Tanya Khovanova的数学博客

有一次，我在普林斯顿，听了Persi Diaconis的演讲。约翰·康威也在那里。在演讲中，佩西提到了约翰，称他为“了不起的约翰·康威”。约翰忍不住说：“谢谢你，你是记住我真名的少数人之一。”

我最喜欢的埃舍尔平面镶嵌是带壳的。这是令人惊叹的，它背后的数学是美丽的。我想感谢已故的约翰·康威教我这幅画的秘密。

数学家对镶嵌感兴趣是因为镶嵌背后的对称性。该细分具有平移和旋转对称性。你能找到它们吗？

当我要求我的学生找出旋转对称性时，他们立即告诉我，他们看到了两个不同的4倍点，也就是90度旋转保留图形的点。一个点，我叫G，是四个点克绿色的贝壳相遇，我称之为R的一个点是四个第页涡流炮弹相遇。

正如你可能已经猜到的那样，学生们的答案并不十分正确。这幅画还有更多。看看一个深棕色的外壳，它看起来像一个弯曲的矩形。这个形状有标记。现在看一个特定的点R及其四个最近的棕色外壳。你可以看到，围绕着这个点R，棕色的壳交替着它们的方向：这些壳的黑暗面要么朝向点R，要么远离点。

这幅作品的最大秘密在于它包含两个对称群：一个群和一个子群。如果我们忽略棕色外壳上的标记，将它们视为一种纯色，那么R点确实是一个4倍对称点。此外，棕色形状的中心是一个2倍对称点。因此，这个简化图的对称组在orbifold符号中是442。

如果我们考虑棕色外壳的标记，那么R点不是4倍旋转，而是2倍旋转。点G保持4倍旋转的特性。如果你知道你的对称群，你可以得出结论，应该还有另一个4倍的旋转。但它在哪里？

我会说出我的答案。对称点G不再是一个对称点。绿色贝壳在两个不同的点交汇。棕色贝壳的黑暗面对着其中一个，并将目光从另一个身上移开。

这幅图的秘密在于它展示了两个对称群：群442及其子群442，具有不同的基本区域。要了解这个秘密，你必须仔细观察一个深棕色的贝壳，找到它较暗的一面。

什么是基数3/2？定义这样一个基的方法之一是用爆炸点来考虑它。究竟是什么爆炸点？他们被解释和推广詹姆斯·坦顿在他的YouTube视频中。

从本质上讲，“爆炸点”是一种由一排盒子组成的机器，规则描述了装入机器的点是如何爆炸的。举个例子，让我描述一下1←2台机器，对应于底座2。我们装载N个点到最右边的框中。只要一个框中有2个点，它们就会在左边的框中爆炸成1个点。

例如，要在基数2中写入5，我们将首先在最右边的框中加载5个点，如上图所示。然后，最右边方框中的每组2个点都会爆炸，对于每组，左边方框中会出现1个点。最后，第二个框中的2个点会爆炸成1个点，进入左边的下一个框中。通过从左到右读取点数，我们得到101，即以2为底的5。

有趣的是，这个模型没有理由只适用于整数基。假设我们的规则是3个点在左边的框中爆炸成2个点。这样的规则称为2←3台机器，它对应于底座3/2。为了在此基础上表示5，我们将5个点加载到最右边的框中，然后使用下图所示的爆炸规则。使用此机器，5在基数3/2中表示为22。

这些数字是我的初级PRIMES STEP小组在2017-2018学年为我们的论文制作的，Base 3的变体超过2.

但是，在这篇文章中，我想讨论同一学年的不同论文。与我的高级PRIMES STEP小组一起，我们写了一篇论文论基3/2及其序列一个简短的版本出现在数学信使.

说到英国数学家约翰·康卫他喜欢发明新的序列，尤其是那些行为异常的序列。他的爱好之一是修改斐波那契规则来创建新序列，他称之为光纤例如分类光纤序列的开始与Fibonacci序列的0和1相同。为了计算下一项，我们将前两项相加，并按非降序对数字进行排序。以10为基数，这个序列是A069638号: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 12, 25, 37, 26, …. 众所周知，该序列是周期性的，最大值为667。

在我的高级PRIMES STEP小组中，我们研究了这个序列的碱基3/2的类似物。我们从排序的Fibs序列f开始_n个使用相同的两个初始值开始斐波那契序列：f₀=0和f₁= 1. 计算f_n+1，我们加上f_n-1个和f_n个以3/2为基数，并按非递减顺序对数字进行排序。由此可见，序列中的数字被写为几个1后面跟着几个2。与基数10不同，序列不是周期性的，无限增长：0、1、1、2、2、12、12、112、112、1112、1112…。鉴于这种纤维蛋白序列不断增长，我们称之为皮诺奇序列。

显然，可以用任意两个数字开始排序的Fibs序列。但我们证明了一个有趣的定理，该定理指出，任何排序的Fibs序列最终都会变成Pinocchio序列的尾部或3循环11211221122。

然而，我们并没有就此止步。有两种自然的方法可以按递增或递减顺序对数字进行排序。当然，还有另一种类型的序列值得考虑，其中的数字是按非递增顺序排序的。我们将这样的序列称为反向排序光纤.

