平方和

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全部正整数可以表示为平方和一些可以表示为两个或三个平方的和，一些可以表示成一百万平方的和。有些可以用多种方式表示为平方和。例如，338350是前一百个非零平方的和。它也可以表示为580²+ 43²+ 10²+1个²。

由于负数是一个正数，在本文中，我们不需要区分负整数的平方和正整数的平方。然而，我们将区分可能包含0实例的平方和²以及那些必须仅由非零整数的平方组成的整数；后者在这里被称为“非零平方”。

在可以表示为给定数量的平方和的数字中，我们可以区分那些可以用更少的平方表示的数字和那些不能用更少的方块表示的数字。例如，25=4²+ 3²，但也有5个²，而29=5²+ 2²但我们不能使用${\显示样式（{\sqrt{29}}）^{2}}$（这充其量是不雅观的，充其量则是作弊）。

${\显示样式k}$	可以用表示的数字${\显示样式k}$正方形		不能用小于表示的数字${\显示样式k}$正方形
1	1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, ...	A000290型
2	2, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, ...	A000404号	2, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 26, 29, 32, 34, ...	A000415号
三	3, 6, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 19, 21, 24, 26, 27, 30, ...	A000408号	3, 6, 11, 12, 14, 19, 21, 22, 24, 27, 30, 33, 35, 38, ...	A000419号
4	4, 7, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, ...	A000414号	7, 15, 23, 31, 39, 47, 55, 63, 71, 79, 87, 95, 103, ...	A004771号
5	5, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, ...	147700加元	无
6	6, 9, 12, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 22, ...
7	7, 10, 13, 15, 16, 18, 21, 22, ...

四个平方和

答案是华林问题对于平方，所有整数都至少有一个表示形式，作为最多四个平方的和。

定理SQS4。每个正整数最多可以表示为四个非零平方的和。或者我们可以说，所有的正整数都是四个平方的和，其中一些平方可能是零，但不是全部，也就是说，${\显示样式n=w^{2}+x^{2neneneep+y^{2{+z^{2]}$，带有$｛\displaystyle w>x\geq y\geq z\geq 0｝$。

证明。这里有证据。防终结标记

什么时候？${\显示样式n\equiv 7\mod 8}$，该数字需要四个非零平方。显然质数Waring表示至少需要两个非零平方。参见中的定理P2SQ高斯整数文章介绍了一个关于哪些素数可以表示为两个平方和的结果。

定理SQS4的推论。如果${\显示样式n}$是四个相等的非零平方和，那么它至少有两个表示形式作为平方和，其中至少一个包含零。狭窄${\显示样式w>x\geqy\geqz\geq0}$可能给人的印象是，这个定理不包含等式平方和，但这将是一个错误的印象，稍加改写就会明白。如果${\显示样式w=x=y=z>0}$，然后${\显示样式n=4w^{2}}$（或$｛\displaystyle 4x^｛2｝｝$等）。我们可以重写${\显示样式n=4w^{2}=2^{2} 周^{2} =（2w）^{2}}{2} 周^{2} =（2w）^{2}}$.重新分配${\显示样式w:=2w}$和“重置”${\显示样式x}$,${\显示样式y}$和${\显示样式z}$到0表示${\显示样式n}$满足不等式${\显示样式w>x\geqy\geqz\geq0}$在定理中给出。

