校样
定理的证明很长；也许它们应该缩短？
例如，定理1几乎直接从
定理2遵循Sylvester关于Frobenius问题的定理（18和20），以及48-142上的有限检验。
查尔斯·格里特豪斯四世2012年7月29日17:04（UTC）
- 也许。但在缩短定理2之前，我希望有一页关于西尔维斯特定理的内容，至少有一个占位符用于证明。阿隆索·德尔·阿特2012年7月29日23:35（UTC）
属性
奇丰富数的密度
即使是大量的数据，我们也有
富足数（甚至富足数）在被任意正整数相乘时是闭合的：富足数的任何正倍数都是富足数。
因此，偶数是正密度的（在正整数中）。特别是，它们的较低密度（在正整数中）至少为0.2453，其较高密度最多为0.2460。
正密度的奇数丰富吗？
对于奇数丰富的数字，我们有
（1） 第一个奇数丰富数是232第个数量丰富！
（2） 奇数富足数在被任意正奇数整数相乘时是闭合的：奇数富余数的任何正奇数倍数都是奇数富满的。
现在（1）似乎表明奇数富足数的密度要比偶数富足数低得多，如果不是0的话。
但是（2）结合一半的正整数是奇数这一事实，如果（1）恰好是一个基础效应，似乎表明奇数富足数的密度可能是偶数富足数字密度的一半，这有意义吗-丹尼尔·福格斯2012年7月30日07:09（UTC）
- 由于所有偶数富足数的倍数都是偶富足数，而只有奇数富足数的奇数倍数才是奇数富余数，因此我预计偶数富余数比奇数富富余数多出一倍，这是一个密度（富足数中）偶数富足数为2/3，奇数富足数为1/3-丹尼尔·福格斯2016年9月24日03:01（UTC）
- 不完全是！偶数富足数的所有偶数倍和奇数倍都是偶数富足数，但奇数富足数的所有偶数倍都是偶数富足数，而只有奇数富足数的所有奇数倍都是奇数富足数。然后，我预计偶数富足数的数量是奇数富足数三倍，因此偶数富余数的密度为3/4，奇数富余数四分之一-丹尼尔·福格斯2016年9月24日03:07（UTC）
- 是的，只有90个奇数丰富数字小于40000，而9822个偶数丰富数字低于40000，但我认为这可能是一个地面效应，因为第一个奇数丰数是945（从而限制了奇数倍数的数量）-丹尼尔·福格斯2016年9月24日03:19（UTC）
- 只有当大多数富足数都是非本原富足数（富足数是富足数的倍数）时，上述推理才可能有效-丹尼尔·福格斯2016年9月24日03:39（UTC）
- 奇数富足数的密度为正。（945的所有奇数倍数都是丰富的，因此它们的密度至少是1/1890。）更一般地说，对于任何x和y，与y#互素且丰度大于x的数的密度是正的。这来自于素数谐波的散度：本质上，你从y+1开始取素数，直到它们的倒数之和大于logx，这大约是exp（exp（logx+loglogy））。这是σ_-1的乘积（1+1/p）的一阶近似值。
- 我预计富足数中奇数富足数的密度远小于1/4。如果我不得不猜测的话，可能在1/100到1/150之间。我想已经做了一些计算。。。也许是伊恩努奇写的？
- 查尔斯·格里特豪斯四世2016年9月24日07:26（UTC）
- 你知道渐近100%的充裕数是非本原充裕数吗？如果是这样的话，这是否意味着渐近1/4的丰富数字将是奇数-丹尼尔·福格斯2016年9月24日23:05（UTC）
- 我在暗示，渐近100%的富足数是非本原的，但我怀疑奇数富足数与富足数的比率可能等于原始奇数富余数与原始富足数之比的1/4（其中，原始富足数或完美数都不是整数的倍数）-丹尼尔·福格斯2016年9月25日23:57（UTC）
两个富余数之和
如果你想证明所有足够大的数字都是两个丰富数字的和，你可以用945加上其中一个甚至丰富的数字：
1890, 21736, 43472, 948, 3784, 2840, 1896, 952, 7568, 954, 1900, 4736, 12, 33088, 1904, 960, 15136, 29312, 18, 19864, 20, 966, 9472, 968, 24, 2860, 5696, 972, 3808, 40664, 30, 8536, 7592, 978, 5704, 980, 36, 14212, 35948, 984, 40, 6656, 42, 19888, 18944, 990, 1936, 992, 48, 2884, 1940, 996, 11392, 25568, 54, 1000, 56, 1002, 13288, 4784, 60, 33136, 1952, 1008, 15184, 2900, 66, 27472, 3848, 1014, 70, 8576, 72, 6688, 20864, 1020, 30316, 2912, 78, 46384, 80, 1026, 13312, 35048, 84, 2920, 1976, 1032, 88, 21824, 90, 1036, 3872, 1038, 1984, 1040, 96, 29392, 1988, 1044, 100, 10496, 102, 69088, 104, 1050, 5776, 19952, 108, 2944, 2000, 1056, 112, 14288, 114, 1060, 26576, 1062, 9568, 1064, 120, 25636, 51152, 1068, 3904, 2960, 126, 8632, 30368, 1074, 2020, 12416, 132, 2968, 2024, 1080, 7696, 29432, 138, 4864, 140, 1086, 9592, 1088, 144, 2980, 13376, 1092, 41728, 71024, 150, 38896, 11492, 1098, 2044, 1100, 156, 2992, 17168, 1104, 160, 2996, 162, 4888, 3944, 1110, 32296, 38912, 168, 6784, 2060, 1116, 3952, 3008, 174, 1120, 176, 1122, 5848, 12464, 180, 3016, 2072, 