我们定义了反向排序的Fibs序列r_n个以3/2为基数，如下所示。计算r_n+1，我们加上r_n-1个和r_n个以3/2为基数，按非递增顺序对数字进行排序，忽略零。因此，在初始项之后，这样一个序列的项用几个二加几个一来表示。我们将以类似于Fibonacci序列的方式开始的反向排序Fibs称为r₀=0和r₁=1正确的反向排序光纤下面是正确的反向排序光纤的几个术语：0，1，1，2，2，21，21，221，2211，221…。该序列从r开始循环₇.

我们还发现了一个反向排序的Fibs无限增长：2211、2211、22.211、22211、22.2211，依此类推。我们证明了任何反向排序的Fibs序列最终都会变成这个序列或一个3循环序列：221、221、22.11。排序后的Fib和反向排序的Fib之间的相似性让我们感到惊讶。在最初的术语中，它们都只有一个无限增长的序列和一个3周期。为了强调这种相似性，我们颠倒了Pinocchio这个词，并将这个不断增长的反向Fibs序列命名为Oihcoconip序列。

现在我需要弄清楚如何发音这个新序列的名称。

我的一篇关于约翰·康韦的帖子中有一张我在2015年拍的照片，翻阅了一本关于他自己的书，天才在游戏。我允许维基百科使用这个图片，他们照做了。他们还为他们用荷兰语写的关于约翰·康威的文章。我喜欢这个结果。

我的朋友，英国数学家约翰·康卫，有一个技巧来帮助他处理棘手的情况。每当他需要做出一个非平凡的决定时，他会问自己，“约翰·康威会怎么做？”正如他向我解释的那样，他考虑到了他自己创造的公众形象。他喜欢这张照片，并认为这一心理技巧帮助他成为一个更好、更有效率、不可忘记、更加浮华的人。

有时，我发现自己需要一个决定，问自己，“约翰·康韦会怎么做？”他给了我答案：我应该改变这个问题，问自己：“坦尼亚·霍瓦诺娃会怎么做呢？”

昨天，我偶然发现了一张约翰·康韦的照片，我完全忘记了自己的照片：它被保存在一个错误的文件夹中。这张照片是在2015年的MOVES会议上拍摄的。在原始照片中有第三个人，但我不记得她了。我决定删掉她，因为我不知道如何联系她以获得发布这张照片的许可。

（我为La Recherche写了这篇文章。它由Philippe PAJOT翻译成法语。你可以在约翰·霍顿·康韦：一个数学魔术师消失了。)

与我认识的许多其他数学家不同，约翰·康韦（John Conway）非常关心他表达事物的方式。例如，在他发明的被称为康威奇才的拼图中，奇才们必须乘坐公共汽车。为什么公共汽车这么重要？你看，拼图中的数字与一其中一个向导的geb条以及向导的编号c（c）孩子们。读者能够使用方便的符号对约翰来说很重要一，b条和c（c）对于这些数字，记住哪个数字是哪个。

当我讲授整数和序列时，我会给我的学生看一张不同著名序列的列表。观众的第一个问题几乎总是：“什么是邪恶的数字？”正如你可以猜到的，这个序列的名字是由约翰·康威发明的。这个名字是和另一个序列的名字一起发明的，这个序列叫做奇数。这两个序列在相同意义上是互补的，因为偶数和奇数是互补的：每个自然数要么是邪恶的，要么是可恶的。名字很好，不仅因为它们吸引人，而且因为它们有助于记住序列是什么。Ev公司il数字是带有电动汽车二进制表示中的n个1。我假设你可以插入日厄斯数字是。

当约翰讲课时，他用各种技巧强调要点：我不时看到他大喊大叫或扔鞋。有一次，我记得他盯着黑板上写的声明看了很长时间。我演讲厅的邻居感到不舒服。他认为约翰当时已经70多岁了，他已经忘了自己想说什么了。我让邻居冷静下来。这是我第四次听同样的讲座，包括同样的停顿。约翰·康威没有忘记。

这张照片拍摄于2019年12月21日，正值晚餐前，摄于Parker Life护理机构。

一次英国数学家约翰·康卫向我展示了一种有趣的方法来列举4号拉丁方块，直到飞机的运动。这是亚历克斯·里巴（Alex Ryba）的联合成果，现在已经发表在一篇论文中肯宁·肯肯.