五个正方形的和

只有少数例外（请参阅A047701号)，所有正整数都可以表示为五个非零平方和。例如，255=9²+ 8²+ 7²+ 6²+ 5²。

定理SQS5。每个整数${\显示样式n>33}$可以表示为五个非零平方和。

证明。案例$｛\displaystyle 170＞n＞33｝$在下表中逐一进行了检查，证明了它们中的每一个都至少有一个表示为五个非零平方和。对于${\显示样式n>169}$，我们将需要4平方表示，其中可能包括零，定理SQS4告诉我们这是普遍存在的${\显示样式n}$169的特殊之处不是它是一个正方形，而是它也可以表示为五个、四个、三个或两个正方形的和。求解方程${\显示样式n-169=w^{2}+x^{2{+y^{2neneneep+z^{2｝}$观察狭窄${\显示样式w>x\geqy\geqz\geq0}$.如果${\显示样式z>0}$，然后$｛\displaystyle n＝13^｛2｝+w ^｛2｝+x ^｛2｝+y ^｛2｝+z ^｛2｝｝$.如果${\显示样式y>z=0}$，然后${\显示样式n=12^{2}+5^{2neneneep+w^{2{+x^{2neneneei+y^{2]}$.如果${\显示样式x>y=z=0}$，然后${\显示样式n=12^{2}+4^{2neneneep+3^{2{+w^{2]+x^{2｝}$.如果只是${\显示样式w>0}$，那么我们有${\显示样式n=10^{2}+8^{2{+2^{2]+1^{2neneneep+w^{2neneneei}$. □

当然，有些整数有五个非零平方和的一个以上表示，定理SQS5的证明可能并不总是给我们最“有趣”的表示。回到255的例子，证明中概述的方法将给出255=（12²+ 5²) + (9²+ 2²+1个²).

