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设置成分是集合的组成。

集合合成数超过集合N个_对

表示方式

${\显示样式N_{p}=\{1,2，\ldot，p\}\，}$

全套正整数不大于${\显示样式\脚本样式p\，}$，和依据

${\显示样式{\上划线{c}}_{m}（k，N{p}）\，}$

a的集合合成数${\显示样式\脚本样式k\，}$-套(${\显示样式\脚本样式k\，}$元素集）中${\显示样式\脚本样式m\，}$部分大小${\显示样式\脚本样式1，\，2，\，\图标，\，p\，}$.

重现性和初始条件

$｛\displaystyle｛\overline｛c｝｝_｛0｝（0，N_｛p｝）=1｛\text｛and｝｝｝｛\overline｛c｝_｛0｝（k，N_｛p｝）=0｛\text｛if｝｝k>0；\，｝$

${\显示样式{\上划线{c}}_{m}（k，N{p}）=0{\text{if}}k<m{\text}或}}k>mp；}$

$显示样式{\overline{c}}_{m}（k，N_{p}）=\sum_{s=1}^{p}{\binom{k}{s}}~{\overrine{c{}_{m-1}$

正在生成函数

$｛\displaystyle\sum_｛k=0｝^｛\infty｝｛\overline｛c｝_｛m｝（k，N_｛p｝｝\右）^｛m｝\，｝$

相关序列

${\displaystyle{\overline{c}}（k，N_{p}）=\sum_{m=0}^{\infty}{\overrine{c}{m}$

${\显示样式{\上划线{c}}_{m}（N_{p}）=\和{k=0}^{infty}{\下划线{c{}_{m}（k，N_{p}）=和$

集合合成数超过集合N个₂

表

从一般情况$｛\displaystyle\scriptstyle p\，=\，2\，｝$我们得到

${\显示样式{\上划线{c}}_{0}（0，N_{2}）=1{\text{和}}{\下划线{c{}_{0}（k，N_2}）=0{\text}if}}k>0；\，}$

${\显示样式{\上划线{c}}_{m}（k，N{2}）=0{\text{if}}k<m{\text}或}}k>2m；\，}$

$显示样式{\上划线{c}}{m}{m-1}（k-2，N{2}）.\，}$

根据递归和初始条件，我们可以建立一行又一行的表格

米\k 0 1 2 三 4 5 6 7 8 9 10 .. ${\显示样式\脚本样式{\上划线{c}}_{m}（N_{2}）}$ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 . 2 2 0 0 2 6 6 0 0 0 0 0 0 . 14 三 0 0 0 6 36 90 90 0 0 0 0 . 222 4 0 0 0 0 24 240 1080 2520 2520 0 0 . 6384 5 0 0 0 0 0 120 1800 12600 50400 113400 113400 . 291720 .. . . . . . . . . . . . . . ${\显示样式\脚本样式{\上划线{c}}（k，N_{2}）}$ 1 1 三 12 66 450 3690 35280 385560 4740120 64751400 . .

显式公式

现在我们来证明这个方程

$｛\displaystyle｛\overline｛c｝｝_｛m｝（k，N_｛2｝）=｛\binom｝｛k-m｝｝~｛\frac｛k！｝｛2^｛k-m｝｝｝\，｝$

从生成函数对于${\显示样式\脚本样式p\，=\，2\，}$并使用二项式定理我们有

${\displaystyle\sum_{k=m}^{2m}{\overline{c}}_{m}（k，N_2}）~{\frac{x^{k}{k！}}=\ left（x+{\frac{x^}}{2}}\ right）^{m}=\ sum_{i=0}^{m{\binom{m}{{i}}~x^{m-i}~{frac{x ^{2}{2^{i}}=\sum_{i=0}^{m}{\binom{m}}~{\frac{x^{m+i}}{2^}}\，}$

对于${\显示样式\脚本样式k\，=\，m+i\，}$因为$｛\displaystyle\scriptstyle i\，=\，0，\，1，\，\ldots，\，m\，｝$跟着那个走${\显示样式\脚本样式k\，=\，m，\，m+1，\，\ldot，\，2m\，}$并更换${\显示样式\脚本样式i\，=\，k-m\，}$我们得到

