瑞士刀多项式。

1瑞士刀多项式 2经典数的表示 三多项式的正弦特性 4缩放瑞士刀多项式的绘图 5交流功率总和 6互补的瑞士刀多项式 7瑞士单词多项式 8工具书类

瑞士刀多项式与欧拉-贝努利族密切相关多项式和数。相反，多项式的系数是整数欧拉多项式和伯努利多项式的系数，它们是有理数（见HMF，第809页）。因此，可以更容易地计算和应用瑞士刀多项式到特殊数论。

欧拉、伯努利、热那基、欧拉泽塔、切线以及上下数字和Springer数字是数值或缩放这些多项式的值。瑞士刀多项式也相互关联使用Riemann和Hurwitz zeta函数。他们展示了一个强大而美丽的正弦行为，如果适当缩放，其基础是傅里叶分析广义zeta函数。

瑞士刀多项式是由Peter Luschny于2008年3月发现的。它们可能是新的。事实上，这些多项式被从维基百科中删除（2008-12-27），理由是维基百科的一些编辑“强烈建议本文的主题是原创性研究”。如果你知道文献中早些时候提到过，请告诉我。（更换“www.”由上述URL中的“peter（at）”创建。）

瑞士刀多项式

经典数的表示

有关这方面的更多信息，请点击此处：分解 欧拉数、伯努利数、热那基数、斯普林格数和正切数。

多项式的正弦特性

这个按比例缩放瑞士刀多项式定义为

绘制ω_n个(x个)显示了这些的正弦行为多项式，在非标度形式中很容易被忽略。对于奇指数ω_n个(x个) 近似于sin(x个∏/2）和偶数指数cos(x个∏/2）包含原点。这个观察扩展了欧拉和伯努利数有Π作为共同的根(参见例如。)达到连续的规模。

但更真实的是：正弦行为的范围越来越大随着多项式次数的增加。事实上ω_n个(x个)显示，在渐近精确意义下，区间[-2n/∏e，2n/πe]中的正弦行为。

从这些观察结果可以看出瑞士刀多项式实际根的规律性。例如ω的根_n个(x个) 接近整数格：{±0，±2，±4，…}，如果n个为奇数且{±1，±3，±5，…}，如果n个是均匀的。

缩放瑞士刀多项式的绘图

Maple代码

瑞士刀多项式的定义。

瑞士刀多项式：=proc（n，x）local v，k，pow，chen；pow:=（a，b）->如果a=0，b=0，则1其他a^b fi；chen:=m->如果irem（m+1,4）=0，则为0否则1/（（-1）^iquo（m+1，4）*2^iquo（m，2））fi；加法（加法（（-1）^v*二项式（k，v）*pow（v+x+1，n）*chen（k），v=0..k），k=0..n）结束时间：

瑞士刀多项式，系数三角形：

因为我从0到9做p:=排序（展开（瑞士刀多项式（i，x）））；打印（seq（系数（p，x，i-j），j=0..i））：od：11, 01，0，-11, 0, -3, 01, 0, -6, 0, 51, 0, -10, 0, 25, 01, 0, -15, 0, 75, 0, -611, 0, -21, 0, 175, 0, -427, 01, 0, -28, 0, 350, 0, -1708, 0, 13851, 0, -36, 0, 630, 0, -5124, 0, 12465, 0

瑞士刀多项式的单和表示。

SK多项式：=proc（n，x）局部k；加法（二项式（n，k）*euler（k）*x^（n-k），k=0..n）结束；对于从0到7的n，执行SK多项式（n，x）od；1x个x ^2-1x^3-3 xx^4-6 x^2+5x ^5-10 x ^3+25 xx ^6-15 x ^4+75 x ^2-61x ^7-21 x ^5+175 x ^3-427 x

SK多项式的指数生成函数。

G:=（x，t）->2*exp（x*t）/（exp（t）+exp（-t））；

交流功率总和

请注意，所有这一切只能通过整数运算完成。那么为什么使用一些更广泛的伯努利多项式复杂且使用有理算法？甚至用Euler进行评估多项式必须使用有理算法，因为欧拉系数多项式是有理数，与瑞士刀多项式是整数。而且。。。很高兴知道这一点这可以通过概念上更简单的多项式来实现。

