弗朗西斯·苏

拓扑（数学147）哈维·穆德学院，2019年春季。具有基本群的点集拓扑。预研究：一学期的实际分析。

先决条件：数学131（分析）。数学171（代数）是一门必修课。

基于探究的学习：本课程将以IBL（基于探究的学习）的形式授课。您将收到包含定理、定义和示例的讲义。你的目标是在有指导的发现过程中自己证明所有的定理：与同学合作，并在我的指导下。

你将轮流在课堂上演示定理的证明，而其他学生将确定它是否正确。如果你陷入困境，我会提供关于材料的观点和激励示例。

文本：这门课的课文是我与Starbird合著的书的草稿：《通过调查的拓扑》。未经我的允许，请不要以任何形式将本书分发给任何人。

无外部来源：按照IBL课程的惯例，禁止您咨询任何外部资源，包括教科书或互联网，以解决这些问题。[例外情况是你需要在其他课程中使用的资源。]本课程的乐趣在于与想法斗争，并享受挑战性的问题，这将拓展你的思维。

笔记本：你应该买一个活页夹，在里面你可以保存所有的课程笔记。当你在本课程中证明定理（或在课堂上看到它们被证明）时，你将写出这些证明并将其添加到本笔记本中。从某种意义上说，你正在写你自己的关于这个主题的书，里面有你自己的证据。作为课程成绩的一部分，这些笔记本将进行评估。更重要的是，当你回顾自己的经历时，一本漂亮的笔记本会让你感到非常自豪。

作业：你将被要求写下选定的定理，每周交上来。因此，重要的是要注意课堂上给出的定理的证明，因为你会把这些写出来作为学分。

考试：不会有期中考试，但会有期末考试。

分数：我希望你不要担心成绩。我希望你专心学习。但既然我们必须这么做，分数将通过以下方式确定。你70%的成绩将基于规格。这意味着您必须满足以下各项规范才能通过本课程：

• 在本学期的课程中，在课堂上展示15次，包括5次生产性失败。
• 在这学期的课程中，在课堂上问15个问题。
• 在通用解决方案集中贡献15个证明[张贴在“资源”选项卡中]
• 编辑通用解决方案集中的15个证明（以改进其他解决方案）。
• 准备一本组织有序的笔记本，在整个学期的2/3时间内将其交上来，这些笔记本将被评为例外及格/不及格。

家庭作业和期末考试将占你成绩的30%。

荣誉代码：我们鼓励合作，但解决方案应单独编写。未经我的允许，你不得查阅数学以外的资料，除非有其他课程需要。

预计这门课程会很有挑战性，但也会很有收获。IBL格式的价值在于，当你自己证明定理时，你永远不会忘记你提出的证明，你将对自己作为数学家的能力充满信心！

笔记本中应包含的内容：
–跟踪进度的总结表和评估
–反思练习
–定理和练习的证明或草图
–您为课程做的任何其他笔记
–任何返回的作业
如何组织笔记本取决于你。你笔记本上的校样可以是手写的，也可以是电子的，两者都可以。到了交笔记本的时候，如果你愿意，你可以用电子方式交。

经验法则是，这本笔记本应该是你10年后骄傲地回顾的东西。因此，它应该包含足够的细节，以便您重建您的想法。我鼓励你仔细写定理：请参阅我的《优秀数学写作指南》。

汇总表和评估。您的摘要表应列出：

• 你在课堂上展示的15个证明（包括5个生产性失败）-仅列出定理编号
• 你在课堂上问了15个问题（列出定理编号）
• 您为公共解决方案集提供的15个证明：您将在该文档中记录它们，但这里也列出定理。
• 你在公共解决方案集中编辑了15个问题：你将把它们记录在文档中，但这里也列出了定理。
• 根据以下准则对笔记本进行评估。

