一个算术猜想

新闻组中一次旧讨论中的一个算术猜想de.sci.matmatik软件:

对于所有m>26，存在一个k>0，即[2^m/3^k]mod 6=3。

给定m，让s（m）表示猜想成立的最小k（假设存在），否则表示0。

0,0,0,0,0,2,1,0,3,0,0,3,1,3,0,0,2,0,1,5,4,12,7,2,1,11,0,15,10,4,1,4,10,3,2,9,1,..

这是A157409号在OEIS。进一步设t（m）是所有i≤m的s（i）的最大值。现在只列出t（m）增加的配对m，t（m。m>26的Maple代码：

最大K：=1；功率2:=2^26；对于m，从27到1000 dok:=1；功率3：=3；功率2：=功率2+功率2；而modp（iko（pow2，pow3），6）<>3功率3:=3*pow3:k:=k+1；od；如果k>maxK，则maxK：=k；打印（m，maxK）；fi；日期：

为了解释这些序列的证据：“你很快就会发现这样一个k，甚至对于大m。”

当我在SeqFans邮件列表上提到这个猜测时，David Wilson回答道：

据我所知，没有人们知道如何证明你的陈述。在不太深入的情况下问题属于一类具有以下问题的问题：

2的每一个足够大的幂都包括以10为基数的数字0吗？

这在统计上是正确的，概率为1，但据我所知，还没有被证明。

第一个结果是对沃尔夫冈·基申霍夫的观察。基本上它说这个猜想等价于2的展开^米在底座3中。k个这里是0. 例如，此拆分为

[2,2,1]0[0,0,0,2,2,0,1,1,2,2,1,1,1,0,1,1,2]对于m=32和
[1,2]0[1,0,0,0,1,2,1,2,2,1,2,0,0,0,1,2,2,1,1]对于m=33。

一个简单的推论是：如果m>=30是6的倍数，则存在k>0，这样[2^m/3^k]mod 6=3。（证明：在Kirschenhofer中选择k=1定理。）所以至少我们现在知道，这个猜想在无限多的情况下是正确的:-)

事实上，Kirschenhofer看到了_我=1，i>k。我们的变量（i<k）更适合检查推测，因为事实证明k’s与m’s相比较小。根据这一观察结果，我们可以弃权从2μm扩展到全长，并将扩展缩小到较小的初始值分段，而忽略较高的数字。这导致了一个大大改进的算法也不需要大集成库。下面是C#实现：

验证推测

1://作者：Peter Luschny，2009-03-03

2://有关更多信息，请参阅：

三：// http://www.luschny.de/math/vermutung.html

4://感谢de.sci.mathematik上的所有贡献者，

5://特别是沃尔夫冈·基申霍夫和克劳斯·纳格尔。

6: 

7:使用系统；

8:使用系统。诊断；

9: 

10:命名空间扎尔弗穆通

11日：{

12:    班程序

13:{

14日：        静止的 空隙主要(一串[]参数）

15:{

16:秒表=新的秒表（）；

17:观看。开始（）；

18:            //此常数的值为2147483647

                   //这是2^31-1。

19:猜想(整数.MaxValue）；

20:观看。停止（）；

21:慰问。WriteLine（写入行）(“已用时间：”+

       观看。逝去。ToString（））；

22:慰问。WriteLine（写入行）(“再见~”);

23:慰问。ReadLine（）；

24小时：}

25: 

26:        静止的 整数最大K=0；

27: 

28:        静止的 空隙检查(整数[]答：，整数米，整数b）

29:{

30:            无功功率，无功功率1=0；

31: 

32:            对于(无功功率，无功功率i=0；i<b；i++）

33:{

34:                如果（A[i]==1）

35:{

36:一=一+1；

37:}

38:                其他的 如果（A[i]==0）

39:{

40:                    如果（一个%2==1）

41:{

42:                        如果（i>maxK）

43:{

44:最大K=i；

45:慰问。WriteLine（米+" : "+maxK）；

46:}

47:                        返回；

48:}

49:}

50:}

51:慰问。WriteLine（米+“：失败”);

52:}

53: 

54:        静止的 空隙猜想(整数n）

55:{

56:            整数[]A=新的 整数[182];

57:            整数标记=1；

58:A[0]=1；最大K=0；

59: 

60:            对于(无功功率，无功功率m=1；m<n；m++）

61:{

62:                整数r=0；

63:mark=数学。Min（标记，180）；

64:                对于(无功功率，无功功率i=0；i<标记；i++）

65:{

66:                    无功功率，无功功率Ai=2*A[i]+r；

67:                    如果（Ai>=3）{A[i]=Ai-3；r=1；}

68:                    其他的{A[i]=Ai；r=0；}

69:}

70:                

71:                如果（r>0）{A[标记]=r；标记++；}

72:检查（A、m、标记）；

73:}

74页：}

75:}

76:}

~再见

通过这个算法，我能够在更短的时间内检验m=2^31=2147483648的猜想在2005年的一款PC上超过45分钟。上表继续如下所示。

该表还表明，该猜想对所有人都成立m<=28051390987。

Eine zahlentheoretische苦艾酒

塞恩a，b natürliche Zahlen，die keinen gemeinsamen Teiler besitzen，m und knatürliche Zahlen，m>=0，k>0，dann betrachte男子

[a^m/b^k]mod ab=c，wobei c=a订单c=b.（*）

[x] ist hierbei die gröte ganze Zahl kleiner oder gleich x und‘mod’bezeichne den Rest bei der ganzzahligen师。死亡碎片ist，obes zugegebenen a，b，c和m stets ein k>0 gibt，因此dass diese Relation erfüllt ist。Die Vermutung besagt，dass für den Spezialfall a=2，b=3 und c=bür alle m>26 ein k>0存在，因此dass（*）镀金。Einfacher gesagt，die Vermutung ist:艾因法赫·格萨格，《苦艾酒》

Für alle m>26存在于k>0，因此是镀金的

地板（2^米/ 3^k个)模块6=3。