如何创建新的整数序列

塔尼亚·霍瓦诺娃

摘要

创建新的给定序列或给定序列对中的序列。在本文讨论了这些程序中最流行的。对于每个程序，我根据三个著名的例子给出定义并举例序列：自然数、质数和斐波那契数列数字。我还添加了我对序列的想法很有趣。

我的目标是帮助我的读者发明新的序列，区分有趣的序列和枯燥的序列，更好地理解他们遇到的序列。

目录

介绍

人们使用几个标准程序创建新的给定序列或给定序列对中的序列。我经常使用“程序”一词，可与“转换”、“操作”或“方法”互换。在这个论文我讨论了最流行的程序。我只对整数序列，尽管大多数操作都可以应用其他序列。下面是我的11个例子的列表逻辑组：

  1. 作用于序列元素的函数
  2. 作用于序列元素索引的函数
  3. 序列的组成
  4. 合成反转
  5. 作用于两个序列的函数
  6. 设置操作
  7. 作用于集合的函数
  8. 离散微积分
  9. 几何逆序列
  10. 两个序列的卷积
  11. 二项式变换

对于每个操作，我都提供了使用三个基本序列的示例。我的“实验鼠”是三种非常流行的序列：自然数、质数和斐波那契数：

对于生成的每个新序列，我检查该序列是否在在线的整数序列百科全书（OEIS）。如果它在那里，我提供OEIS中的相应链接和定义。

之后展示我讨论过的例子。的主题之一讨论是结果的有趣之处：是否产生了序列有趣与否，以及为什么或为什么不有趣。作为OEIS数据库序列的定期提交者，我构建了一个有趣的序列和值得提交到数据库的序列的情感同构。在本文中，我交替使用有趣和值得提交的概念。

很容易创建通过组合或重复所讨论的过程来获得无限个序列。大多数这样的序列都不会有趣，因此也不会值得提交给组织环境信息系统，没关系提交无限期所需的时间承诺序列数。随机选择一个序列，应用此处讨论的随机过程并提交结果序列。把所有的应用所有这些程序并提交所有结果。这对在OEIS数据库，在查找顺序。存在这样一个程序，它被称为超级搜索.超级搜索使用自己的列表转换的部分与列表重叠我在这里讨论的程序。我希望未来Superseeker会变得更加强大，并将包括此列表中的更多程序。

同时，如果你采用随机序列并应用随机过程，有很多事情可能会让你的新序列变得非常有趣且值得提交：

我讨论的程序不仅对生成新的序列，但也用于分解现有的将序列转换为更简单的序列。在这篇论文的末尾，我给出了两个从我的“lab-rat”序列构建高级序列的示例使用所讨论的过程。

正式手续。我将我的主要序列表示为a（n），其中n个是索引。我假设索引n个以1开头。本文与同步组织环境信息系统7月2007年。OEIS中的序列可能以不同的索引开始。

作用于序列元素的函数

假设（f）是从整数到整数的函数。然后，给定一个序列一，我们可以定义一个序列b条:b条=f（a）款; 其中，对于每个索引n个,b（n）=f（a（n））.那个是，每个元素b条等于函数（f）应用至相同的诱导构件一我们说序列b条是函数（f）按顺序操作一.

有两种特殊情况需要记住。第一种情况：如果f（n）=n个，然后f（a（n））=（n），这是f（n）作为身份。第二种情况：如果f（n）=c，然后b（n）=f（a（n））=c（c）。在我的示例中，我考虑了该函数的四种不同情况（f）。前两种情况是最标准的情况：添加常数并乘以一个常数。第三种情况是更多我随机选择的复杂函数。第四种情况是delta函数，它在本文中起着特殊的作用。

添加常量：让f（k）=k+m，其中米是一个整数。然后b（n）=a（n）+m.对于我的示例序列I考虑特殊情况m=1:

讨论。自然数。将常量添加到自然数字产生移位-新序列本质上是与自然数序列本身相同的序列。

讨论。质数。向素数添加常量数字生成无限数量的序列。哪一个添加常量更有趣吗？一般来说，人们发现加一个很小的数字，比如1或2，比添加一个随机的大数字，比如117。有时存在与序列相关的特定数字，它特别适用于添加。如果是质数，数字2就是差值在双素数对之间。因此，我发现添加数字2到素数比数字相加更有趣2到随机序列。

讨论。斐波那契数列。斐波那契数列是线性的二阶递归。常数序列是线性的一阶的复现。因此，我们可以期望添加Fibonacci序列的常量可以创建一些有趣的东西也是。很容易看出，如果b（n）=斐波那契（n）+c，然后b（n）=b（n-1）+b（n-2）−c=2b（n-1）−b（n-3）.那个是，b（n）是一个三阶线性递归序列。作为一个结果，我发现在斐波那契数列中添加一个随机常数比在序列中添加相同的常数更有趣质数。

乘以常数：让f（k）=mk，其中米是一个整数。然后b（n）=ma（n）.对于我的例子考虑特殊情况m=2:

讨论。质数。素数序列是一个集合具有特殊乘法性质的数字都只能被1和数字本身整除。正因为如此，用一个数字相乘可能比加一个此序列的编号。如果你看素数的结果数字，你会看到2的乘法产生了一个新序列有它自己的描述：偶数是2的乘积素数。同时，素数加一得到一个序列这是用这个精确的运算来描述的：素数加1.也就是说，我发现素数乘以常数是一般来说，比给素数加一个常数更有趣数字。

讨论。斐波那契数列。现在让我们看看斐波那契序列，它与素数序列有很大不同数字。特别是，斐波那契数列是线性递归的第二顺序。因此，当斐波那契数列乘以一个数，则保留递归关系。这个结果序列保留了斐波那契数列的大部分性质顺序。在某种意义上，新的序列几乎和斐波那契数列。同时，没有太多必要当两个序列具有相同的递推关系时，分别研究它们。研究其中一个就足够了，然后转移属性设置为另一个。由于历史原因，斐波那契数列是研究复发的选择顺序a（n）=a（n-1）+a（n-2）.