1128, 7744, 3020, 186, 31372, 3968, 1134, 2080, 16256, 192, 6808, 17204, 1140, 196, 40832, 198, 1144, 200, 1146, 20992, 1148, 204, 3040, 9656, 1152, 208, 14384, 210, 12496, 11552, 1158, 32344, 1160, 216, 3052, 5888, 1164, 220, 18176, 222, 23848, 224, 1170, 5896, 12512, 228, 10624, 2120, 1176, 22912, 6848, 234, 1180, 19136, 1182, 2128, 1184, 240, 14416, 21032, 1188, 64504, 1190, 246, 46552, 7808, 1194, 2140, 20096, 252, 10648, 17264, 1200, 15376, 14432, 258, 1204, 260, 1206, 17272, 16328, 264, 3100, 2156, 1212, 4048, 18224, 270, 1216, 272, 1218, 9724, 1220, 276, 10672, 9728, 1224, 280, 14456, 282, 20128, 19184, 1230, 2176, 1232, 288, 14464, 2180, 1236, 26752, 3128, 294, 1240, 30536, 1242, 36208, 12584, 300, 3136, 28652, 1248, 304, 3140, 306, 5032, 308, 1254, 2200, 8816, 312, 22048, 5984, 1260, 34336, 10712, 318, 31504, 320, 1266, 2212, 35288, 324, 3160, 9776, 1272, 7888, 3164, 330, 5056, 34352, 1278, 24904, 1280, 336, 6952, 13568, 1284, 340, 10736, 342, 1288, 7904, 1290, 6016, 50432, 348, 10744, 350, 1296, 352, 6968, 354, 1300, 4136, 1302, 17368, 39104, 360, 6976, 6032, 1308, 364, 3200, 366, 1312, 368, 1314, 2260, 1316, 372, 41008, 21164, 1320, 7936, 6992, 378, 5104, 380, 1326, 32512, 8888, 384, 1330, 13616, 1332, 30628, 3224, 390, 16456, 392, 1338, 13624, 1340, 396, 10792, 2288, 1344, 400, 25916, 402, 12688, 26864, 1350, 2296, 1352, 408, 22144, 2300, 1356, 11752, 3248, 414, 1360, 416, 1362, 21208, 27824, 420, 3256, 24992, 1368, 23104, 3260, 426, 1372, 19328, 1374, 2320, 1376, 432, 14608, 2324, 1380, 4216, 18392, 438, 8944, 440, 1386, 36352, 5168, 444, 3280, 47696, 1392, 448, 29744, 450, 42976, 11792, 1398, 25024, 1400, 456, 7072, 21248, 1404, 460, 33536, 462, 1408, 464, 1410, 6136, 5192, 468, 3304, 2360, 1416, 30712, 10868, 474, 1420, 476, 1422, 2368, 16544, 480, 37336, 28832, 1428, 4264, 1430, 486, 20332, 23168, 1434, 490, 20336, 492, 3328, 9944, 1440, 8056, 3332, 498, 12784, 500, 1446, 2392, 24128, 504, 3340, 13736, 1452, 4288, 3344, 510, 1456, 23192, 1458, 28864, 1460, 516, 10912, 2408, 1464, 520, 14696, 522, 5248, 34544, 1470, 17536, 1472, 528, 7144, 2420, 1476, 532, 26048, 534, 1480, 8096, 1482, 6208, 1484, 540, 18496, 2432, 1488, 544, 3380, 546, 39292, 19448, 1494, 550, 1496, 552, 3388, 21344, 1500, 19456, 3392, 558, 1504, 560, 1506, 6232, 12848, 564, 3400, 17576, 1512, 38368, 22304, 570, 20416, 572, 1518, 2464, 1520, 576, 7192, 6248, 1524, 580, 3416, 582, 9088, 15704, 1530, 6256, 5312, 588, 18544, 2480, 1536, 30832, 7208, 594, 1540, 27056, 1542, 25168, 46904, 600, 7216, 2492, 1548, 19504, 3440, 606, 9112, 608, 1554, 2500, 5336, 612, 11008, 10064, 1560, 616, 