首先，我想提醒你，一个拉丁正方形的大小n个是一个n个通过n个用整数1到整数填充的表n个，以便每一行和每一列都没有重复的整数。KenKen是John Conway喜欢的一款游戏，你需要在给定一些信息的情况下恢复一个拉丁方。

首先，让我描述一个四个单元格的特殊形状，一个数字可以在一个大小为4的拉丁方中占据。只有七种不同的形状。为了得到漂亮的结果，我们需要以从零开始的特定顺序对这七个形状进行编号。形状如下所示。

有12个不同的拉丁方块，可以移动方块并重新标记数字。以下是康威和瑞巴如何匹配形状和方块。对于每个拉丁正方形，取所有四位数字的形状，去掉重复的形状数字，并将剩余的形状数字相加。你会得到一个从1到12的唯一数字，代表一个特定的拉丁方。例如，考虑下图中的方框。

数字1表示形状4，数字2和4表示形状2，数字3表示形状6。形状2使用了两次，我们忽略了多重性。所以我们使用了形状2、4和6。得到的拉丁方是数字2+4+6，即12。尝试找到所有方块是一项有趣的练习。例如，方形1只能使用形状0和1。但形状1正好使用一个角。所以第一个正方形应该使用形状1中的每个数字。

约翰喜欢找到有趣的方法来记住哪个形状是哪个。你可以在亚历克斯提交给arxiv的文件中找到他和亚历克斯的建议。

哎呀！当我写这篇文章时，阿西夫拒绝了这篇论文。共享：

约翰·康韦（John Conway）来到2017年MOVES会议上，告诉我他想和我谈谈次级抵押贷款的谎言。次级斐波那契数列是约翰·康韦发明的，我写了一篇关于它的论文Conway的次素Fibonacci序列，不是与约翰合著，而是与理查德·盖伊和朱利安·萨拉查合著，发表于数学杂志.

我想去拜访住在普林斯顿的朋友朱莉娅，这是一个很好的机会，可以和约翰讨论次贷谎言的奥秘。在普林斯顿大学的第二天，我下午3点左右带着一些苹果来到数学系。约翰从来不出去吃午饭，因为他走路有困难，所以他在一天工作结束时总是很饿。因此，每次我去拜访他，我都会带着食物来。我们对苹果有不同的口味：和我不同，他喜欢没洗过的苹果。

无论如何，当我到达部门时，约翰已经离开了。这有点不寻常，所以我给他打了电话。他的声音听起来很奇怪，不太连贯，好像他感觉不舒服。考虑到他早走了，我开始担心起来。不幸的是，在我们的谈话中有很多背景噪音，我只知道他在一个披萨店。约翰走得很慢，所以他离校园不可能走得太远。我在我检查的第二个披萨店找到了他。那是老虎披萨。他告诉我，他觉得很困很累。然而，我很高兴看到有一位感兴趣的听众给了他多少能量。他很久以前就开始给我讲他去德国旅行的故事。他已经吃过了，但决定再吃些薯条。作为一个完美的绅士，他给了我一些，但我不想要。

有时他把几条薯条掉在了地板上。他试图接近他们，我跳过去帮忙。这是一个错误。我知道他喜欢向我和他自己证明他可以独立完成任务。当我对他的帮助很微妙，或者是不可避免的时候，他会接受我的帮助。无论如何，他愤怒地看着我，我退缩了。他从地板上捡起薯条吃了起来。

我喜欢他的T恤，并试着给它拍照。正如你所看到的，我不是摄影师。T恤上显示了一个测试问题：命名三角形。然后它有三个三角形：等边三角形、等腰三角形和右三角形。它还提供了一些人对这个命名测试的答案：杰弗里、弗雷德里克、尤金。

约翰问我是害怕唐纳德·特朗普还是金正恩。我们一致认为特朗普更可怕。这时，他看起来像平时一样。

我让约翰搭我的车回家，就像我每次去看他一样。他很高兴，因为他觉得很累。他开始站起来。这一次，我记得不要试图帮忙。他站不起来，我等着。他试图把体重从桌面上推开，但桌子摇晃着。我倚在桌子上，好像在休息。我们经常玩这样的游戏，只要我们都假装我不帮忙，他就会欢迎我的帮助。

我的车就在一个街区外，他想走过去。但走出披萨店两步后，他改变了主意，让我把车带给他。这是第一次。这次访问他比以往任何时候都糟糕得多。

在开车去他家的路上，他给了我一个难题：

约翰的难题。给定一个带孔的Mebius条带，如何将其嵌入三维中，以便曲面的两个圆形边界相等？

我把他送到他家，并主动送他到门口。他拒绝了。我坐在车里，看着他沿着小路慢慢地走。我心里有种不祥的感觉，我最后一次见到约翰了。他一消失在门后，我就开车走了。

在回波士顿的路上，我拜访了我在东不伦瑞克的朋友维塔利，第二天，我在爱迪生的高中朋友奥尔加。在爱迪生，我的车开始发出嘟嘟声，我惊慌失措。我当时离家很远，不想被困在新泽西州。我开始寻找声音的来源。那是约翰的电话。一如既往，我的直觉欺骗了我：我必须回到普林斯顿大学。

我开车回约翰的公寓。他的门没锁，我进去了。他正在床上休息。他对被打扰感到非常恼火。我解释了原因，并给了他手机。他拿起电话说：“走开。”我有一种深深的感觉，这些话将是我从约翰那里听到的最后一句话。共享：