数学131：实数分析I

弗朗西斯·苏>数学131：实数分析I

2020年春季

办公时间：WED 8:30–9:30 am和WED 2:30–3:30 pm，或预约。

平地机：Hanna Hoffman，德亚纳马什
授课时间：周二晚上8点至9点30分

本课程是对实数的严格分析，并介绍良好的数学写作和交流主题包括：实数的构造、域、复数、实的拓扑、度量空间、序列和级数的仔细处理、实数函数、连续性、紧性、连通性、微分和中值定理，并介绍函数序列。这是分析序列中的第一门课程，在《真实分析II》中继续。

课程目标

  • 学习真实分析的内容和技巧，以便创造性地解决以前从未见过的问题。
  • 学会读和写严格的证明，这样你就能令人信服地为自己的推理辩护。
  • 学习良好的数学写作技巧和风格，以便有效地交流想法。

这门课是关于与大创意角力的激动人心的挑战。我相信班上每个人都完全有能力掌握这些材料。问题是有价值的，尤其是简单的问题，因为它们可以带来深刻的想法。鼓励探索，尤其是在尝试可能行不通的东西时要冒风险，因为它们可能会导致进一步的探索领域。我希望我们所有人都欢迎其他人的提问和探索。

必需的文本

沃尔特·鲁丁数学分析原理麦格劳·希尔（McGraw-Hill）。我们将涵盖第1章至第5章，以及第7章的一部分。在QA300地区附近的图书馆里，你可能还想查阅许多其他关于分析的书籍。

作业和重写

在我的办公室（掸3416）到期星期四下午1:15。请按照HMC数学系作业格式。因为我想让你从家庭作业的反馈中学习，并提高你的写作技能，所以我将在前几份作业中使用（可选）重写系统，其工作原理如下：

  • 在截止日期交作业。
  • 作业将被评分，并在一周内退还给你。
  • 如果你对家庭作业的分数不满意，你可以选择重新回答任何你想问的问题，并将重新编写的版本与之前评分的版本一起提交。 （只有在第一个版本中认真尝试时，才能重新编写问题。）
  • 如果你选择重写，应该在我的办公室完成两周在原任务到期日之后。你的重写将被评分，特别注意你是否采纳了评分员的建议，重写后的问题将被分配新的分数。你重写的问题的分数总是会上升或保持不变；它永远不会倒下。 只有家庭作业1到3才接受改写。
    另请参见本指南.重写部分应提交。

迟交作业

经特别许可，可以接受迟交作业（有罚款）。请至少提前24小时询问

乳胶

你们中的一些人可能会发现LaTeX对排版作业很有帮助。如果你想学习LaTeX，或者有关于它的问题，你可以访问CCMS软件实验室.

中期和分级

将有三次考试：

  1. 期中一：2月24日上课，下午5点截止到2月28日星期五。
  2. 期中2：3月30日上课，4月3日到期[换冠]
  3. 最终：在定期安排的最后一段时间内进行抽考。

其中每一项和你的作业平均分将占你课程成绩的25%，[换冠]是最高的部分，价值额外25%。最低的两个家庭作业成绩将被取消。记住课程成绩只是为了评估你所学的东西，这是很有帮助的。但它们并不是你潜在能力或尊严的反映！

荣誉代码

HMC荣誉准则适用于与本课程相关的所有行为事项。虽然鼓励合作完成家庭作业，希望您逐个写出你的所有解决方案因此，禁止抄袭，你应该充分理解你的解决方案，自己把它们写下来。承认他人的帮助是适当的；如果你和其他人一起做作业，请在页边空白处写下他们的名字。这门课的乐趣之一是斗争，以及为自己找到解决方案的乐趣。 请注意：使用网上找到的解决方案或以前学生的解决方案将被视为违反HMC荣誉准则，并将进行相应处理。 我鼓励你与我、导师或其他人交谈！

Youtube演讲录音

这些讲座是在2010年录制的，虽然我今年的讲座可能不尽相同，但它们之间的距离足够近，你可能会发现利用它们进行复习很有价值。或者，更好的做法是在课堂讲课前观看，然后在课堂上你可以提问！然而，我不鼓励用这些讲座代替课堂，因为我们将做一些稍微不同的事情，与我和其他学生的互动对你的学习至关重要。

真实分析讲座，2010年春季。

家庭作业

所有硬件均指Rudin的数学分析原理。

读一下这个卡罗尔·德威克的文章和我的优秀数学写作讲义.填写本次调查。然后把这些问题的简短答案交上来。记住讲义和作业格式当你写下答案时。

卡罗尔·德韦克的文章：

  • 1.当面临数学挑战时，描述具有成长心态的人与具有固定心态的人的三种不同反应。

直接从优秀写作讲义中获得：

  • 2.当你写作业集时，你应该对你的读者做出什么样的假设，这条经验法则是什么？
  • 3.你明白为什么第3页上的矛盾证明实际上不是矛盾证明吗？
  • 4.说出一个懒惰的作家会做的三件事，而一个好的作家不会。
  • 5.这三个短语的意思有什么不同？
    让A=12。
    所以A=12。
    A=12。

现在检查鲁丁的第1.1节，表明没有理性第页令人满意的p^{2}=2.