反向正方形：功能f（k）可能是任何模糊的函数。让f（k）=反向（k2)例如：

讨论。反转数字的结果取决于写入数字的基数。我们主要使用十进制，因为我们我们手上有十个手指。如果我们有14根手指，则相反手术会有一个非常不同的结果。因此，许多数学家认为反转操作不是数学运算，不应被视为有趣或值得一看。这也是非基础相关的原因相比基础数据，更鼓励向OEIS数据库提交数据相关提交文件。同时，在与基地相关的数据库，人们继续提交他们。有一件事有利于这样的序列非常简短的描述。我发现序列用两个词描述非常吸引人。此外，人们喜欢符号和想知道数字的符号属性。我们可以这么说与碱基相关的序列不仅反映了数字的属性，而且还反映了表示它们的符号的属性。

Delta函数：一个非常特殊的案例（f）是一个delta函数。即δ米（n） =1，如果n个=米否则为0。让我们考虑一个示例，其中m=1:

讨论。显然，δ米（n）作用于一个序列a（n）等于1，对于n个这样的话a（n）=米，否则等于0。如果我们的序列a（n）从未达到值米，则结果序列为零顺序。作用于序列的delta函数的过程可以是如果我们的初始序列达到该值，则特别有趣米无数次。

作用于序列元素索引的函数

假设（f）是从整数到整数的函数。假设进一步说f（n）是积极的还是积极的n个，所以f（n）是有效的索引。然后，给定一个序列一，我们可以定义序列b条:b=a（f）; 其中，对于每个索引n个,b（n）=a（f（n））。我们说序列b条是函数（f）作用于序列的索引一.

有两种特殊情况需要记住。第一种情况：如果f（n）=n个，然后a（f（n））=a（n），这是f（n）充当身份。第二种情况：如果f（n）=c，然后b（n）=a（f（n））=a（c）在我的示例中，我考虑了三种不同的情况功能（f）前两种情况是最标准的情况：添加一个常数并乘以一个常数。第三种情况是我随机选择了更复杂的函数。

添加常量：让f（k）=k+m，其中米是一个整数。然后b（n）=a（n+m）; 也就是说，b（n）都是一样的序列为a（n）但被转移了米或者，换句话说，相同的序列从不同的地方开始。

乘以常数：让f（k）=mk，其中米是一个整数。然后b（n）=a（mn）。对于我的示例，我考虑特例m=2:

讨论。你可以注意到斐波那契的二分法序列本身具有递归关系。这不是一个巧合。事实上，如果序列a（n）满足递推关系a（n）=pa（n-1）+qa（n-2），然后是它二等分b（n）=a（2n）满足递归关系b（n）=（p2+2q）b（n-1）−q2b（n-2）.

方形： f（k）可以是任何函数。例如，让f（k）=k2:

讨论。中作用于索引的函数的选择这种情况与素数的内部性质无关或斐波那契数列。这就是为什么许多数学家可能会发现序列A011757号和A054783号不太有趣。事实上，如果你看一下数据库，您会看到，尽管它们是很久以前提交的，他们没有收到任何评论。不过，我知道三件事这两个序列的兴趣度得分的额外分数：

  1. 序列有简短的描述，这总是一个加号。
  2. 序列在增加，这意味着它们不是随机的，并且有一定的顺序。
  3. 这两个序列的增长率很容易近似值。的确，如果克（n）描述了a（n），然后g（f（n））描述了a（f（n））; 而且很容易插入平方函数素数和斐波那契数列的增长率数字。

序列的组成

序列可以看作是从正整数到整数。反之亦然，当限制为正整数，形成一个序列。假设我们有两个函数f（n）和克（n）.功能h（n）=f（g（n））是称为两个函数的组合（f）和克. The函数组合的思想可以扩展到序列。假设我们有两个序列：a（n）和b（n）。此外，假设b（n）对每个人都是积极的n个然后是序列c（n）=a（b（n））被称为一和b条.

