Tanya Khovanova的数学博客

我最近买了一本埃夫多基莫夫的书，书名是数学的百种颜色这本书有可爱的数学谜题和可爱的图片。这本书有答案，但没有解释。此外，英文翻译也不错，但并不完美。由于这两个原因，我不确定我会推荐这本书。然而，我确实喜欢这些拼图，这里有一个，叫做失控单元格.

困惑。图片中描绘的人物（一个6乘6的正方形，其中顶行移动了一个正方形）沿着网格线切割成几个相同的部分，这些部分可以放在一起形成一个6乘以6的正方。允许翻转零件。此类零件的最小数量是多少？

另一个可爱的几何拼图被发布在脸书上。

困惑。平面上的等边三角形有三个已知x坐标的顶点：a、b和c。三角形的边是什么？

我想描述一下Facebook频道的读者发布的三种不同的解决方案。但在这样做之前，让我们先看看这个问题的对称性。我们可以马上说答案应该是三个变量的对称函数：|a-b|、|b-c|和|c-a|。协调解决这个问题是可能的。然而，我总是喜欢几何解。话虽如此，如果想进行计算，使用复数可能会加快速度。

使用复数的解决方案。假设c是原点，那么第一个顶点对应于复数a+xi。然后，将第一个顶点绕原点旋转60度，即可找到第二个顶点。这意味着它位于（a+xi）exp（±2πi/6）。在不损失一般性的情况下，我们可以假设第二个顶点对应于（a+xi）（1+i√3）/2。由此得出b=（a−x√3）/2。因此，x=2（a/2-b）/√3。边长为√（a²+x²)=√（4（a²-ab+b²)/3). 根据原点的选择进行调整，我们得到长度为√（2（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²)/3).

几何解。通过与x轴平行的点a画一条线。相应地，将这条线与线x=b和x=c的交点表示为P和Q。设R为BC边的中点。然后，三角形PQR是等边的。为了证明这一点，请注意角度ARC和AQC是正确的，这意味着点ARCB与直径AC在同一个圆上。因此，角度RCA和RQA是相同的；因此，角度RQA为60度。鉴于三角形PQR是等腰的，因为R必须在PQR的平分线上，我们得出结论，三角形PQRs是等边的。现在，我们可以计算PQR的高度，从而计算ABC的高度，结果如下。

物理解决方案。在不损失一般性的情况下，我们可以假设a+b+c=0。因此，y轴穿过三角形的质心。由三个三角形顶点组成的系统相对于y轴的惯性矩为²+b条²+c（c）²现在，我们添加对称性考虑：惯性椭圆必须在60度旋转下保持不变，这意味着椭圆实际上是一个圆。这意味着惯性矩在任何系统旋转下都不会改变。因此，我们可以假设其中一个顶点位于y轴上。在这种情况下，惯性矩等于L²/2，其中L是三角形边的长度。答案如下。

这是伊万·米特洛法诺夫的一个有趣的谜题。

困惑。在我的狗福吉面前，躺着无数个肉丸，每个肉丸上都坐着一只苍蝇。在每次移动中，福吉都会进行下面描述的两次连续操作。

1. 吃了一个肉丸子，所有的苍蝇当时都坐在上面。
2. 将一只苍蝇从一个肉丸子转移到另一个肉丸（肉丸子上可以有任意多的苍蝇）。

福吉想吃不超过一百万只苍蝇。假设苍蝇一动不动，证明福吉没有在某个时候吃每个肉丸的策略。

这两个谜题是由安德烈·凯辛.

困惑。我和我的朋友打算在赌场玩下面的游戏。每一轮，我们每个人（我的朋友、经销商和我）都会秘密地选择一块黑色或白色的石头，然后把它放在同一个袋子里。然后，袋子里的东西就被揭开了。如果这三块石头的颜色都一样，我和我的朋友就赢了。否则，我们将输给经销商。另外一个警告。我有一个超能力：只要我们坐下来，我就能读懂经销商的想法，了解经销商在未来所有回合中的选择。不幸的是，那时，我把这些信息告诉我的朋友并赢得所有的比赛已经太晚了。我们唯一能做的就是在比赛前就策略达成一致。

• 设计一个策略，在10局中赢得6局。
• 设计一个策略，在11轮比赛中赢得7轮。
• 有可能在9轮比赛中赢得6轮吗？

困惑。在70人的人群中，一人是凶手，另一人是谋杀案的目击者。侦探可以邀请一群人进入他的办公室，询问是否有人知道什么。侦探知道除了证人之外，每个人都不会说话。证人是一个负责任的人，他对凶手的恐惧超过了他们履行公民义务的愿望。如果证人与凶手属于同一组，证人将保持沉默；否则，证人会指向凶手。侦探知道这种情况会发生，并希望在尽可能少的办公室聚会中找到凶手。他需要使用办公室的最低次数是多少？侦探应该如何操作？