你和我都会评估你的笔记本。使用以下量规，并在总结表中说明您将使用此量规分配给自己的分数。

特殊通行证课堂上讨论的每个定理和练习都有完整正确的证明或证明草图。尽管没有分配给课堂讨论或家庭作业，但完成的校样还有很多。校样和校样草图写得很好。图片丰富。符号选择得很好。证据中的微妙之处得到了承认。包括反思练习。说明为什么您的笔记本应获得特殊通行证。

通过课堂上讨论的大多数定理都有证明或证明草图。有很多已经完成的定理没有被分配给家庭作业。图片很充足。如果你10年后再看，你可以根据你写的东西重建大部分论点。包括反思练习。指出笔记本为什么应该获得通行证。

尚未通过=指出你有哪些不足，以及你将如何通过。
我鼓励你也向同学们寻求反馈，让他们根据这个准则对你的笔记本进行评估。

反思练习。思考以下问题：
你在这节课上学到了什么关于做数学或创造数学的过程？编织出以下潜在答案：

• 你经历过：快乐、美丽、回报吗？
• 关于奋斗的价值，你学到了什么？
• 关于社区的重要性，你学到了什么？

证据建议。很多时候，你都会遇到问题。这是真正的学习发生的地方。以下是几个想法：

画画！例如，并集、交集、补集等通常由圆有效地表示。确保你彻底理解了所涉及的定义，并举出例子！如果你不能解决整个问题，就做一个特例。每个假设都是必要的吗？构造示例，说明如果缺少假设，为什么定理会失败。这通常会向您展示证明所需的内容。问问你自己，你是否可以修改这个陈述来获得一个新的相关定理。当你有证据时，问一下用同样的证据还能证明哪些其他陈述？本课程的目标之一是帮助您将数学更多地视为技术、示例和证明的集合，而不是定理陈述的集合。

演讲建议。草图。首先简要概述论点，然后再给出细节。大纲应该由一系列完整、真实的陈述组成，当你给出细节时，可以解释这些陈述的证据。如果被问及细节，请做好准备。大声说话。在课堂上与其他人见面，练习相互出示证据！知道证据和提出证据是两件非常不同的事情！