正如我们之前所看到的，用自然数合成不会改变序列。也就是说，自然数序列充当此操作的标识。

注：。序列的组成过程非常与前两个过程类似：作用于序列的函数作用于索引的元素和函数。要查看以下方面的相似性更详细地说，让我们从两个序列开始a（n）和b（n）并对应于正整数上的两个函数：f（n）和克（n）.假设序列b（n）是那么是肯定的克（n）是积极的。现在是构图顺序c（n）=a（b（n））与函数的顺序相同如果作用于的元素b条以及与功能克作用于指数一另一方面，如果顺序b（n）不是正面的，我们仍然可以有一个函数作用于它。从这个意义上说，作用于序列的函数是一般运算比两个序列的组合。但为了正序列，作用于序列元素的函数和作用于索引的函数与组合的过程相同两个序列。

自我构成：对于这个特殊情况，让a（n）=b（n），然后c（n）=a（a（n））:

讨论。与上一章的讨论类似，我们可以给序列额外的有趣点A006450型和A007570号:因为它们的简短描述，因为它们是递增序列，因为计算其增长率的简便性。还有别的吗？人们可以希望，如果两个序列相互关联作文可能是一个令人兴奋的序列。序列是绝对的与自身相关-这就足够了吗？显然自我组合不可能对每个序列都同样有趣。什么各种序列允许自我合成产生一些东西特别的？素数和斐波那契数是最好的吗选择插入自我合成？我不确定。我可能会更喜欢将方形序列插入到自我合成中：

组成：由于琐碎，我省略了其中一个序列是自然数序列的情况：

讨论。素数和斐波那契数看起来彼此无关。因此，以下事实变成惊人：每个斐波那契数F（n）就是质数有质数指数n个，除了F（4）=3.这意味着序列A030426级上面包含除3以外的所有素数斐波那契数。我找到这个了序列非常有趣。

合成反转

如前所述，自然数序列充当组合操作下的标识。当我们进行手术时用一个恒等式，我们通常试图定义一个逆对象。对于许多数学运算来说，逆运算是唯一的，或者在最坏的情况下有两个逆运算：左逆运算和右逆运算。有了序列，一切都比最坏的情况更糟。我们将看到，并非总是定义了倒数，而且可能有许多倒数。让我们试着给序列的组成倒数的混乱带来一些秩序。

我们可以从左反转和右反转的标准定义开始。也就是说，给定一个序列a（n）我们说一个序列b（n）是一个的左反转一如果序列b（a（n））是自然的编号规则。我将左逆序列表示为leftInv（n）相应地，右逆序列是表示为rightInv（n），它满足以下属性成分序列a（rightInv（n））是自然数顺序。不用说，序列leftInv（n）和rightInv（n）取决于顺序一.我有时会使用符号左旋（a）（n）和右发票（a）（n）在我需要这种依赖关系明确的情况下。

左反转。首先我们假设a（n）是积极的。下一步，如果a（n）对两个不同的值采用相同的值指数n个，则左逆序列不能为定义。如果a（n）没有到达数字K（K）对于任何索引n个，然后leftInv（K）可以是任何数字。就是说，在这个如果左反转没有唯一定义。从这里我们可以看到只有当a（n）是一个自然数的置换及其左逆序列是反向排列。

许多有趣的序列都在增加。为了能够定义递增序列的左逆，我们需要这个序列不为不同的索引取相同的值。这一要求转化为一个简单的条件：我们的递增序列必须严格递增。假设a（n）是一个严格递增的序列。在这种情况下，可以定义左逆序列。还是有可能不是唯一的，或者更准确地说，除非一是自然数的序列。

每次左逆不是唯一的，我们都有无限多个左逆。为了在这种左反转的混乱中享受一些秩序，我想将左反转的候选对象限制为非递减序列。在这种情况下，我们可以定义两个特殊的左逆序列：最小剩余投资和最大剩余库存称为最小值左逆和最大左逆。我们定义因此对于任何非递减序列b（n），因此b（n）是的左倒数a（n），以下方程式均为真：最小剩余Inv（n）≤b（n）最大剩余库存（n）.

很容易看出最小剩余投资（a）（n）是中的元素数a（n）那个小于或等于n个。此外最大剩余库存（a）（n）是中的元素数a（n）小于n个,加1。特别地，最大剩余库存（n）−最小剩余投资（n）等于0，如果n个属于a（n）和1否则。从这里我们可以得到以下等式：

最小剩余投资（n）+1=最大剩余库存（n）+特征函数a（n）=最大剩余库存（n+1）.

左反转：

讨论。如果您比较左最小/最大素数的最小/最大左逆斐波那契数列的倒数，您可以注意到这些描述。为了解释这个差异，让我给你另一个最小/最大左逆序列的定义。也就是说，给定递增序列a（n），最小左逆序列可以描述为：n个出现a（n+1）−a（n）次。相应地，最大左逆序列可以描述如下：n个出现a（n）−a（n-1）次。根据这些定义，差异可以用事实来解释斐波那契数列的表达式a（n+1）−a（n）和a（n）−a（n-1）可以简化为a（n-1）和a（n-2）相应地。

右反转。我们再次假设a（n）是积极的。很容易看出，如果a（n）没有到达数字K（K）对于任何索引n个，那么右反转不可能是定义。如果a（n）对两个或多个不同的值采用相同的值指数n个则右逆序列只能到达一个（我们可以选择哪一个）。从这里，我们看到只有当a（n）是一个自然数的置换及其右逆序列是反向排列。

假设a（n）是到达每个自然数的序列值。因此，可以定义右逆序列。右边逆序列可能不是唯一的，但我们可以尝试定义两个特殊右逆序列：最小RightInv和最大RightInv称为最小和最大右相应地反转。我们定义它们，以便对任何序列b（n），因此b（n）是的右倒数a（n），以下等式成立：最小右投资（n）≤b（n）≤最大RightInv（n）很容易看出最小右投资（n）是最小的索引k个，因此a（k）=n。此外，最大RightInv（n）是最大的索引k个，因此a（k）=n。很容易看出最小右逆总是被定义的。同时，对于定义极大右逆是必要的和充分的那个a（n）达到每个值的次数有限。

假设a（n）是一个非递减序列每个自然数都值有限的次数。然后是最大值定义了右逆

最大RightInv（n）=最小右库存（n+1）−1.