  • 6.在他的证明中，有很多地方他可以用符号来表达自己的想法，但他没有。（例如，“LetA类是所有正理性的集合第页你认为他为什么选择不使用符号？如果你是为高中观众写作，你会对他的演讲有什么改变？举一个具体的例子。

你的作业应该分两部分交。
A部分应该有1到3个问题。
B部分应该有4到6个问题。

  • 问题B。回想一下，在课堂上，我们定义了一个有理数\压裂{m}{n}成为对的等价类（m，n）在等价关系下。检查此等价关系是否可传递：如果（p，q）等于（m，n）和（m，n）\equiv（a，b），那么（p，q）\等价物（a，b）.
  • 问题C。我们根据代表性定义了有理数的加法：\压裂{a}{b}+\压裂{c}{d}=\压裂{ad+bc}{bd}证明有理数的加法是明确定义的。
  • 问题D。定义有理数的乘法（与您习惯的乘法相对应），并显示此乘法定义良好。对于问题B、C、D，你可以假设你知道整数的属性，包括Z的对消定律。你不能假设你知道如何除整数（因为这实际上是用有理数乘法），也不能假设你懂得如何加法或乘法有理数（因为这就是你想要展示的）！
  • 另请参阅第1章（1、2、3a）。对于鲁丁的这些问题，你可以假设你知道我们在第二讲中证明的有理数的熟悉性质。

你的作业应该分三部分交。
A部分应该有问题B、C和D。
B部分应存在问题1.1、1.2和1.3a。

跟随这个作业格式以及优秀数学写作指南.

标记为“R”的问题表示已读，但不要做该问题。

第1章（R3bcd，4，5，R7，8，9，20）和问题S。对于实数一和reals的非空子集B类，定义：B\}中的a+B=\{a+B:B\ 。表明如果B类在上面有界，那么sup（a+B）=a+sup（B）.

[对于1.20，只要证明与第18-19页第3步和第4步中的完全相同，您就不需要重新编写证明。只需指出证明与Rudin的相同。但无论证明有何不同，务必指出其差异，并验证所有新事物。]

HW#0将不会被重写。

你的作业应该分两部分交。
A部分应该有问题4、5和8。
B部分应该有问题9、20和问题S。

在上做问题这个讲义.如果您想要LaTeX代码它在这里.

你的作业应该分三部分交。
A部分按上述顺序由前3个问题组成；B部分第二个3个问题。

HW#1的改写也将到期。如果要进行重写，请参阅本指南.重写部分应提交。

标记为“R”的问题表示读取，但不执行该问题。 这个作业和转发没有重写。

执行第2章（2、3、4、Q、T、R6、R7、R8、11[不包括第二个度量d_2]）。

问题Q。康托的对角线论证表明，实数是不可数的，因为它表明任何拟议的实数“列表”都不能包含所有实数。我们知道有理数是可数的，但为什么Cantor的对角论证不能应用于证明在[0,1]不能包含介于之间的所有有理数[0,1]? 这种推理会出什么问题？

问题T。证明归纳法原理意味着N个（自然数）。
[提示：让L（n）是声明“如果A类是的子集N个包含数字的<=n，那么A类具有最少元素”。
现在证明一下L（n）为所有人保留n个通过归纳法。]

在家庭作业中，你可以假设：

  • 每个实数都可以用十进制展开表示。
  • 每个有理数都有一个最终重复（或终止，这实际上是重复零）的十进制展开式
  • 每一次多项式n个有n个复数的根。

你的作业应该分两部分交。
A部分由2.2、2.3和2.4组成，B部分由问题Q、T和2.11组成。

HW#2的改写也将到期。如果要进行重写，请参阅本指南留一份，因为你可能无法及时把作业拿回来准备考试。

2月24日周一至2月28日周五下午5点有空（如果你要求延期至周六，没问题）。

HW#3的重写将在您取回它一周后到期。重写本应分部分提交。HW#3之后不再重写HW。

标记为“R”的问题表示读取，但不执行该问题。

执行第2章（5、8、12、9ab、9cd、9ef、R10、R14）。
在问题14中，举例说明不一嵌套的开放集集合。

你的作业应该分两部分交。
A部分为2.5、2.8、2.12
B部分是2.9ab、2.9cd、2.9ef（这都是一个问题，但请将ab、bc、cd分组，因为它们值3个问题）