有很多谜题，你需要猜测一些只问“是”或“否”的问题。在这个谜题中，可能的答案不是两个，而是三个。

困惑。迈克想到了三个数字中的一个：1、2或3。他可以回答“是”、“否”或“我不知道”。皮特能猜出一个问题中的数字吗？

是的，他能。这个问题出现在我的一份作业中，我的学生有很多想法。这是第一个想法相似的列表。

• 我在想一个奇数。我的数字可以被你的数字整除吗？
• 如果我选择1或2，你的数字会比我的大吗？
• 如果我从集合{1,2,3}中选择一个与你不同的数字，我的数字会比你的大吗？
• 如果我有一台机器，它接受数字，除了50%的机会把二变成一之外，什么也不做。经过机器后，你的号码是一吗？
• 如果我选择一个1.5到2.5之间的数字，我的数字会比你的大吗？
• 如果你的数字是x，而我把一枚硬币掷了x次，那么当我把同一个硬币掷出去时，会不会至少有两次？
• 我在考虑一个比较运算，它要么是“更大”，要么是“大于或等于”。你的数字可以这样与2相比吗？

一个学生很直率。

• 迈克，请帮我一个忙，如果你在考虑1，请回答“是”，如果你考虑2，请回答‘否’，如果你想3，请回答'我不知道'？

一个学生使用了一个著名的未解决的问题：不知道是否存在奇数完美数。

• 每个完全数都可以被你的数整除吗？

然后，我把这个给了我的孙子们，他们决定用谜题的形式来回答。回报时间。

• 我也在考虑一个数字，我不知道它是否是你的两倍。我们的数字之和是素数吗？

我很少发布物理难题，但这一个太好了，无法传递。

困惑。组装线框二十面体，使其每个边的电阻为1。二十面体相对顶点之间的总阻力是多少？

当我们在做的时候，另一个有趣的问题是下面。

困惑。组装线框立方体，使其每个边的电阻为1。立方体相对顶点之间的总阻力是多少？

这让我想起了多年前我在为IMO做准备时听到的一个问题。

困惑。组装线框无限方形网格，使其每个边的电阻为1。两个相邻顶点之间的总阻力是多少？

这是我给我的PRIMES STEP学生的家庭作业问题。

困惑。一名男子从办公室给妻子打电话，说他将在八点钟左右回家。他在八点过两分钟到达。他的妻子对这次迟到非常生气。为什么？

预期的答案是，她认为他会在晚上8点回家，而他会在早上8点到达。然而，我的学生有更多的想法。

例如，一名学生延长了时间框架。

• 那人迟到了一年。

另一名学生发现“got in”这个词有歧义。

• 他八点过二分没有进他的房子。他上了他的车。

一名学生意识到，谜题从未直接说明她为什么生气。

• 当他说他八点左右会回家时，妻子已经很生气了，因为她需要他早点回家。

学生们发现了“从办公室给妻子打电话”和“会议记录”的替代含义

• 他有一个办公室妻子，他打电话给她。但家里的妻子是另一个妻子，她很生气。
• “八点过二分”可能是一个纬度。

困惑。有100张卡片，上面有从1到100的整数。您有三种可能的场景：随机选择18张、19张或20张卡片。对于每个场景，您需要估计牌和为偶数的概率。你不需要做精确的计算；你只需要说概率是小于、等于还是大于1/2。

我喜欢在每个家庭作业中都包括热身游戏。

困惑。农民贾尔斯有四只羊。有一天，他注意到他们都站在相距相同距离的地方。怎么会这样？

预期答案：在2D中配置是不可能的。所以，其中一只羊在山上或坑里。

一些学生认为是大的：羊可以被放置在地球周围的不同位置，形成一个真正大的四面体。在这种情况下，我们需要解释农民“注意到”意味着什么，但这个小问题可以通过多种方式解决。

一些学生质疑距离这个词的意思。他们认为，如果绵羊都互相接触，那么它们之间的距离是相同的0。发生这种情况的一种方式是，如果四只羊的尾巴被缠住。

我喜欢玩硬币拼图，但经过几次与那些闪亮的光盘相关的研究项目后，我对它们感到厌倦了。疲劳是暂时的，下面的脸书谜题再次激发了我的兴趣。

困惑。一个圆圈里有30枚看起来一样的硬币。然而，其中20个是假的，其余的是真的。假硬币的重量一样，而真硬币的重量相同，但比假硬币重。你需要用天平一次找到尽可能多的假硬币，因为假硬币是连续放置的。你的策略是什么？