假设a（n）是一个严格递增的序列。然后定义了最小左逆和最大左逆。此外，这两个序列都是非递减序列，每一个值的到达次数都是有限的。这意味着我们可以定义序列的最小和最大右逆最小剩余投资（a）（n）和最大左库存（a）（n）。以下属性为true：

示例。自然的右逆序列数字是唯一定义的，是自然的序列数字。素数或斐波那契数列的右逆序列无法定义数字。不要让你没有榜样，让我们我们看看如果我们把leftInv（质数数字）斐波那契数列：

作用于两个序列的函数

假设f=f（x，y）是两个整数的整数函数变量。然后，给定两个序列a（n）和b（n），我们可以定义序列c： c=f（a，b），其中，对于每个索引n个,c（n）=f（a（n），b（n））。我们说序列c（c）是函数吗（f）作用于序列一和b条元素方面。

本节是“作用于序列元素的函数”一节的概括。按照该部分的模式，我考虑了该函数的3种不同情况（f）：两个序列的和，两个序列和a的乘积随机函数。同时，我打破了前几章的模式：我第一次讨论如何使用一对已知序列创建新序列。现在是创建新模式的时候了。新模式如下：每次我基于一对序列创建一个新序列一和b条我将分别查看两个子主题。第一个子基是一与相同b条第二个子基是当它们不同时。

如果两个序列相同：a=b，然后f（a（n），b（n））成为的功能a（n）因此，此子案例是作用于序列的函数。你可能认为我有权跳过这一子主题，因为它正式属于本文的另一部分。为了好玩，我放弃了这个权利，所以这个子主题保留下来。

两个序列的总和。总和，秒（n），共两个序列a（n）和b（n）定义为s（n）=a（n）+b（n）。用序列本身求和与乘法相同这个序列是2。我们之前已经讨论过这个示例，因此，我们可以继续使用示例两个不同基本序列的和：

讨论。我想介绍一下不太准确的想法一个可移动的序列。如果一个序列保留了一些，我就称它为可移动序列当从不同的索引开始时，它的属性。在特别是，它意味着序列的呈现顺序是重要的，并且与序列的属性相关。我认为素数序列不是很容易移动的：素数不是彼此关系很好。斐波那契数列非常可换档。如果您从斐波那契数列，你会得到一个具有相同重复率的数列关系，但不同的初始术语。这意味着你的新序列保持了斐波那契序列的许多特性。这个自然数序列也可以变换。开始自然数从一个不同的索引开始，就等于在自然编号规则。两个序列的和过程将两者联系在一起在某种意义上，按相同索引排序。问题是，我们为什么要以相同的指数打平？为什么是a（n）+b（n）好于a（n）+b（n-1）? 如果两个序列a（n）和b（n）是那么是可以换档的a（n）+b（n）可能类似于a（n）+b（n-1）也可能是可以变换的。特别是，属性总和的多少可能不太取决于序列是如何绑定的通过相同的索引。例如，如果b（n）是的序列那么自然数a（n）+b（n）和a（n）+b（n-1）只是相差1。这种说法是：序列的可变换性越强，它们的总和就越有趣。可变换性考虑与我的为上述示例中的兴趣投票。我找到了顺序n+斐波那契（n）成为最棒的有趣的是，上面的三个序列n个+素数（n）有点有趣，还有序列素数（n）+斐波那契（n）最没意思的。

两个序列的乘积。产品，p（n），共两个序列a（n）和b（n）定义为p（n）=a（n）*b（n）。首先，让我们考虑一下产品一个=b条。将序列本身相乘与平方顺序。

方形：

讨论。这些都是非常有趣的序列。第一个示例-正方形是一个非常基本的序列。第二个例子——素数的平方——别无选择，只能是一个令人兴奋的序列。也就是说，素数是关于乘法的属性；你应该把这个序列乘以并获得许多有趣的属性。例如，素数平方是数字正好有三个除数。我认为斐波那契的正方形数字是三个序列中最不有趣的。尽管如此其中，斐波那契方阵本身非常有趣。对于例如，该序列是3阶线性递归。它满足以下等式：b（n）=2b（n-1）+2b（n-2）−b（n-3）.

两个不同序列的乘积：

讨论。适用于产品的移动性考虑也是。你也许可以猜到我的选票。上述三个序列中我考虑一下顺序n*斐波那契（n）成为最棒的趣味性；顺序n*素数（n）有点有趣顺序素数（n）*Fibonacci（n）没意思。讽刺的是，我自己提交的最没意思的序列。我这么做的原因是我可能会讲另外一些奇怪而感伤的故事时间。

为了使我的例子多样化，我希望将更复杂和不那么出名的函数。也就是说，在这种情况下（f）是以下内容的串联x个与…相反年.