返回所有未完成的硬件1-3重写。HW#3之后将不再重写HW。

标记为“R”的问题表示读取，但不执行该问题。（我已经把一些问题分成了几个部分，以表明哪些部分值相似的分数，评分员将分别对这些部分进行评分。）

执行：
第一部分第二章（R15，16，17[可数？，稠密？]，17[紧凑？，完美？]）
B部分第2章（18，R19，22，24，R25）。
（R25取决于上周的R23。）

关于问题2.17，请注意只有4和7的十进制展开式不能包含任何0。因此没有终止的十进制展开式。（例如，集合不包含数字.44，因为它实际上是.44000……）
关于问题2.18，回想一下有理数的十进制展开式要么终止要么最终重复。
关于问题2.24，你不应该求助于紧性，因为这个问题是证明“X有一个极限点“暗示”X紧凑”。相反，请遵循提示。

我鼓励你在课堂上与其他人讨论这些问题！

鉴于新冠肺炎危机以及它已经造成并将继续造成的破坏，我对这门课程做了一些改变：

  • 原则
    • 比这门课更重要的是你的健康和你所爱的人的健康。
    • 我们必须有灵活性，同时提前计划可能发生的进一步中断，包括您在家上网或集中学习的障碍，以及您（或我）因新冠肺炎生病时的住宿。
    • 专注于本课程的思想，对于你来说是一种重要的方式，可以让你在面对未来的时候，在一个巨大的动荡和不确定的时期，感觉正常。
  • 根据这些原则，我们对原计划进行了修改。
    • 你可以选择修这门课，通过/不通过学分。如果你是HMC学生，一个通行证将计入你的学位要求（即使它通常不会这样做）。如果你不是HMC学生，你应该与你的注册员核实一下你的学校政策是什么，通过/不通过学分。您可以随时通过向我发送电子邮件来行使此选项，您无需向注册官申请。
    • 不会有第二次期中考试由于中断和失去一周的教学时间。相反，你的最终成绩将基于第一次期中考试、期末考试和家庭作业平均成绩，每一项成绩占你成绩的25%，而这三项中你的最高分数将额外占你分数的25%（总计为100%）。家庭作业平均分最低二家庭作业分数将被取消。
    • 讲座将在太平洋时间上午1:15如常举行,但之后可以观看录音。
    • 我们将在前进的过程中找出答案，并可能需要即兴发挥。

标记为“R”的问题表示读取，但不执行该问题。

  • 首先思考第2章（第19章和第20章），然后在课程缩放室与其他3-5人进行讨论。
  • 关于2.20的注释：这是在问“连通集的闭包也是连通集吗？”以及“连通集内部也是连通集？”
  • 出现在苏聚空间太平洋时间星期三下午6-9点，或自我组装在不同的时间。（请记住，星期二是为其他班级保留的。）
  • 在Zoom中尝试白板功能，或转到goboard.com。
  • 有关Su Gathering Space的链接，请参阅Sakai/电子邮件。

标记为“R”的问题表示读取，但不执行该问题。

执行第2章（20）第3章（1、3、16）
关于3.1的注释：您应该假设序列为\mathbb{R}或\mathbb{C}.
3.3的提示：你能证明序列在增加吗？归纳法可能有帮助。

注意：没有必要再分成A部分和B部分，因为你是通过GradeScope在线提交的。通过左侧选项卡上的Sakai访问此内容。您需要通过扫描作业上传，以下是一些操作指南：https://gradescope-static-assets.s3-us-west-2.amazonaws.com/help/submitting_hw_guide.pdf。按照成绩表的说明标记你的家庭作业中哪一部分与四个问题有关：https://youtu.be/KMPoby5g_nE

标记为“R”的问题表示读取，但不执行该问题。

执行第3章（20、23、24a、24b、R24cde、R25）

关于3.23的注释：要求您显示特定序列的收敛性。请注意，序列是距离的序列，因此它们位于\mathbb{R}.

标记为“R”的问题表示读取，但不执行该问题。

执行第4章（1、R2、3、4、R6、14）

关于阅读题4.6，你可以假设电子是实数的子集（f）是一个实值函数，距离R^{2}（R）（图所在的位置）是常用的欧几里德度量。

4（8，R10，11[见下文注释]，12，18）

第4.11节。你不必做问题的第二部分，它的意思是“用这个结果给出……”

期末考试将于4月4日星期一下午在Sakai资源文件夹中提供。

在这一行下面，所有作业都是实验性的。这意味着他们可能会被分配，但在您看到他们被移到上面之前，无法保证他们会被分配。