主场比赛。经验法则。保持12个定理领先于我们上次结束的地方。

• 1月28日星期一。阅读引言，浏览第1章，阅读第2章引言和第2.1节。
• 到期日：1/30，星期三。HW#1。交给第2章（3，5[仅限有限补语]，8，13，14）。
• 2月4日星期一。开始阅读第3章。工作到第2章末尾，特别是关注定理。
• 2月6日星期三。HW#2。交上第2章（20、23、26、30）和第3章（3）。
• 2011年2月2日星期一。在第3.1节中，处理9、10。略读第3.2节（子基），如果你愿意的话，可以处理它，但我们不会花太多时间。在第3.3节中，只处理与字典序平方（20，21）有关的问题。在第3.4节中，至少完成25-27。
• 2013年2月2日星期三。继续阅读第3.4节至第37节，阅读产品空间介绍。
  HW#3。交出第3章（8、9、10（第4部分）、21（仅示例D）、28）。
• 2018年2月2日星期一。继续第3.4节的工作38-42（至少考虑其中的3项）和第4章的工作1-7。
• 2月20日星期三。继续第4章，完成17，但12和13是可选的。
  HW#4交第3章（31（仅F）、41）第4章（1、5、9）。
• 2月25日星期一。继续第4章：完成第4.1节和第4.2节的所有内容。阅读第4.3节的全部内容，但将注意力集中在第19、20、23节。在第4.4节中，重点关注29、30、31、32。阅读4.5。
• 2月27日星期三。完成4.4，重点关注29、30、31、32。阅读第5章简介和第5.1节，完成除5.7和5.8以外的所有练习和定理。
  HW#5交出第4章（6[仅第4部分]、11、15[除正常情况外的所有情况]、17、23）。
• 3月4日星期一。完成5.15（跳过7、8、12、13）。阅读第5章的其余部分。
• 适用于3/6星期三。在第5.3节中，只做15和18。然后在第6章至第6.9章中进行工作（第1章至第3章应为分析回顾）。
  HW#6交第4章（29，32）第5章（6，11，18）。
• 2011年3月1日星期一。学习第6.1节中剩下的所有定理，学习第6.3节中的所有定理（可选练习）。第6.2节应该主要从分析中复习，所以请阅读，但我们将跳过它。我们将跳过第6.4节和第6.5节。阅读第6.6节。
• 2013年3月3日星期三。开始学习第7章，尤其是第7.1节中的所有定理（8、14除外）。许多都是直接省去的，所以我们将飞越其中一些。
  HW#7交第6章（5、9、12、18）第7章（7）。
• 3月25日周一。在7.2节中解决这些问题：15、18、20、21、22、24，以及7.3节中的所有定理。（你要避免涉及Lindelöf，可数紧，第二可数的定理）。
• 3月27日星期三。运用第7.4节和练习7.41中的所有定理。没有要提交的硬件，但请在笔记本上工作并为在线解决方案集贡献力量。
• 4月1日星期一。阅读第7.5节的所有内容，阅读所有定理和练习，思考每一个，但要关注这些问题：45（尤其是第3部分）、46、48、53、54、55。阅读第7.6、7.7节，但不要做问题。阅读第8章简介和第8.1节，做1、2、3、4、5。
• 4月3日星期三。在第8.1节中，执行以下操作：6、8、12、13。阅读第8.2节（不要做任何问题）。在第8.3节do:18中，浏览该节的其余部分。
  HW#8交第7章（21、24、41、42）第8章（4）。
• 4月8日星期一。在第8.4节中，做：35、36，浏览本章的其余部分。略读第9.1和9.2节，尤其是定理9.11和9.14。阅读第9.3节，并执行该节中的两个定理：24、25。阅读第12.1节，做：2、3、4、5。
• 4月10日星期三。执行第12.1节，执行：4-14。作业正在交笔记本。请参阅“笔记本”上的选项卡了解评估准则，并完成找到的说明，其中包括反思练习。（我在那一页的说明中用蓝色表示了一些小的改动。）这是初步的笔记本检查。如果你获得了高分或及格，你将完成本学期的笔记本要求。如果你获得了一个“尚未通过”（或获得了一张“通过”但想要一张“高通”），你可以在课程的最后一个星期一交笔记本。
• 2015年4月4日星期一。执行12.1（11、12、14、15）12.2（18-20，跳过21）12.3（22-24）
• 2017年4月4日星期三。理解强变形收缩的定义。执行12.3（25-34）HW#9交第12章（2、3、7、18、19）。（此作业不可改写。）
• 4月22日星期一。做12.3（20、22、24、26、29、32、33、34、36），准备好展示。
• 4月26日星期三。研究12.4（40–48）中的Van Kampen定理。
  HW#10交出第12章（14[值两倍]，27，30，40）（此部分无需重写）。互相讨论问题！（特别是，如果你在4月17日星期三讨论问题14时没上课，请找我或其他人聊聊。）
• 4月29日星期一。完成12.4（41、42、44[思考为什么？]、45、46、47）。另外，选择几个你自己的空间，用两种不同的方法用范坎彭定理计算这些空间的基本群。如果你愿意的话，这应该给每个人一个机会来展示一些东西。此外，我们将给人们一些时间来展示一个你现在正在思考的问题，基于你目前所看到的拓扑结构。您可以阅读最后几节12.5、12.6和12.7，了解想法。
• 5月1日星期三。完成12.4（49、50、51、52、53）。此外，我们将给人们一些时间，根据您目前所看到的拓扑结构，提出一个您正在思考的问题。周三的任务是准备笔记本。标准是一样的（见上面“笔记本”上的标签），但更新你的反思，并分别提交，因为我想保留它们！