序列元素与其相反元素的串联。这里有一个难题：看看下面的例子，找出这三个序列中所有元素的共同点。

讨论。谜题的答案是：结果序列的所有元素都是具有偶数位数的回文。您可能还注意到，所有元素都可以被11整除。这里还有一个难题：为什么所有的元素都可以被11整除？

现在我想从谜题过渡到对这些序列有趣性的讨论。事实上，我从这些序列中创建了谜题，这可能会让它们变得有趣。但如果你仔细观察我的谜题，你会发现这些谜题实际上是关于三个谜题中的第一个序列。将一个数字与其反向连接，可以得到一个偶数位数的回文。第二个序列是具有素数索引的第一个序列的子序列。它有趣吗？我不确定。最后一个序列不在数据库中，我不打算提交它。你可以猜到为什么我不想提交它——我真的认为它不有趣。

一个序列元素与另一序列元素相反的串联序列元素。现在让我们回到两个变量。假设b（n）不同于a（n）.串联结果取决于序列的顺序。显然，f（b（n），a（n））与…相反f（a（n），b（n））.出于这个原因，我正在展示每对序列的两个示例中只有一个示例：

讨论。上述序列不在OEIS中。有有两个很好的原因，它们可能没有那么有趣，这两个原因我们以前遇到过。第一个原因：质数斐波那契数列与其指数。第二个原因：串联和反转是不是非常有趣的操作。它们不存在的主要原因有趣的是，它们与10号垒有着密切的联系数字的表示。在我们的例子中，序列本身是与他们的基本代表性完全无关，这使得我特别是人为的例子。我必须承认，这是我选择这个特殊的“随机”函数的目标-有非常虚假的例子。

作用于多个序列元素的函数。当然，作为您可以猜测，我们可以将定义扩展为以下整数函数许多整数变量。在这种情况下，我们需要许多序列来插入因为我不想偏离我最初的计划太远对于一个或两个序列，这里我只举一个例子-我的三个基本序列之和：

讨论。此序列不在数据库中，可能不应该是。我和Superseeker尝试了这个序列，发现了建议的描述。事实上，Superseeker能够识别这个序列是我不提交它的另一个原因。

设置操作

在本章中，我将讨论序列和集合之间的并行。给定一个序列，我们可以将该序列的值集与序列本身。给定一组从下面有界的整数，我们可以通过将此集合中的数字增加来创建序列订单。让我们考虑一组自然数，它方便地从下面有界。这意味着我们可以将序列对应于该集合的任何非空子集。反之亦然，我们可以将自然数集合的子集对应于任何自然数序列。注意，严格递增的自然数序列与自然数的非空子集一一对应数字。

利用所描述的与集合的对应关系，我们可以将集合运算应用于序列。在定义如下，我假设a（n）和b（n）是自然数序列（不一定增加）。要将集合运算应用于序列，我们首先获取与初始序列相对应的自然数子集，然后对其应用集合运算，然后将相应的序列作为结果。这里我们考虑序列的以下集合运算的类比：补、交和并。

请注意，有时设置操作会产生空集。在这种情况下，没有定义对序列的相应操作。

我的一个基本序列，所有自然数的序列，对应于通用集合下的集合运算。因此，未定义此序列的补码。自然数序列与任意序列的并称为自然数序列。自然数序列与序列的交集b条是元素的序列b条按递增顺序排列。特别是，自然数与素数的交集是素数序列，自然数序列与斐波那契序列的交集是修剪的斐波那契序列，其中我们必须删除第一个重复的1。在下面的示例中，我省略了自然数序列，因为我刚刚完全描述了它在集合操作下的行为。

此外，讨论序列与其自身的交集或并集也不是很有趣。严格递增序列与其自身的交集或并集是同一序列。通常，序列与其自身的交集或并集是原始序列中元素按递增顺序排列的序列。下面我将介绍应用于基本序列的集合运算的剩余示例。

补充：

讨论。素数序列基于属性-它是所有具有存在性质的数字的序列素数。通过定义素数序列是很自然的它的相应集合。也就是说，我们可以定义素数集第一；那么素数序列就是相应的序列。使用斐波那契数列的情况正好相反。斐波那契数列序列本身比相应的集合更主要。自然地，对于基于属性的序列，集合运算通常更多很有趣。在这种情况下，非素数集很容易通过其属性定义。如果我们排除1，非犯罪组数字有自己的名字：合成数字。非斐波那契数列数字就没那么有趣了。

交叉。下面是我唯一剩下的十字路口示例：

讨论。一般来说，我发现交叉口操作更多比联合行动有趣。我找到了十字路口当我们处理基于属性的序列。在这种情况下，交集意味着两个数字都有属性。例如，下面是一个非常有趣的交叉序列同时为正方形和三角形的数字：

工会。以下是我的工会示例：

讨论。理论上，工会是双重的交叉。也就是说，并集是交集的补集给定序列的补码。有人可能会说，由于这种对称的并集应该和交叉。然而，当我们描述序列，通常初级序列更有趣而不是它们的互补，二元论证就失去了。对于属性基于序列的并集表示具有任一属性的数字。如果这两个属性互不相关，我不清楚为什么具有任一属性的数字应合并为一个顺序。反驳我对工会不存在的投票有趣的是，我举了一个两人结合的很棒的例子序列。在这种情况下，属性是相关的，联合具有许多有趣的应用程序：

作用于集合的函数

假设（f）是从整数到整数的函数。然后，给定一个序列一，我们可以定义一个序列b条:b条=（f）S公司（a）如下：取对应的数字集到序列一，应用函数（f）到每个数字在集合中，取结果集（删除重复项），然后取与结果对应的序列。换句话说（f）S公司（a）是所有可能的递增序列吗应用函数时可以获得的数字（f）到元素一.注：。仅当应用函数时才定义此操作（f）到的元素一生成一个从下面限定的集合。

如果序列一是递增序列和函数（f）是一个递增函数，然后明显应用（f）到的元素集一与申请相同（f）到一元素方面：（f）S公司（a） =f（a）.

