关键词：不规则素数，伯努利数，欧拉数，计算模p，Akiyama-Tanigawa算法，Ernst Eduard Kummer，Thomas Mautsch，OEIS A000928、OEIS A120337和OEIS A128197。
“1847-1850年间，先驱数学家库默，用他深刻的分圆场理论建立一类被称为“正则”素数的素数。。。众所周知，存在无穷多个不规则素数；事实上，这是一个似是而非的猜想，即只有渐近所有素数的分数1/Sqrt（e）~0.6都是正则的。"
[Ribenboim，引自OEIS A000928。]
不规则素数的计算。
（1） Bernoulli不规则素数
定义：素数p如果没有则称为B-regular偶数指数高达（p-3）的伯努利数，B_2、B_4、B_6。。。，B_（p-3）可被p整除。高效计算B-不规则素数列表不是琐碎的任务。为了简单起见，我想有一个例行程序在高达例如n＝1000或n＝2000的范围内相当好。下面我给出一个用Maple编写的例程。然而，我做到了不使用任何计算机代数，除非使用预计算列表不调用Maple的内置函数伯努利（n）被制造出来。============================================================双规则素数：=proc（len）局部t，m，j，F，P，k，lenP；t:=数组（0..len）：t[0]：=1；F:={}；k:=1；P:=选择（isprime，[$2..len]）；lenP:=nops（P）；从2到len do的mt[m-1]：=1/m；对于从m-1到-1 do的jt[j-1]：=j*（t[j-1-t[j]）；od；如果irem（m，2）=0，则下一个fi；如果iquo（m，2）=P[k]，则k:=k+1 fi；对于从k到lenP的j do如果irem（numer（t[0]），P[j]）=0，则F:=F并集{P[j]}fi；od；od；F端：-----------------------------------------------------------t： =time（）：B不规则素数（n）：time（（）-t；%%；nops（%）；n=1000->282秒，（64个IP），n=2000->4331秒（121 IP）。============================================================我在新闻组sci.math.symbolic上发布了这个例程并写道：“我想学习更有效的方法来计算不规则素数。任何改进、不同的实现或算法非常感谢。"我从托马斯·莫奇那里得到了一个很好的答案：“我认为你的程序的基本问题是你首先直接计算伯努利数迅速变大。最好单独计算模p对于每个质数，而不是计算巨大的伯努利数，然后只减少结果的模素数。" 以下是托马斯的建议：===============================================================不规则：=进程（p）局部a、b、n、ah、half、quarter；a:=[1]；b： =[1]；一半：=iquo（p，2）；四分之一：=-一半/2 mod p；对于n从1到半1 doah:=a[1]*四分之一/n mod p；a:=[ah/（n-half）mod p，a[]]；ah-添加（b[i]*a[i]，i=1..n）mod p；如果%=0，则返回true，否则b:=[b[]，%]结束if；结束do：假结束进程：BIrregPrimes:=proc（len）局部p，F；p:=3；F:=空；而p<=len do如果是B不规则（p），则F:=F，p结束于：；p:=下一素数（p）结束do：F端程序：-----------------------------------------------------------t： =time（）:BIrregPrimes（n）：时间（）-t；%%；nops（[%]）；n=1000->8秒，（64 IP），n=2000->59秒（121 IP）。===============================================================我真的很喜欢托马斯的解决方案，一颗编程明珠！而且速度很快！对于好的老库默来说，这个夏天真是太棒了！它带走了他差不多20年才找到前10个左右。多谢你，托马斯！接下来是一个Bernoulli不规则素数的表，直到len=2000。===============================================================[ 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271,283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433,461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593, 607,613、617、619、631、647、653、659、673、677、683、691、727，751, 757, 761, 773, 797, 809, 811, 821, 827, 839, 877, 881,887, 929, 953, 971, 1061, 1091, 1117, 1129, 1151, 1153, 1193,1201, 1217, 1229, 1237, 1279, 1283, 1291, 1297, 1301, 1307,1319, 1327, 1367, 1381, 1409, 1429, 1439, 1483, 1499, 1523,1559、1597、1609、1613、1619、1621、1637、1663、1669、1721，1733, 1753, 1759, 1777, 1787, 1789, 1811, 1831, 1847, 1871,1877, 1879, 1889, 1901, 1933, 1951, 1979, 1987, 1993, 1997]================================================================（2） 欧拉不规则素数
