广义克劳森数：
定义和应用。
摘要。引入了广义克劳森数讨论了与n阶伯努利数的关系。（托马斯·克劳森，“Lehrsatz aus einer Abhandlung“尤伯·迪·伯努利申·扎伦”，阿斯特。纳克里斯。17（1840），351-352.）
让Cn个表示克劳森数。它们被定义为C（n）=Product_{p-1|n}p，其中p是素数。
广义克劳森数Cn、 k个定义为C（n，k）=Product_{p-k|n}p，其中p是素数。
特例k=0，C（n，0）是n的无平方核(A007947号OEIS）。经典克劳森数C（n）=C（n，1）按顺序列出A141056号在OEIS。
这个下表为A160014型.
| k个\n |
0 |
1 |
2 |
三 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
| 0 |
1 |
1 |
2 |
三 |
2 |
5 |
6 |
7 |
2 |
三 |
10 |
11 |
6 |
| 1 |
1 |
2 |
6 |
2 |
30 |
2 |
42 |
2 |
30 |
2 |
66 |
2 |
2730 |
| 2 |
1 |
三 |
三 |
15 |
三 |
21 |
15 |
三 |
三 |
165 |
21 |
39 |
15 |
| 三 |
1 |
1 |
5 |
1 |
35 |
1 |
5 |
1 |
385 |
1 |
65 |
1 |
35 |
| 4 |
1 |
5 |
5 |
35 |
5 |
5 |
35 |
55 |
5 |
455 |
5 |
5 |
35 |
| 5 |
1 |
1 |
7 |
1 |
7 |
1 |
77 |
1 |
91 |
1 |
7 |
1 |
1309 |
不同的克劳森数。
对于固定k letC'（n，k）={产品{p-k|n}p（素数）；n=0,1,2..}
以一组（不同的元素）的形式阅读，以自然的方式排序。C'（n，0）是无平方的数字A005117号和C'（n，1）是不同的经典克劳森数A090801号.
| k个\n |
0 |
1 |
2 |
三 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
| 0 |
1 |
2 |
三 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
13 |
14 |
15 |
17 |
19 |
| 1 |
1 |
2 |
6 |
30 |
42 |
66 |
138 |
282 |
330 |
354 |
498 |
510 |
642 |
| 2 |
1 |
三 |
15 |
21 |
39 |
57 |
93 |
129 |
165 |
183 |
195 |
219 |
273 |
| 三 |
1 |
5 |
35 |
65 |
85 |
145 |
185 |
205 |
305 |
385 |
445 |
485 |
545 |
| 4 |
1 |
5 |
35 |
55 |
85 |
115 |
145 |
205 |
235 |
295 |
355 |
385 |
415 |
| 5 |
1 |
7 |
77 |
91 |
133 |
217 |
301 |
469 |
511 |
553 |
679 |
889 |
973 |
如何计算克劳森数。
克劳森数是伯努利数的分母。他们可以按照Clausen的解释进行计算：
德布鲁赫德n-ten Bernoullischen Zahl如此艰难：第二次登上Theilern von 2n。。。1，2，a，a'，a“，……2n die Einheit，wodurch man die Reihe Zahlen 2，3，a+1，a'+1。。。，2n+1亿英镑。Aus dieser nimmt man bloßdie Primzahlen 2、3、p、p'等。以及在伯努利舍大街上的布鲁赫大街。。。
（如R.Fritsch所引用。）
一个与Maple类似的符号的几乎一字不差的翻译给出了：
克劳森：=proc（n，k）局部S；
S:=除数（n）；
S：=映射（i->i+k，S）；
S:=选择（isprime，S）；
产品端：
不同的克劳森数可以计算为（枫叶）：
DistinctClausen：=proc（n，k）局部Clausen；
克劳森：=proc（n，k）局部i；
mul（i，i=选择（i素数，
映射（i->i+k，numtheory[除数]（n）））结束：
排序（转换（删除（m->m>n，
{seq（Clausen（j，k），j=0..10*n）}），列表）结束：
（不同的）克劳森数的补码。
{1，2，3，4，…}\C'（n，0）={n|Möbius（n）=0}=A013929号.
应用：伯努利数。
伯努利数B的分母n个显示在中A027642号作为：
1, 2, 6, 1, 30, 1, 42, 1, 30, 1, 66, 1, 2730, 1, 6, 1, 510, 1, ..
B的分母序列n个是由惯例而非必要性定义的。约定相当于将0映射到有理数0/1。这可能更合适将伯努利数的分子和分母视为独立序列Nn个和Dn个组合成Bn个=Nn个/D类n个。建议这样做克劳森定理将分母描述为序列D类n个= 1, 2, 6, 2, 30, 2, 42,... 它与N个n个= 1, -1, 1, 0, -1, 0,... 到伯努利数序列。（参见。A141056号和A027760型.)
更一般的：让B（k）n个（x） 表示定义的k阶伯努利多项式通过生成函数
（t/（exp（t）-1））^k*exp（x*t）=和{n>=0}B_n{^（k）}（x）t^n/n！
1阶伯努利数（定义为B(1)n个（1） ）可以被视为作为一对序列B(1)n个=N(1)n个/D类(1)n个带N(1)n个=A027641号, D类(1)n个=C（n）。
类似地，2阶伯努利数（定义为B(2)n个（1） ）可以视为一对序列B(2)n个=N(2)n个/D类(2)n个带D(2)n个=C（n）。N个(2)n个是x=1时下列多项式的值。
二阶Clausen-normalized Bernoulli多项式。
1
2 x-2
6 x ^2-12 x+5
2 x ^3-6 x ^2+5 x-1
30 x ^4-120 x ^3+150 x ^2-60 x+3
2 x ^5-10 x ^4+50/3 x ^3-10 x ^2+x+1/3
42 x ^6-252 x ^5+525 x ^4-420 x ^3+63 x ^2+42 x ^5
序列N(2)n个=分子（B(2)n个)是A160035型在OEIS启动
1, 0, -1, 0, 3, 0, -5, 0, 7, 0, -45, 0, 7601, 0, -91, 0, 54255,..
这些数字可以计算为（Maple）
a:=程序（n）局部g，c，i；
g:=k->（t/（exp（t）-1））^k*exp（x*t）：
c：=程序（n）局部i；
mul（i，i=select（isPrime，map（i->i+1，divisors（n）））结束：
转换（级数（g（2），t，n+8），多项式）：
序列（i！*c（i）*subs（x=1，系数（%，t，i）），i=0..n）结束：