调和级数

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The terms of an调和级数是算术级数.${\显示样式\脚本样式N\，}$-条款调和级数是序列表单的${\显示样式\脚本样式N\，\到\，\输入\，}$对于无穷多个项）

${\显示样式a（n）={\ frac{1}{mn+c}}，\quad n={0，\ldots，n-1\}，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式m\，}$和${\显示样式\脚本样式c\，}$是常数。例如，{1/4、1/16、1/28、1/40、1/52、1/64、1/76、1/88、1/100、1/112…}（1/A017569号)是一个调和级数$｛\displaystyle\scriptstyle m\，=\，12\，｝$和${\显示样式\脚本样式c\，=\，4\，}$.在以下方面序列的增长，非恒定调和级数具有逆线性增长。

等价地，当每个项都是调和平均值相邻术语，即。

${\显示样式a（n）={\ frac{1}{\左（{\frac{{\ frac{1}{a（n-1）}}+{\frac{1}{a（n+1）}}}{2}}\右）}}.\，}$

“本原”与“非本原”调和级数

调和级数可以说是“原始”的，如果${\显示样式\脚本样式m\，}$和${\显示样式\脚本样式c\，}$是互质.调和级数${\显示样式\脚本样式\gcd（m，\，c）\，=\，k，\，k\，>\，1\，}$（参见。gcd公司)因此可以说是“非原初”的${\displaystyle\scriptstyle{\frac{1}{k}}\，}$乘以相应的“原始”调和级数。例如{1/4、1/16、1/28、1/40、1/52、1/64、1/76、1/88、1/100、1/112、…}=（1/4）×{1/1、1/4、1/7、1/10、1/13、1/16，1/19，1/22，1/25，1/28，…}。

重复

$显示样式a（n+1）=\左（{frac{mn+c}{m（n+1，+c}}\右），a（n）={frac}a（n，）}{\左（1+{cfrac{1}{n+{cfac{c}{m}}}\，\右）}}\、}$

正在生成函数

调和级数有[普通]生成函数表单的

$显示样式G_{{{frac{1}{mn+c}}}{{n=1}^{infty}}（x）\equiv\sum_{n=1{^{inffy}\left（{frac}{mn+6}}\right）\，x^{n}=\ left（}）\_{2} F类_{1} （1,1+{\tfrac{c}{m}}；2+{\tfrac{c{m}；x），\，}{2} F类_{1} （1,1+{\tfrac{c}{m}}；2+{\tfrac{c{m}；x），\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式_{p} F类_{q} （a_｛1｝，\，\ldots，\，a_｛p｝；\；b_｛1｝，\，\ldots，\，b_｛q｝；\；x）\，｝{p} F类_{q} （a_｛1｝，\，\ldots，\，a_｛p｝；\；b_｛1｝，\，\ldots，\，b_｛q｝；\；x）\，｝$是广义超几何函数.

另请参见

• 算术级数
• 几何级数