在关于作用于序列元素的函数的部分中，我有4个示例中的不同函数：添加常量，乘以一个常数，平方反比和δ函数。鉴于此操作与作用于序列元素的函数相似这里使用相同的4个函数。

添加常量。添加常数是一个递增函数。前两个基本序列正在增加。这意味着向这些序列的值集添加常量与向这些序列元素添加常量相同。斐波那契数列几乎是一个递增数列。我把它留给读者去思考，通过在斐波那契元素集合中添加常量而不是在斐波纳契序列中添加常量，导致的结果序列中的细微差异。

乘以一个常数。由于显而易见的原因，我不想用负数乘以我的基本函数的元素集。我很乐意把它们乘以零。在这种情况下，独立于我的起始序列，我得到的序列是一个令人愉快的序列，只由一个元素组成，即0。将我们的基本序列乘以一个正常数会比将它们乘以零得到更多不同的结果，但这与作用于序列元素的函数非常相似。也就是说，乘以一个正常量是一个递增函数，这里与添加常量的参数相同。也就是说，我们之前看到了自然数序列和素数序列乘以2的结果；稍作改变，我们也看到了斐波那契序列的结果。

反向正方形：让f（k）=反向（k2)例如：

Delta函数：让f（k）=δ1（k）。将此函数应用于任何序列的元素集都可以生成长度最多为2的序列。这种退化序列不会提交给数据库。让我们看看，如果我们将此函数应用于基本序列的元素集，会发生什么情况：

讨论。我想知道什么更有趣：应用function elementwise或将其应用于集合。在第一种情况下结果的顺序由基础的顺序定义顺序。在第二种情况下，订单正在增加。哪个订单更好？可能这取决于启动顺序和功能。我的反方例子在任何地方都不有趣情况，所以这无助于做出决定。

假设（f）是两个变量的函数。然后，给定序列一和b条，我们可以定义一个序列c（c）:c（c）=（f）S公司（a、b）如下：取一组数字对应于序列一和另一组相应的到序列b条，应用函数（f）每对第一组和第二组中的数字，取结果集（删除重复项），然后取对应于结果。换句话说（f）S公司（a、b）是在增加吗表格中所有可能数字的序列f（a（n），b（m））.

两组的总和。让f（x，y）=x+y，然后（f）S公司（a、b）是所有可能的和的序列序列中的元素一和顺序b条.如果一是自然数序列b条是任意序列用最小的元素米，然后（f）S公司（a、b）是自然数序列起始于m+1.为此在我的例子中，我跳过了其中一个序列是自然数序列。

讨论。正如我经常指出的斐波那契数字作为序列比作为集合更有趣。因此，与集合相关的操作通常对比斐波那契数多出一个素数。毫不奇怪，序列在所有可能的素数和中，最有趣的是以上三个。这个序列与哥德巴赫的猜想有关，即大于2的偶数可以写为2的和素数。哥德巴赫猜想是最古老的猜想之一数论和所有数学中尚未解决的问题这个序列特别吸引人，也有点神秘。

两套产品。让f（x，y）=x*y，然后（f）S公司（a、b）是所有可能的产品的序列序列中的元素一和序列b条.如果一是自然数序列b条是任意序列包含1，则（f）S公司（a、b）是的序列自然数。因此，自然数序列的乘积其本身就是自然数序列。此外具有斐波那契数列的自然数列是自然数列编号规则。很容易看出数列和素数序列是从2开始的自然数。以下是剩余的示例：

讨论。再次，我发现所有可能的产品素数是三个序列中最有趣的以上。这些数字甚至有自己的名字——它们是称为半素数。

离散微积分

给定一个序列a（n），积分的模拟是序列i（a（n）），等于第一个n个条款a（n）此序列通常称为部分和顺序。类似地，导数的模拟是第一个差异序列：d（a（n））=（n）−a（n-1）.

注：。差分序列的第一项是定义不明确。其中一个选择是开始差异从第二项开始排序。我不喜欢这个选项，因为我希望我的所有序列都以相同的方式索引。另一种选择是假设的第一项之前有一个0a（n），因此人为定义第一个索引的差异。我会用第二个定义。

积分和导数是互补的。部分和和和第一个差分运算是以同样的方式相互补充。即：i（d（a（n）））=d（i（a（n）））=a（n）.注：。这个完全相等是另一个优点选择第二种方法定义初始术语的原因对于第一个差分序列。第一个定义是相等等于常数。

部分金额：

第一个区别：

讨论。自然数的序列类似于一阶多项式。毫不奇怪，部分和类似于积分的运算产生一个序列对应于二阶多项式。同样，第一个自然数序列的导数是一个常数序列（类似于0阶多项式）。此外，您可能会注意到部分总和以及斐波那契数列的第一个差异产生了斐波那契数列。也就是说，Fibonacci序列的行为关于部分和和一阶导数运算与指数函数关于积分的行为相同和导数。如果你还记得斐波那契数列的增长类似于黄金比率的指数。