7232, 618, 24244, 620, 1566, 6292, 1568, 624, 3460, 44096, 1572, 4408, 11024, 630, 39376, 15752, 1578, 21424, 1580, 636, 3472, 10088, 1584, 640, 45056, 642, 5368, 644, 1590, 25216, 9152, 648, 14824, 650, 1596, 19552, 33728, 654, 1600, 8216, 1602, 2548, 20504, 660, 3496, 2552, 1608, 34684, 1610, 666, 28072, 8228, 1614, 2560, 31856, 672, 14848, 6344, 1620, 27136, 71552, 678, 1624, 680, 1626, 21472, 5408, 684, 3520, 2576, 1632, 15808, 7304, 690, 9196, 4472, 1638, 2584, 1640, 696, 14872, 21488, 1644, 700, 3536, 702, 16768, 704, 1650, 13936, 1652, 708, 26224, 2600, 1656, 8272, 22448, 714, 1660, 12056, 1662, 55528, 1664, 720, 3556, 6392, 1668, 12064, 3560, 726, 1672, 728, 1674, 2620, 5456, 732, 11128, 2624, 1680, 736, 11132, 738, 13024, 740, 1686, 2632, 9248, 744, 3580, 36656, 1692, 748, 3584, 750, 1696, 15872, 1698, 6424, 1700, 756, 11152, 10208, 1704, 760, 22496, 762, 1708, 4544, 1710, 17776, 9272, 768, 7384, 770, 1716, 23452, 3608, 774, 1720, 61256, 1722, 6448, 5504, 780, 11176, 17792, 1728, 784, 3620, 786, 5512, 27248, 1734, 2680, 1736, 792, 22528, 6464, 1740, 4576, 26312, 798, 16864, 800, 1746, 36712, 28208, 804, 1750, 17816, 1752, 15928, 7424, 810, 35776, 812, 1758, 2704, 1760, 816, 45232, 40508, 1764, 820, 7436, 822, 1768, 23504, 1770, 2716, 13112, 828, 33904, 2720, 1776, 832, 3668, 834, 1780, 836, 1782, 2728, 9344, 840, 22576, 6512, 1788, 4624, 3680, 846, 1792, 31088, 1794, 2740, 5576, 852, 11248, 2744, 1800, 31096, 41492, 858, 43384, 860, 1806, 2752, 16928, 864, 3700, 6536, 1812, 868, 11264, 870, 13156, 8432, 1818, 29224, 1820, 876, 3712, 17888, 1824, 880, 22616, 882, 28288, 4664, 1830, 10336, 16952, 888, 3724, 2780, 1836, 4672, 11288, 894, 1840, 896, 1842, 44368, 5624, 900, 26416, 21692, 1848, 8464, 3740, 906, 5632, 27368, 1854, 910, 1856, 912, 15088, 14144, 1860, 27376, 3752, 918, 9424, 920, 1866, 6592, 13208, 924, 1870, 2816, 1872, 928, 7544, 930, 1876, 4712, 1878, 10384, 1880, 936, 7552, 2828, 1884, 940, 3776, 942, 1888, 27404
我用945型残留物整理它们。这直接证明了大于72495的奇数是两个丰富数的和；你需要进行一点有限的检查，看看这个界限是否可以提高到20161。计算这个列表花了40毫秒。
当然，我不确定我们是否需要这个证明，但如果需要，我们可能不需要显式地包含列表-查尔斯·格里特豪斯四世2016年9月23日02:49（UTC）
- 我的两分钱：这可能值OEISMain中的一个序列条目和这里的一个定理2A，其中有一句话：“证明是沿着定理2的证明路线，使用945和A280xxx的数字。”-阿隆索·德尔·阿特2016年9月23日21:40（UTC）
- 我想A048242号这就足够了——上面的这个有限序列只是证明这个断言的众多方法之一，甚至不是特别聪明的方法——但我确实喜欢你的措辞建议，无论我们把它放在哪里-查尔斯·格里特豪斯四世2016年9月24日07:15（UTC）
回复：丰富数字的密度
你是怎么得到的英寸：- 至少（因为6和28是完美的）。
这样我就能明白为什么是错误的-丹尼尔·福格斯2016年9月25日23:44（UTC）- 哎呀，你说得对：（我不该犯这个错误。）
- 至少（因为6和28是完美的）。
- —丹尼尔·福格斯2016年9月30日02:48（UTC）
- 不知怎的，这促使我写了5/30、40/210、506/2310。。。但没有5,40,506在OEIS中。无关，页面目前状态良好，可能可以升级为“OEIS可能的链接目标”弗兰克·埃勒曼2017年10月20日03:32（UTC）