问一下广义伯努利多项式或欧拉多项式可以根据瑞士刀多项式。

与von Mangoldt函数的惊人联系

非零系数的最大公约数无头瑞士刀多项式是exp（Lambda（n）），其中Lambda（n）是奇数素数的von Mangoldt函数[OEIS-A155457]。

seq（igcd（coeffs（expand（SwissKnifePolynomial（i，x）-x^i））），i=2..49）；

1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 3, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 1, 17, 1, 19, 1, 1, 1, 23, 1, 5, 1, 3, 1, 29, 1, 31, 1, 1, 1, 1, 1, 37, 1, 1, 1, 41, 1, 43, 1, 1, 1, 47, 1, 7

互补的瑞士刀多项式

新增2009/07/09

瑞士刀多项式是这里定义的多项式的补充。将两者相加得到多项式，我们将在下面进行研究。

Maple代码

Co-Swiss-Knife多项式的定义。

CoSwissKnifePolynomial:=进程（n，x）局部v，k，pow，iver，lambda；iver:=k->如果k mod 4<>0，则1其他0 fi:λ：=k->`如果`（k=0,0，-1-iver（k-1）*（-1）^iquo（k-1,4）/2^iquo（k，2））；pow:=（a，b）->如果a=0和b=0，则1其他a^b-fi；加（加（（-1）^v*二项式（k，v）*pow（x+v+1，n）*lambda（k），v=0..k），k=0..n）结束：

Co-Swish Knife多项式，系数三角形：

因为我从0到9做p:=排序（展开（CoSwissKnifePolynomial（i，x）））；打印（seq（系数（p，x，i-j），j=0..i））：od：00, 10, 2, 00, 3, 0, -20, 4, 0, -8, 00, 5, 0, -20, 0, 160, 6, 0, -40, 0, 96, 00, 7, 0, -70, 0, 336, 0, -2720, 8, 0, -112, 0, 896, 0, -2176, 00, 9, 0, -168, 0, 2016, 0, -9792, 0, 7936

Co-Swiss-Knife多项式的单和表示。

CoSK多项式：=proc（n，x）局部k，pow；pow:=（n，k）->`如果`（n=0且k=0,1，n^k）；加（二项式（n，k）*euler（k）*pow（x+1，n-k），k=0..n）-pow（x，n）结束：对于从0到7的n，求CoSK多项式（n，x）od；012*x个3*x^2-24*x^3-8*x5*x^4-20*x^2+166*x^5-40*x^3+96*x7*x^6-70*x^4+336*x^2-272

CoSK多项式的指数生成函数。

G:=（x，t）->经验（x*t）*（经验（2*t）-1）/（经验（2*t）+1）；

与伯努利多项式和欧拉多项式的比较。

伯努利多项式与调和数。

 

瑞士单词多项式。

剑有两个刃口。因此，如果我们将瑞士刀的尖端与我们有一把Co-Swiss刀的刀刃茨威哈德在我们的鞘里获得普通组合学家作为数学博士的两倍薪水。

另请参见

• 在线序列百科全书：

  瑞士刀	153641英镑
  Co-Swiss刀	162660英镑
  瑞士单词	A109449号

• 瑞士刀多项式以一种自然的方式导出一个加法分解欧拉数、伯努利数、热那基数、斯普林格数和正切数。
   
  
• 这个渐近线代码用于绘制缩放的瑞士刀多项式。
   
  
• 一棵枫树工作表。
   
  
• 我的OEIS博客上有一篇文章：丢失的伯努利数.
   
  
• 相关文章：伯努利宣言.
  

工具书类

• 莱昂哈德·欧勒（1735年），“倒行逆施”，歌剧《奥姆尼亚一世》，E 41，73-86；关于倒数序列的和，arXiv:math/0506415v2（math.HO）。
• J.Worpitzky，“Studienüber die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen”，《法国数学杂志》, 94 (1883), 203--232.
• 陈光武，“伯努利数和欧拉数的算法”，整数序列期刊，4（2001），【01.1.6】。

理性 树	阶乘 功能	欧拉学派 多项式	冯施塔特 底漆	不规则 底漆	广义 二项式
伯努利 宣言	分区 斯特林	泽塔 多项式	完美的 标尺	摆动 底漆	克劳森 数字
哈达玛 伽马射线	历史 阶乘	置换 树	瑞士的 刀片	摆动 阶乘	沃皮茨基 三角形

作者：Peter Luschny（2008-12-30）。许可证：Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0未导出许可证.