另一个自然的想法是替换部分和中的加法通过乘法，从而得到部分产品。注：。要获得的乘法模拟我们需要将减法运算替换为部门。由于整数不是除法下的闭集，所以I将仅为部分产品提供示例。

部分产品：

讨论。素数序列与数字的乘法性质，而斐波那契数列是不是。这就是为什么我觉得拘谨的顺序更有趣然后是斐波那契数的部分乘积。显然，我不是唯一一个发现这个序列更有趣的人它自己的名字。

几何逆序列

假设a（n）是一个正的非递减序列。让我们画一个上的函数图x-y轴序列对应的平面a（n）。此图由点组成（n，a（n））。对于一致性我想补充一点(0, 0)到图，这与假设序列以索引0和a（0）=0。我想将这些点连接到看起来像台阶的分段线性图形(0, 0)到无穷。首先，我添加连接点的水平段（n-1，a（n））和（n，a（n））对于n>0那么，我添加连接点的垂直线段（n，a（n））和（n，a（n+1））对于n≥0.如果我们对称地翻转这个关于角平分线的绘图y=x，我们会得到另一个图形看起来像是从（0，0）到无穷大。相应的顺序是什么？让我们表示这个新的序列为发票（n）.我将此序列称为几何序列的倒数一。很容易看出发票（n）是最大限度米这样的话a（m）<n; 或等效地序列中的元素数a（n）小于n个显然，inv（inv（a））=a。在你下面的图片上可以看到应用于素数的几何逆过程顺序：

几何反演

素数的几何逆

注：。序列中的元素数a（n）小于或等于n个是发票（n+1）.这意味着发票（n+1）等于最小剩余投资（n）在前几章中为递增序列a（n）几何反定义更多比左逆更通用，因为它对任何非递减序列。特别是，它为斐波那契数列。

几何倒数：

讨论。如前所述自然数和质数与合成最小左反转向右移动。对于斐波那契数列不能是组成左逆数列定义。但我们给出了从第二个1开始的修剪斐波那契数列。它很有趣比较修剪后的合成左反转序列具有斐波那契几何逆的斐波那奇序列顺序。这个比较留给读者练习。

左移几何逆的第一个差异是指示器顺序ind（n）（也称为特征功能）。给定一个序列一、指示器顺序ind（n）等于序列的次数一是等于n个.注：。对于指示器序列，我们可以删除以下条件a（n）非递减。这个定义指示器功能的必要条件是的值a（n）实现了有限的次数。

指标：

讨论。你可以很容易地证明非递减序列是一一对应的和他们的指标。如果序列一正在严格增加那么它的指示器只接受0和1值。

计算指示器功能的操作可以很自然地颠倒的。以下是相反的步骤：给定一个序列a（n）,把它移到右边，取部分和，然后取几何相反。我把结果称为反向指示符序列。相反指示器序列a（n）可以描述为：Taken个a（n）次数。

倒车指示灯：

讨论。我想提请你注意这个事实斐波那契数列的反向指示符是相同的序列作为修剪斐波那契的最大左逆顺序。我让读者分析为什么这些序列相同的。

两个序列的卷积

给定序列a（n）和b（n）对于n个从开始0，它们的卷积是一个序列c（n）定义为：c（0）=a（0）*b（0）,c（1）=a（0）*b（1）+a（1）*b,c（2）=a（0）*b（2）+a（1）*b（1）+a（2）*b（0）, …,a（n）=a（0）*b（n）+a（1）*b（n-1）+…+a（n）*b, … .

例如，如果a（n）是1，0，0，…-特征函数为0，则卷积为a（n）和b（n）是b（n）也就是说，0的特征函数扮演身份的角色。再举一个例子，如果a（n）是1、1、1…-所有一序列，然后卷积属于a（n）和b（n）是的部分和b（n）顺序。特别是，所有ones序列的卷积它本身就是向左移动的自然数序列。

我们的基本序列从索引1开始。很容易将卷积的定义，以适应此类序列（参见Kimberling[1]）。给定序列a（n）和b（n）对于n个从开始1，它们的移位卷积是一个序列c（n）定义作为：c（1）=a（1）*b（1）,c（2）=a（1）*b（2）+a（2）*b,c（3）=a（1）*b（3）+a（2）*b, …,a（n）=a（1）*b（n）+a（2）*b, … . 在这个如果身份的作用是由序列1，0，0，…-1的特征函数。

卷积和移位卷积非常相似其他。假设a（n）和b（n）两个序列开始了吗索引为1。假设a0（n）和b0（n）都是一样的前面附加了0的序列。然后a0（n）和b0（n）是移位卷积a（n）和b（n）前面加了两个零。后来我使用移位卷积作为卷积，因为我们的索引从1开始。

很容易证明b（n）具有自然数与应用的部分和运算符相同到序列b（n）两次。

自卷积。下面是基本序列与其自身的移位卷积：

讨论。在OEIS数据库中有三个与序列有趣程度相关的参数：

对于上述三个序列，所有三个参数都一致。因此，这三个序列中最有趣的是四面体数的序列，最不有趣的是素数与其自身的卷积。

卷积。卷积是一种对称运算。以下是初始序列对的卷积示例：

讨论。我已经提到斐波那契数列对于部分和运算符几乎没有变化。如果我们用以下公式表示第n个斐波那契数F（n），然后是第n部分总和为F（n+2）−1.应用偏和运算符我们再次得到一个序列，其第n个元素是F（n+4）−n− 3。此属性是原因之一上面三个序列，我找到了序列A001924号最有趣的。