${\displaystyle\sum_{i=0}^{m}{\binom{m}}{i}}~{\frac{x^{m+i}}{2^{i}{}=\sum_{k=m}^{2m}{\biom{m{k-m}}~}{\frac{x^}k}}{2 ^{km}}=\sum压裂{k！}{2^{k-m}}~{\压裂{x^{k}}{k！{}}\，}$

从上面我们最后得出结论

${\displaystyle\sum_{k=m}^{2m}{\overline{c}}{m}（k，N_2}）~{\frac{x^{k}{k！}}=\sum_k=m{2}{\binom{m}{k-m}}~{\frac{k$

在使系数相等后${\显示样式\脚本样式x\，}$我们得到上面的公式

然而，由于

${\显示样式{\binom{m}{k}={\frac{m！}{k！（m-k）！}}\，}$

我们得到

${\显示样式{\上划线{c}}_{m}（k，N_2}）={\binom{m}{k-m}}~{\frac{k！}{2^{k-m{}}={\frac{m！}{（m-k）！（k-2m）$

关联序列

第一个序列

${\显示样式{\上划线{c}}_{m}（N_{2}）=\和{k=m}^{2m}{\压裂{m！~k！}{（2m-k）！~（k-m）！~2^{k-m}}}\，}$

给出序列（参见。A080599号${\显示样式\脚本样式（m），\，m\，\geq\，0\，}$)

{1, 1, 3, 12, 66, 450, 3690, 35280, 385560, 4740120, 64751400, 972972000, 15949256400, 283232149200, 5416632421200, 110988861984000, 2425817682288000, ...}

其中该数字可以更好地解释为${\显示样式\脚本样式2m\，}$不同的对象（球）${\显示样式\脚本样式m\，}$不同的盒子（箱子），条件是每个盒子中可以放置至少一个对象，但不能超过两个对象。

第二个序列

表示方式

${\显示样式{\上划线{c}}（k，N_{2}）=\sum_{m=\lfloor k/2\rfloor}^{k}{\上中线{c}{m}（k，N_2}）\，}$

一个k集在大小为1或2的部分（子集）中的所有成分的数量。这个数字是上表第k列中所有数字的总和。从表中我们可以看到

${\显示样式{\上划线{c}}（0，N_{2}）=1\，}$

${\显示样式{\上划线{c}}（1，N_{2}）=1\，}$

${\显示样式{\上划线{c}}（2，N_{2}）=3\，}$

${\显示样式{\上划线{c}}（3，N_{2}）=12\，}$

${\显示样式{\上划线{c}}（4，N_{2}）=66\，}$

${\显示样式{\上划线{c}}（5，N_{2}）=450\，}$

例如：一个3集{a，b，c}的所有组合都是

（{a}，{b，c}），（{b，c}，{a}），（{b}，{a，c}），（{a，c}，{b}），（{c}，{a，b}），（{a，b}，{c}）（{a}，{b}，}c}），（{a{，{c}，[b}）

${\displaystyle{\overline{c}}（k，N_2}）=\sum_{m=\lfloork/2\rfloor}^{k}{\frac{m！~k！}{（2m-k）！~（k-m）！~2^{k-m}}.\，}$

给出序列（参见。A105749美元$｛\displaystyle\scriptstyle（k），\，k\，\geq\，0\，｝$)

{1, 2, 14, 222, 6384, 291720, 19445040, 1781750880, 214899027840, 33007837322880, 6290830003852800, 1456812592995513600, 402910665227270323200, ...}

集合合成数超过集合N个_三

表

使用初始条件和复发在一般情况下提到${\显示样式\脚本样式p\，=\，3\，}$我们得到

$｛\displaystyle｛\overline｛c｝｝_｛0｝（0，N_｛3｝）=1｛\text｛and｝｝｝｛\overline｛c｝_｛0｝（k，N_｛3｝）=0｛\text｛if｝｝k>0；\，｝$

${\显示样式{\上划线{c}}_{m}（k，N_{3}）=0{\text{if}}k<m{\text}或}}k>3m；\，}$

${\显示样式{\上划线{c}}{m}（k，N{3}）=\和{s=1}^{3}{\binom{k}{s}}}~{\上拉线{c}{m-1}}{m-1}（k-2，N{3}）~+~{压裂{1}{6}}~k（k-1）（k-2）~{上划线{c}}{m-1}（k3，N{3}）$