34	42+ 32+ 22+ 22+1个2	35	52+ 22+ 22+1个2+1个2	36	42+ 32+3个2+1个2+1个2
37	52+ 32+1个2+1个2+1个2	38	42+ 42+ 22+1个2+1个2	39	42+ 32+3个2+ 22+1个2
40	62+1个2+1个2+1个2+1个2	41	52+ 32+ 22+1个2+1个2	42	42+ 32+ 32+ 22+ 22
43	52+ 32+ 22+ 22+1个2	44	52+ 42+1个2+1个2+1个2	45	52+ 32+ 32+1个2+1个2
46	42+ 42+ 32+ 22+1个2	47	52+ 42+ 22+1个2+1个2	48	52+3个2+ 32+ 22+1个2
49	62+ 22+ 22+ 22+1个2	50	52+ 42+ 22+ 22+1个2	51	62+ 32+ 22+1个2+1个2
52	52+ 42+ 32+1个2+1个2	53	42+ 42+ 42+ 22+1个2	54	62+ 32+ 22+ 22+1个2
55	52+ 42+ 32+ 22+1个2	56	52+ 52+ 22+1个2+1个2	57	62+ 32+ 22+ 22+ 22
58	62+ 42+ 22+1个2+1个2	59	62+ 32+ 32+ 22+1个2	60	52+ 42+ 32+ 32+1个2
61	62+ 42+ 22+ 22+1个2	62	52+ 42+ 42+ 22+1个2	63	62+ 42+3个2+1个2+1个2
64	72+ 32+ 22+1个2+1个2	65	42+ 42+ 42+4个2+1个2	66	62+ 42+ 32+ 22+1个2
67	62+ 52+ 22+1个2+1个2	68	52+ 52+ 42+1个2+1个2	69	72+ 32+ 32+1个2+1个2
70	62+ 52+ 22+ 22+1个2	71	72+ 42+ 22+1个2+1个2	72	62+ 52+3个2+1个2+1个2
73	62+ 52+ 22+ 22+ 22	74	72+ 42+ 22+ 22+1个2	75	62+ 52+ 32+ 22+1个2
76	72+ 42+ 32+1个2+1个2	77	72+ 52+1个2+1个2+1个2	78	62+ 42+ 42+ 32+1个2
79	72+ 42+ 32+ 22+1个2	80	72+ 52+ 22+1个2+1个2	81	62+ 62+ 22+ 22+1个2
82	62+ 52+ 42+ 22+1个2	83	72+ 52+ 22+ 22+1个2	84	72+ 42+ 32+ 32+1个2
85	72+ 52+ 32+1个2+1个2	86	82+4个2+ 22+1个2+1个2	87	62+ 52+ 42+ 32+1个2
88	72+5个2+ 32+ 22+1个2	89	82+ 42+ 22+ 22+1个2	90	62+ 62+ 42+1个2+1个2
91	72+ 62+ 22+1个2+1个2	92	72+ 52+ 42+1个2+1个2	93	72+ 52+ 32+ 32+1个2
94	82+4个2+ 32+ 22+1个2	95	72+ 52+ 42+ 22+1个2	96	92+ 32+ 22+1个2+1个2
97	72+ 62+ 22+ 22+ 22	98	82+ 52+ 22+ 22+1个2	99	72+ 62+ 32+ 22+1个2
100	72+ 52+ 42+ 32+1个2	101	82+ 42+ 42+ 22+1个2	102	62+ 62+ 52+ 22+1个2
103	82+ 52+ 32+ 22+1个2	104	92+ 32+ 32+ 22+1个2	105	62+ 62+ 42+ 42+1个2
106	72+6个2+ 42+ 22+1个2	107	62+ 62+ 52+3个2+1个2	108	92+ 42+ 32+1个2+1个2
109	82+ 62+ 22+ 22+1个2	110	82+ 52+ 42+ 22+1个2	111	92+ 42+ 32+ 22+1个2
112	92+ 52+ 22+1个2+1个2	113	102+ 22+ 22+ 22+1个2	114	82+ 62+ 32+ 22+1个2
115	72+6个2+ 52+ 22+1个2	116	92+ 42+ 32+ 32+1个2	117	92+ 52+ 32+1个2+1个2
118	82+ 62+ 42+1个2+1个2	119	82+ 72+ 22+1个2+1个2	120	92+ 52+ 32+ 22+1个2
121	82+ 62+ 42+ 22+1个2	122	102+ 42+ 22+1个2+1个2	123	92+ 62+ 22+1个2+1个2
124	82+ 72+ 32+1个2+1个2	125	102+ 42+ 22+ 22+1个2	126	82+ 62+ 42+ 32+1个2
127	82+ 72+3个2+ 22+1个2	128	92+ 62+ 32+1个2+1个2	129	92+ 62+ 22+ 22+ 22
130	82+6个2+ 52+ 22+1个2	131	92+ 62+ 32+ 22+1个2	132	92+ 52+ 42+ 32+1个2
133	72+ 72+ 52+ 32+1个2	134	82+ 72+4个2+ 22+1个2	135	82+ 62+ 52+ 32+1个2
136	112+ 32+ 22+1个2+1个2	137	102+ 42+ 42+ 22+1个2	138	92+ 62+ 42+ 22+1个2
139	102+ 52+ 32+ 22+1个2	140	82+ 72+ 52+1个2+1个2	141	92+ 72+ 32+1个2+1个2
142	82+ 62+ 52+ 42+1个2	143	82+ 72+ 52+ 22+1个2	144	92+ 72+ 32+ 22+1个2
145	102+ 62+ 22+ 22+1个2	146	102+5个2+ 42+ 22+1个2	147	92+ 62+ 52+ 22+1个2
148	82+7个2+ 52+ 32+1个2	149	82+ 82+ 42+ 22+1个2	150	102+ 62+ 32+ 22+1个2
151	112+ 42+ 32+ 22+1个2	152	92+ 62+ 52+3个2+1个2	153	82+ 62+ 62+ 42+1个2
154	82+ 72+ 62+ 32+1个2	155	82+ 72+ 52+ 42+1个2	156	92+ 72+ 42+ 32+1个2
157	102+ 62+ 42+ 22+1个2	158	102+ 72+ 22+ 22+1个2	159	92+ 82+ 32+ 22+1个2
160	112+ 52+ 32+ 22+1个2	161	102+ 72+ 22+ 22+ 22	162	102+ 62+ 42+3个2+1个2
163	102+ 72+ 32+ 22+1个2	164	112+ 52+4个2+1个2+1个2	165	92+ 72+ 52+ 32+1个2
166	92+ 82+ 42+ 22+1个2	167	112+ 52+ 42+ 22+1个2	168	112+ 62+ 32+1个2+1个2
169	122+ 42+ 22+ 22+1个2

工具书类

• Ivan Niven和Herbert S.Zuckerman，数论导论，纽约：John Wiley（1980）。