卷积逆。正如我之前提到的，序列1，0、0、0…扮演标识的角色。当然，我们希望定义卷积逆。很容易做到看序列的卷积逆a（n）可以是定义的iffa（1）=1:

讨论。可以看出卷积算子的妙处如果我们看看序列的生成函数。发电两个序列的卷积函数是生成这些序列的函数。特别是，发电卷积逆的函数是生成的逆序列本身的功能。我们看到生成函数自然数和斐波那契数的卷积逆都是二阶多项式。因此自然数和斐波那契数都是二阶多项式。这意味着它们都是线性的2级复发。我们已经知道这一事实，但当事情以不同的方式走到一起。

二项式变换

网络上有一些关于二项式的混淆转换。有三种不同的定义非常接近其他。

这是我对二项式变换的第一个定义。给定一个序列a（n）开始于a（0），二项式变换b（n）定义为：b（0）=a（0）,b（1）=a（0）+a（1）,b（2）=a（0）+2a（1）+a（2）,b（3）=a（0）+3a（1）+3a（2）+a（3）, …,b（n）=a（0）+n*a（1）++C（n，k）*a（k）+…+a（n）, …; 哪里C（n，k）是二项式系数。这个定义似乎是三者中的自然选择。这就是为什么它是我的第一选择（它是也是Barry的第一选择[2]）。

二项式变换。（请注意，我们需要添加a（0）我们的初始序列的术语）：

二项式变换的逆运算称为逆运算二项式变换。给定一个序列a（n）开始于a（0），二项式逆变换b（n）定义为：b（0）=a（0）,b（1）=−a（0）+a（1）,b（2）=a（0）-2a（1）+a（2）,b（3）=−a（0）+3a（1）−3a（2）+a（3）, …,b（n）=（-1）n个a（0）+(-1)n-1个n*a（1）+…+（-1）n-k个C（n，k）*a（k）+…+a（n）…；哪里C（n，k）是二项式系数。注：。二项式逆变换为打电话这个数学世界的二项式变换.

二项式逆变换。（请注意，我们需要添加a（0）初始序列的术语）：

这里是二项式变换的第三个定义。给定一个序列a（n）开始于a（0），二项式转型b（n）定义为：b（0）=a（0）,b（1）=a（0）−a（1）,b（2）=a（0）−2a（1）+a（2）,b（3）=a（0）−3a（1）+3a（2）−a（3）, …,b（n）=a（0）−n*a（1）+…+（-1）k个C（n，k）*a（k）+…+（-1）n个a（n）, …; 哪里C（n，k）是二项式系数。此二项式变换的区别仅在于二项式逆变换的符号。也就是第n个元素这个定义的二项式变换是相等的(-1)n个乘以逆二项式的第n个元素转换。第三个定义的美妙之处在于是自反的。注：。这个二项式变换是打电话这个wiki上的二项式变换.

二项式变换III。（请注意，我们需要添加a（0）初始序列的术语）：

示例：组合不同的方法

在这里，我给出了一些将不同的方法。对于我的示例，我选择了两个序列：

第一个例子。有很多方法可以从素数序列中得到双素数。作为第一步，我们将得到孪生素数中较小的素数的序列：

阿列克谢·拉杜尔（Alexey Radul）建议的另一种方法是：

现在，从孪生素数序列中较小的一个序列开始，我们想得到所有的双素数。还有很多方法可以做到这一点。例如：

第二个例子。在第二个示例中，最后一个序列a（n）是2的n位数幂。从自然数开始，执行以下步骤：

生成任意序列

使用可以很容易地从任何其他序列生成任何序列本文描述的方法。假设我们想生成一个序列a（n）从自然数中。对于我的第一个示例，考虑功能（f）与序列相对应一:f（n）=a（n）.然后我们可以得到序列a（n）通过应用函数（f）自然数。

对于我的第二个示例，让我们将delta函数应用于自然数字以获得序列1、0、0。通过改变这个序列n个向右乘以倍a（n）我们可以得到只有一个非零项和这个项的序列是a（n）在索引处n个然后将所有不同的结果序列n个我们得到a（n）.

我的第二个示例需要无限多的步骤。我的第一个示例需要一个任意函数。生成的复杂性在某种意义上，任意函数相当于执行无限步数。从一个不使用“应用函数”过程。这里有一种方法斐波那契数列的自然数：

致谢

我感谢阿列克谢·拉杜尔在本文的前十篇草稿中批评了我的英语和写作风格。亚历克赛的帮助不仅极大地提高了这篇论文的质量，也改变了我对用英语写作的总体看法。我希望下次会更容易。我还感谢简·舍温在最终稿中检查了我的英语。

工具书类

  1. 克拉克·金伯利，矩阵整数序列的变换,J.整数序列， 6(2003). 第03.3.3条。
  2. 保罗·巴里，A类加泰罗尼亚变换和整数上的相关变换序列,J.整数序列， 8(2005). 第05.4.4条。

上次修订日期：2007年11月