设置分区

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A类集合分区是一个隔板的设置变成非空的不相交子集例如，给定集合 

{1, 7, 13, 19, 91, 133, 247, 1729}

，一个可能的分区是 

{{1}, {7, 13, 19}, {91, 133, 247, 1729}}

.

集合上的集合分区数N个_第页

表示方式

${\显示样式N_{p}=\{1,2，\ldot，p\}\，}$

全套正整数不大于 

第页

，和依据

${\显示样式{\上划线{p}}_{m}（k，N_{p}）\，}$

这个集合分区数的 

k个

-套( 

k个

元素集）中 

米

部分大小 

1, 2, ...,第页

.

重现性和初始条件

${\显示样式{\上划线{p}}_{0}（0，N_{p}）=1{\rm{~和~}}{\上拉线{p}_{0}（k，N_}}）=0{\rm}~if~}}k>0；\，}$

${\显示样式{\上划线{p}}_{m}（k，N_{p}）=0{\rm{~if~}}k<m{\rm}~和~}}k>mp；\，}$

${\显示样式{\上划线{p}}_{m}（k，N_{p}）=\sum_{s=1}^{p}{\binom{k-1}{k-s}}~{\上拉线{p}_{m-1}（k-s，N_}}）.\，}$

正在生成函数

${\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}{\overline{p}}_{m}（k，N_{p}）~{\frac{x^{k}}{k！}}={\ frac{1}{m！}}\ left（x+{\ frac{x^}}{2！}}}+\ldots+{\frac{x！}}{p}{p！}}\right）^{m}\，}$

相关序列

${\显示样式{\上划线{p}}（k，N_{p}）=\sum_{m=0}^{\infty}{\上拉线{p}{{m}（k，N_}）\，}$

${\显示样式{\上划线{p}}_{m}（N_{p}）=\sum_{k=0}^{infty}{\上拉线{p}{{m}（k，N_{p}）\，}$

集合上的集合分区数N个₂

表

基于初值条件和一般递推 

第页= 2

，我们有以下公式

${\显示样式{\上划线{p}}_{0}（0，N_{2}）=1{\rm{~和~}}{\上拉线{p}{0}（k，N_2}）=0{\rm}~if~}}k>0；\，}$

$｛\displaystyle｛\overline｛p｝｝_｛m｝（k，N_｛2｝）=0｛\rm｛~ if ~｝｝k＜m｛\rm｛~ and ~｝｝k＞2m；\，｝$

$显示样式{\上划线{p}}{m}（k，N{2}）=\和{s=1}^{2}{\binom{k-1}{k-s}}~{\上拉线{p}{m-1}}）。\，}$

米\k个 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...   p̅米 (N个2 ) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 . 2 2 0 0 1 3 3 0 0 0 0 0 0 . 7 3 0 0 0 1 6 15 15 0 0 0 0 . 37 4 0 0 0 0 1 10 45 105 105 0 0 . 266 5 0 0 0 0 0 1 15 105 420 945 945 . 2431 ... . . . . . . . . . . . . .   p̅  (k个,N个2) 1 1 2 4 10 26 76 . .

显式公式

${\显示样式{\上划线{p}}_{m}（k，N_2}）={\压裂{k！}{（2m-k）！~（k-m）！~2^{k-m}}\，}$

相关序列

第一个序列

${\displaystyle{\overline{p}}（k，N_2}）=\sum_{m=\lfloork/2\rfloor}^{k}{\frac{k！}{（2m-k）！~（k-m）！~2^{k-m}}}\，}$

给出序列（参见。A000085号 

(k个),k个≥0

)

 

{1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, 35696, 140152, 568504, 2390480, 10349536, 46206736, 211799312, 997313824, 4809701440, 23758664096, 119952692896, ...}

第二个序列

${\显示样式{\上划线{p}}_{m}（N_2}）=\sum_{k=m}^{2m}{\分形{k！}{（2m-k）！~（k-m）！~2^{k-m}}}\，}$

给出序列（参见。A001515号 

(米),米≥0

)

 

{1, 2, 7, 37, 266, 2431, 27007, 353522, 5329837, 90960751, 1733584106, 36496226977, 841146804577, 21065166341402, 569600638022431, 16539483668991901, ...}

集合上的集合分区数N个₃

表

基于初值条件和一般递推 

第页= 3

我们有以下公式

${\显示样式{\上划线{p}}_{0}（0，N_{3}）=1{\rm{~和~}}{上划线{p}}_}0}$

${\显示样式{\上划线{p}}_{m}（k，N{3}）=0{\rm{~if~}}k<m{\rm}~和}}k>3m；\，}$

${\显示样式{\上划线{p}}{m}（k，N{3}）=\和{s=1}^{3}{\binom{k-1}{k-s}}~{\上拉线{p}{m-1}}）~+~{\压裂{1}{2}}~（k-1）（k-2）~{\上测线{p}}{m-1}（k-3，N{3}）.\，}$

米\k个 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ...   p̅米 (N个3 ) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 3 2 0 0 1 3 7 10 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 31 3 0 0 0 1 6 25 75 175 280 280 0 0 0 0 0 0 . 842 4 0 0 0 0 1 10 65 315 1225 3780 9100 15400 15400 0 0 0 . 45296 5 0 0 0 0 0 1 15 140 980 5565 26145 102025 323400 800800 1401400 1401400 . 4061871 ... . . . . . . . . . . . . .   p̅  (k个,N个3) 1 1 2 5 14 46 . . .

显式公式

${\显示样式{\上划线{p}}_{m}（k，N_{3}）=\和{i=0}^{3m-k}{\压裂{k！}{（m-i）！~（k+2i-3m）！~$

相关序列

第一个序列

${\显示样式{\上划线{p}}（k，N_{3}）=\sum_{m=\lfloor k/3\rfloor}^{k}\sum_{i=0}^{3m-k}{\压裂{k！}{（m-i）！~（k+2i-3m）！~$

给出序列（参见。A001680号 

(k个),k个≥0

)

 

{1, 1, 2, 5, 14, 46, 166, 652, 2780, 12644, 61136, 312676, 1680592, 9467680, 55704104, 341185496, 2170853456, 14314313872, 97620050080, 687418278544, ...}

第二个序列

${\显示样式{\上划线{p}}_{m}（N_{3}）=\sum_{k=m}^{3m}\sum_{i=0}^{3m-k}{\ frac{k！}{（m-i）！~（k+2i-3m）！～（3m-i-k）！~2^{k+i-2m}~3^{m-i}}.\，}$

给出序列（参见。A144416号 

(米),米≥0

)

 

{1, 3, 31, 842, 45296, 4061871, 546809243, 103123135501, 25942945219747, 8394104851717686, 3395846808758759686, 1679398297627675722593, ...}

集合分区数

[unrestricted]集合分区的数量由铃声号码(指数).

A000110号贝尔数或指数数：划分一组 

n个,n个≥0,

标记的元素。

 

{1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597, 27644437, 190899322, 1382958545, 10480142147, 82864869804, 682076806159, 5832742205057, 51724158235372, 474869816156751, ...}

另请参见

• 集合
  • 设置分区
  • 受限制的集合分区
  • 设置成分
  • 受限集合合成

• 多组
  • 多集分区
  • 受限多集分区
  • 多集合成
  • 受限多集合成