定义：素数p是Euler-irregular（E-unregular）如果它将欧拉数E（2n）除以0＜2n＜p-1。下面的Maple过程计算Bernoulli不规则素数以及欧拉不规则素数。不规则素数（100，B）；#计算Bernoulli不规则素数不规则素数（100，E）；#计算Euler不规则素数------------------------------------------------------------不规则素数：=proc（len，typ）局部t，m，j，F，例如bg，p，maxp；例如：=n->（-1）^iquo（n-1,4）*2^iquo（1-n，2）*ceil（（n mod 4）/3）；bg:=n->1/n；t:=数组（0..len）：t[0]：=1；F:={}；从2到len do的mt[m-1]：=`if`（类型=B，bg（m），例如（m））；从m-1到-1 do的jt[j-1]：=j*（t[j-1-t[j]）；od；如果irem（m，2）=0，则下一个fi；p:=下一素数（m）；最大值：=最小值（abs（t[0]），len）；而p<=最大do如果abs（t[0]）mod p=0然后打印（类型[m-1]，p）；F:=F联合{p}fi；p:=下一素数（p）；od；od；F端：------------------------------------------------------------计算中唯一的差异取决于“类型”是bg（m）和eg（m）分别在第六行中的调用。没有调用Maple的内置函数bernoulli（n）或euler（n）制造完成。接下来是一个直到len=2000的欧拉不规则素数表。============================================================[19, 31, 43, 47, 61, 67, 71, 79, 101, 137, 139, 149,193, 223, 241, 251, 263, 277, 307, 311, 349, 353, 359, 373,379419433461463491509541563571577587，619, 677, 691, 709, 739, 751, 761, 769, 773, 811, 821, 877,887, 907, 929, 941, 967, 971, 983,1013,1019,1031,1039,1049,1051,1069,1151,1163,1187,1223,1229,1231,1277,1279,1283,1291,1307,1319,1361,1381,1399,1409,1423,1427,1429,1439,1447,1453,152315311559158316011621163716631693169717231733，1759,1787,1801,1831,1867,1873,1877,1879,1889,1901,1907,1931,1933,1951,1987,1993,1997]============================================================（3） 弱和强不规则素数我们说素数是弱不规则若（iff）伯努利不规则或欧拉不规则。19, 31, 37, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 79,101, 103, 131, 137, 139, 149, 157, 193, 223, 233,241, 251, 257, 263, 271, 277, 283, 293, 307, 311,347, 349, 353, 359, 373, 379, 389, 401, 409, 419,421, 433, 461, 463, 467, 491, 509, 523, 541, 547,557, 563, 571, 577, 587, 593, 607, 613, 617, 619,631, 647, 653, 659, 673, 677, 683, 691, 709, 727,739, 751, 757, 761, 769, 773, 797, 809, 811, 821,827, 839, 877, 881, 887, 907, 929, 941, 953, 967,971, 983, 1013, 1019, 1031, 1039, 1049, 1051, 1061, 1069,1091, 1105, 1117, 1129, 1151, 1153, 1163, 1187, 1193, 1201,1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1277, 1279, 1283, 1291, 1297,1301, 1307, 1319, 1327, 1361, 1367, 1381, 1399, 1409, 1423,1427, 1429, 1439, 1447, 1453, 1483, 1499, 1523, 1531, 1559,1583, 1597, 1601, 1609, 1613, 1619, 1621, 1637, 1663, 1669,1693, 1697, 1721, 1723, 1729, 1733, 1753, 1759, 1777, 1787,1789, 1801, 1811, 1831, 1847, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879,1889, 1901, 1907, 1931, 1933, 1951, 1979, 1987, 1993, 1997.我们说素数是强烈不规则若（iff）伯努利不规则和欧拉不规则。67, 101, 149, 263, 307, 311, 353, 379, 433, 461,463, 491, 541, 577, 587, 619, 677, 691, 751, 761,773、811、821、877、887、929、971、1151、1229、1279，1283, 1291, 1307, 1319, 1381, 1409, 1429, 1439, 1523, 1559,1621, 1637, 1663, 1733, 1759, 1787, 1831, 1877, 1879, 1889,1901, 1933, 1951, 1987, 1993, 1997.外部链接：[1] http://primes.utm.edu/top20/page.php？id=26[2] http://primes.utm.edu/top20/page.php？id=25[3] http://www.ams.org/mcom/2007-76-257/S0025-5718-06-01887-4/home.html
[上次编辑时间：2007-01-24]