根据这个循环，现在我们可以逐行构造下表

米\k 0 1 2 三 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 .. ${\显示样式\脚本样式{\上划线{c}}_{m}（N_{3}）}$ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 三 2 0 0 2 6 14 20 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 62 三 0 0 0 6 36 150 450 1050 1680 1680 0 0 0 0 0 0 . 5052 4 0 0 0 0 24 240 1560 7560 29400 90720 218400 369600 369600 0 0 0 . 10871804 5 0 0 0 0 0 120 1800 16800 117600 667880 3137400 12243000 38880800 96096000 168168000 168168000 . 487424520 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . $｛\displaystyle\scriptstyle｛\overline｛c｝｝（k，N_｛3｝）｝$ 1 1 三 13 74 530 4550 45570 521640 6717480 96117000 1512819000 25975395600 483169486800 9678799930800 207733600074000 . .

例如，假设第三行完成了，那么对于元素${\显示样式\脚本样式{\上划线{c}}_{m}（k，N{3}）\，}$重复出现的第四行

${\显示样式{\上划线{c}}_{4}（5，N{3}）=5~{\上拉线{c}{3}（4，N{3+）~+~10~{\上划线{c{}_3}$

显式公式

从的生成函数${\显示样式\脚本样式p\，=\，3\，}$利用二项式定理

${\displaystyle\sum_{k=m}^{3m}{\overline{c}}_{m}（k，N_{3}）~{\frac{x^{k}{k！}}=\左（x+{压裂{x^}}{2}}+{\frac{x^3}}{6}}\右）3x+x^{2}\右）^{m}=\左（{\frac{x}{6}}\右$

${\displaystyle=\left（{\frac{x}{6}}\right）^{m}\sum_{i=0}^{m{\binom{m}{i}}~（2+x）^{i}~3^{i{2}~x^{2m-2i}=\lert（{\frac{x{6}{right）^{i}{\binom{i}}{j}}~2^{j}~x^{i-j}~3^{i{~x^[2m-2i}\，}$

${\displaystyle=\sum_{i=0}^{m}\左（\sum_{j=0}^{i}{\binom{m}{i}}~{\binom{i}{j}}~2^{i-m-j}~3^{i-m}~x^{3m-2i+j}\右）\，}$

对于${\显示样式\脚本样式k\，=\，3m-2i+j\，}$我们有${\显示样式\脚本样式j\，=\，k+2i-3m\，}$，因为${\显示样式\脚本样式i\，=\，0，\，1，\，\ldot，\，m\，}$和${\显示样式\脚本样式j\，=\，0，\，1，\，\ldot，\，i\，}$按照那个${\显示样式\脚本样式k\，=\，m，\，m+1，\，\ldot，\，3m\，}$

$显示样式\和{i=0}^{m}\左（\和{j=0}^{i}{\binom{m}{i}}~{\binom{i}{j}}~2^{i-m-j}~3^{i-m}~x^{3m-2i+j}\右）=\和{k=m}^{3m}\左}{k+2i-3m}}{\压裂{k！}{2^{k+i-2m}~3^{m-i}}}\右）~{\压裂}x^{k}}{k！{}}\，}$

最后我们得到

${\displaystyle\sum_{k=m}^{3m}{\overline{c}}{m}（k，N_{3}）~{\frac{x^{k}}{k！}}=\sum_k=m{3}\ left（sum_i=0}^{m}{\binom{m}}{i}}~{\binom{i}{k+2i-3m}}{\frac{k！{2^{k+i-2m}~3^{m-i}}\右）~{\frac{x^{k}}{k！}}\，}$

根据上面的公式，在对下一个系数进行均衡后${\显示样式\脚本样式x\，}$我们得到

$｛\displaystyle｛\overline｛c｝｝_｛m｝（k，N_｛3｝）=\sum_｛i=0｝^｛m｝｛\binom｛m｝｛i｝｝~｛\binom｛i｝｛k+2i-3m｝｝｛\frac｛k！｝｛2^｛k+i-2m｝~ 3^｛m-i｝｝｝\，｝$

