\和^{无}_{k=1}a_kx[n-k]\右）}

AR模型误差方程

括号内的总和项被视为过去预测的输出样本N-1号机组输出样本及其差异是误差w[n].

系数的最小二乘估计——一k个通过计算平方误差相对于一k个并将其等效为零-找到最小值。从上面的方程式中，w个2[无]是我们希望最小化的平方误差。在这里，w个2[无]是未知模型参数的二次方程一k个二次函数具有唯一的极小值，因此更容易找到一k个通过最小化w个2[无].

ARMA模型误差及其最小化

该模型的特征差分方程如下所示

\开始｛aligned｝x[n]+a_1 x[n-1]+\cdots+a_n x[n-n]=&b_0 w[n]+b_1 w[n-1]+\\&&\cdots+b_M w[n-M]\end｛aligned｝

重新排列，ARMA模型错误w[n]由提供

\显示样式{w[n]=x[n]-\左（-\和^{无}_{k=1}a_k x[n-k]+\总和^{米}_{k=1}b_kw[n-k]\右）}

ARMA模型误差方程

现在，预测器（括号内的项）考虑输入和输出样本的过去值的加权组合。

平方误差，w个2[无]不是二次函数，我们有两组未知数–一k个和b条k个因此，可能没有唯一的解决方案可用于最小化此平方误差，因为多个最小值构成了一个困难的数值优化问题。

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供进一步阅读

[1]Thiesson等人，“用图形模型进行ARMA时间序列建模”，《第二十届人工智能不确定性会议论文集》，2004年7月↗

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