因为${\displaystyle\scriptstyle{\binom{i}{k+2i-3m}}\，=\，0\，}$对于${\显示样式\脚本样式i<k+2i-3m\，}$只有在以下情况下才遵循${\显示样式\脚本样式i\，\leq\，3m-k\，}$表达${\displaystyle\scriptstyle{\binom{i}{k+2i-3m}}\，}$不等于0，这意味着

${\显示样式{\上划线{c}}_{m}（k，N_{3}）=\sum{i=0}^{3m-k}{\binom{m}{i}}~{\binom{i}{k+2i-3m}}{\ frac{k！}{2^{k+i-2m}~3^{m-i}}\，}$

${\显示样式k+2i-3m\leq\，i\leq/，m\，}$

使用属性

${\显示样式{\binom{m}{k}}={\frac{m！}{k！~（m-k）！}}\，}$

我们可以证明

$｛\displaystyle｛\overline｛c｝｝_｛m｝（k，N_｛3｝）=\sum_｛i=0｝^｛3m-k｝｛\frac｛m！~k！｝｛（m-i）！~（k+2i-3m）！~（3m-i-k）！~2^｛k+i-2m｝~3^｛m-i｝｝｝｝\，｝$

相关序列

第一个序列

${\显示样式{\上划线{c}}_{m}（N_{3}）=\sum_{k=m}^{3m}\sum_{i=0}^{3m-k}{\压裂{m！~k！}{（m-i）！~（k+2i-3m）！~$

给出序列（参见。114422英镑${\显示样式\脚本样式（m），\，m\，\geq\，0\，}$)

{1, 3, 62, 5052, 1087104, 487424520, 393702654960, 519740602925040, 1046019551260199040, 3046052768591313895680, 12322848899623787148556800, ...}

第二个序列

表示方式

${\显示样式{\上划线{c}}（k，N_{3}）=\sum_{m=\lfloor k/3\rfloor}^{k}{\上中线{c}{m}$

一个k集的所有成分在大小为1、2或3的部分（子集）中的数量。这个数字是上表第k列中所有数字的总和。从表中我们可以看到

${\显示样式{\上划线{c}}（0，N_{3}）=1\，}$

${\显示样式{\上划线{c}}（1，N_{3}）=1\，}$

${\显示样式{\上划线{c}}（2，N_{3}）=3\，}$

${\显示样式{\上划线{c}}（3，N_{3}）=13\，}$

${\显示样式{\上划线{c}}（4，N_{3}）=74\，}$

${\显示样式{\上划线{c}}（5，N_{3}）=530\，}$

例如：一个3集{a，b，c}的所有组合都是

（{a，b，c}）（{a}，{b，c}），（{b，c}，}）（{a}，{b}，}c}），（{a{，{c}，[b}）

$｛\displaystyle｛\overline｛c｝｝｝（k，N_｛3｝）=\sum_｛m=\lfloor k/3\lfloor｝^｛k｝\sum_｛i=0｝^｛3m-k｝｛\frac｛m！~k！｝｛（m-i）！~（k+2i-3m）！~（3m-i-k）！~2^｛k+i-2m｝~3^｛m-i｝｝｝。\，｝$

${\显示样式i\leq\，3m-k\，}$,${\显示样式i\leq{\压裂{k-3m}{2}}}$

给出序列（参见。18986年${\显示样式\脚本样式（k），\，k\，\geq\，0\，}$)

{, ...}

使用Mathematica和上面的公式，我们可以找到序列${\显示样式{\上划线{c}}（k，N_{3}）}$以下术语

${\显示样式1,1,3,13,74，\，}$

${\显示样式5304550455705216406717480，\，}$

${\显示样式96117000151281900025975395600483169486800967879930800，\，}$

${\显示样式2077336000740004755768505488000115681418156304000297940872581352000080998627977002736000，\，}$

${\显示样式23179370341428100800006964900319750156784000021924594123166078344000007215283079716793506400000477756318984329979756160000\，}$

另请参见

• 集合
  • 设置分区
  • 受限集分区
  • 受限集合合成

• 多组
  • 多集分区
  • 受限多集分区
  • 多集合成
  • 受限多集合成